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数列 第五章 第29讲等差数列及其前n项和 栏目导航 1 等差数列的有关概念 1 等差数列的定义一般地 如果一个数列从第 项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用字母 表示 定义表达式为 或 2 等差中项若三个数a a b成等差数列 则a叫做a与b的等差中项 且有a 2 同一个常数 d an an 1 d 常数 n n n 2 an 1 an d 常数 n n an a1 n 1 d n m d ak al am an 2d md 解析 1 错误 若这些常数都相等 则这个数列是等差数列 若这些常数不全相等 这个数列就不是等差数列 2 正确 如果数列 an 为等差数列 根据定义an 2 an 1 an 1 an 即2an 1 an an 2 反之 若对任意n n 都有2an 1 an an 2 则an 2 an 1 an 1 an an an 1 a2 a1 根据定义数列 an 为等差数列 3 正确 当d 0时为递增数列 d 0时为常数列 d 0时为递减数列 c d b 5 在数列中 若a1 1 an 1 an 2 n 1 则该数列的通项an 解析 由an 1 an 2知 an 为等差数列 其公差为2 故an 1 n 1 2 2n 1 2n 1 1 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程组解决问题的思想 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知量和未知量是常用方法 一等差数列基本量的计算 例1 1 在等差数列中 a1 a5 8 a4 7 则a5 a 11b 10c 7d 3 2 设等差数列的前n项和为sn 若sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m b 5 二等差数列的性质及应用 解析 1 因为 an 是等差数列 所以s3 s6 s3 s9 s6 s12 s9成等差数列 所以2 s6 s3 s3 s9 s6 即2 s6 12 12 45 s6 解得s6 3 又2 s9 s6 s6 s3 s12 s9 即2 45 3 3 12 s12 45 解得s12 114 2 因为 an bn 都是等差数列 所以2a3 a1 a5 2b8 b10 b6 所以2 a3 b8 a1 b10 a5 b6 即2 15 9 a5 b6 解得a5 b6 21 114 21 三等差数列的判定与证明 四等差数列前n项和的最值问题 例4 等差数列中 a1 0 s5 s12 当n为何值时 sn有最大值 1 在等差数列中 a1 0 公差d 0 若am a1 a2 a9 则m的值为 a 37b 36c 20d 19 a d 4 数列中 a1 23 a
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