高中数学导数的定义.doc

高中数学导数的定义,公式及应用总结字体大小：大 中 小 晓 晓 发表于 2011-11-01 01:03 评论0条 阅读906次 导数的定义:当自变量的增量xxx0，x0时函数增量yf（x） f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率).函数yf（x）在x0点的导数f（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0x0，f（x0） 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设yf(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f（x）0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f（x）0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f（x）=0时，yf(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值求导数的步骤:求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： 求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0) 求平均变化率 取极限，得导数。 导数公式： C=0(C为常数函数)； (xn)= nx(n-1) (nQ*)；熟记1/X的导数 (sinx) = cosx； (cosx) = - sinx； (tanx)=1/(cosx)2=(secx)2=1+(tanx)2 -(cotx)=1/(sinx)2=(cscx)2=1+(cotx)2 (secx)=tanxsecx (cscx)=-cotxcscx (arcsinx)=1/(1-x2)1/2 (arccosx)=-1/(1-x2)1/2 (arctanx)=1/(1+x2) (arccotx)=-1/(1+x2) (arcsecx)=1/(|x|(x2-1)1/2) (arccscx)=-1/(|x|(x2-1)1/2) (sinhx)=hcoshx (coshx)=-hsinhx (tanhx)=1/(coshx)2=(sechx)2 (coth)=-1/(sinhx)2=-(cschx)2 (sechx)=-tanhxsechx (cschx)=-cothxcschx (arsinhx)=1/(x2+1)1/2 (arcoshx)=1/(x2-1)1/2 (artanhx)=1/(x2-1) (|x|1) (arsechx)=1/(x(1-x2)1/2) (arcschx)=1/(x(1+x2)1/2) (ex) = ex； (ax) = axlna （ln为自然对数） (Inx) = 1/x（ln为自然对数） (logax) =(xlna)(-1),(a0且a不等于1) (x1/2)=2(x1/2)(-1) (1/x)=-x(-2)导数的应用:1函数的单调性(1)利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想 一般地，在某个区间(a，b)内，如果f(x)，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减 如果在某个区间内恒有f(x)=0，则f(x)是常数函数 注意：在某个区间内，f(x)是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f(x)0。 (2)求函数单调区间的步骤（不要按图索骥 缘木求鱼 这样创新何言？1.定义最基础求法2.复合函数单调性) 确定f(x)的定义域； 求导数； 由（或）解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数2函数的极值(1)函数的极值的判定 如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点； 如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值.3求函数极值的步骤确定函数的定义域； 求导数； 在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根； 检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值4函数的最值(1)如果f(x)在a,b上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在a，b的端点a或b处取得，