近世代数研究对象是具有代数运算的集合.doc

近世代数研究对象是具有代数运算的集合摘要：近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系.群就是具有一个代数运算的代数系.群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用.本文简要探讨了群论的一些常用知识并介绍了群论在其它学科的一些简单应用.关键词：群论：群的定义；特殊群；群的同态与同构.Abstract： The main object of study recently algebra is a collection of algebra operations, such as the collection of algebra. It has a group of arithmetic of algebra. The group is the most ancient of algebra theory, one of the most abundant branch path is based. The algebra, Now it has developed into a rich content, widely used in the branch of mathematics, physics and mechanics, chemical, biological, computer science, etc are more and more widely. This paper discusses some of the common knowledge and QunLun QunLun introduced in other disciplines of some simple application.Key words: the definition of group；Special group；The homomorphism and isomorphism of；application目 录摘要(1)0引言(1)1群论的起源(1)2群论的初步探讨(3) 2.1 群的性质及基本定义(4) 2.1.1群的定义及等价形式(5)2.1.2群的基本性质(7) 2.2 子群(3) 2.3 几个常见的特殊群类(4) 2.3.1 循环群(5)2.3.2 变换群(7)2.3.3 置换群(7)3群的进一步讨论(3) 3.1 子群的陪集(7) 3.2正规子群与商群(7) 3.3群的同态与同构(7) 3.3.1群的同态与同构的基本性质(8) 3.3.2 群同态与同构基本定理(9)4群论应用举例(19)5总结(19)参考文献(19)Abstract(20)第 17 页 共 17 页引言近世代数以具有代数运算的集合作为主要研究对象，研究的主要是抽象代数系统的性质与结构近世代数的基本概念、理论和方法，是每一个数学工作者所必须具备的基本素养之一，而群论是近世代数的一个重要的分支，因此群论中的许多思想方法有着重要的意义它在现代很多领域中都有着广泛的应用，可以帮助我们解决一些复杂的问题本文简要介绍群论中的一些基本知识，最后又举了一些与群的应用有关的实际问题1群论的起源群的概念在数学史上出现在19世纪的上半叶，但是其思想的萌芽在古希腊欧几里得（Euclid，约公元前330公元前275）的几何原本中就已经出现了.此后，群的概念以运动和变换作为基础潜在地形成了.到了19世纪后期，它才正式出现，不久就在整个数学中占有重要的地位，成为现代数学的基础之一.有意识地开辟通向群的概念的道路始于18世纪末，当时，拉格朗日（J.L.Lagrange17361813）、范德蒙德（A.T.Vandermonde，17351796）、鲁菲尼（P.Ruffini，17651822）等试图求出高次代数方程的代数解法，由于研究方程诸根之间的置换而注意到了群的概念.基于这种思考方式，阿贝尔（N.H.Abel，18021829）证明了5次以上的一般的代数方程没有根式解.而置换群与代数方程之间的关系的完全描述是由伽罗瓦（E.Galois，18111832）在1830年左右做出的（现称为伽罗瓦理论），这一工作后来在若尔当（C.Jordan，18381921）的名著置换和代数方程专论中得到了很好的介绍和发展.置换群是最终形成抽象群的第一个主要来源.群的思想也以独立的方式产生于几何学.19世纪中叶，几何学的研究重点逐渐转移到研究几何图形的变换以及它们的分类上.这种研究被默比乌斯（A.Mobius，17901868）广泛地进行.以凯莱（A.Cayley，18211895）为首的不变量理论的英国学派给出了几何学的更为系统的分类：凯莱明确地使用了“群”这个术语.这个发展的最后阶段是克莱因（C.F.Klein，18491925）在1872年提出了著名的“埃尔兰根纲领”，他指出：几何的分类可以通过变换群来实现.数论是群的概念的第三个来源.早在1761年，欧拉（L.Euler，17071783）就使用了同余式和它们分成的同余类，这在群论的语言中就意味着把一个群分解成子群的陪集.高斯（C.F.Gauss，17771855）则研究了分圆方程，并且实际上确定了它们的伽罗瓦群的子群.戴德金（J.W.R.Dedekind，18311916）于1858年和克罗内克（L.Kronecker，18231891）于1870年在其代数数论的研究中也引入了有限交换群以至有限群.到了19世纪80年代，综合上述三个主要来源，数学家们终于成功地概括出了抽象群论的公理系统，并大约在1890年得到公认.2群论的初步探讨2.1群的定义及基本性质2.1.1群的定义及等价形式定义1 设是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件：.结合律成立，即对中任意元素有 ； . 中有元素，叫做的左单位元，它对中每个元素都有 ； .对中每个元素，在中都有元素，叫做的左逆元，使 ；则称对代数运算作成一个群.群定义的等价形式：定义2 设是一个非空集合.如果它有一个代数运算满足结合律，则称是一个半群.半群如果有幺元素，并且每个元素均可逆，则叫做群.定理1 设是一个半群，则作成群的充分与必要条件是：1） 有右单位元：即对中任意元素都有 ；2） 中每个元素都有右逆元： .定理2 设是一个半群，则作成群的充要条件是，对中任意元素方程 在中都有解.2.1.2群的基本性质:定理3 群的元素的左逆元也是的一个右逆元，即有 .定理4 群的左单位元也是的一个右单位元，即对群中任意元素均有 定理5 群的单位元及每个元素的逆元都是惟一的.推论 在群中消去律成立，即 ， .2.2子群子群的概念是群论中一个基本概念，群论的许多内容不仅在不同程度上和子群有联系，而且利用子群来研究群，也是研究群的重要方法之一.定义1 设是一个群，是的一个非空集合.如果对于的乘法也作成一个群，则称为群的一个子群，记为.当是群的真子群时，记为.群的一个子集是不是作成一个子群，除了根据子群的定义外，还有一些判定方法：定理 群的一个非空子集作成子群的充分与必要条件是：1）；2） 定理 群的非空子集作成子群的充分与必要条件是： .群的有限子集作成子群的充分与必要条件是，对的乘法封闭，即 推论 群的非空子集作成子群的充分与必要条件是： . 推论 群的一个非空子集作成子群的充分与必要条件是： 群的非空有限子集作成子群的充分与必要条件是： .2.3几个常见的特殊群类2.3.1循环群 循环群是最简单但很重要的一类群，也是一种已经被完全解决了的一类群，它们可以由一个元素生成.这种群的元素表达方式和运算规则，以及在同构意义下这种群有多少个和它们子群的状况等等，都完全研究清楚了.定义 如果群可以由一个元素生成，即，则称为由生成的一个循环群，并称为的一个生成元.于是是由一切形如 (是任意整数)的元素作成的群，亦即 若群的代数运算用加号表示时，则指数应改成倍数，从而由生成的循环群应表为 ，3，2，0，2，3，.由于群间的同构关系具有反身性、对称性和传递性，故凡无限循环群都彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构，而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构.这样，抽象地看，即在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群和次单位根群，这里是任意正整数.循环群的子群定理1 循环群的子群仍为循环群.定理2 无限循环群有无限多个子群；当为阶循环群时，对的每正因数，有且只有一个阶子群，这个子群就是推论 阶循环群有且仅有个子群.2.3.2变换群变换群是一种同任何群都有密切联系，从而具有广泛意义的群.定义 设是一个非空集合.则由的若干个变换关于变换的乘法所作成的群，称为的一个变换群；由的若干个双射变换关于变换的乘法作成的群，称为的一个双射变换群；由的若干个非双射变换关于变换的乘法作成的群，称为的一个非双射变换群. 为任一非空集合，为由的全体双射变换作成的集合，则关于变换的乘法作成一个群，并称集合的双射变换群为上的对称群.若，其上的对称群用表示，称为次对称群，是一个阶为的有限群.显然，的任何双射变换群都是上对称群的一个子群，即上的对称群是的最大的双射变换群.若是非空集合的一个变换群，则是的一个双射变换群的充要条件是在中含有的单（满）射变换.由此可知或是的双射变换群，或是的非双射变换群，这就是说在的任意一个变换群中，不可能既含有的双射变换又含有的非双射变换.抽象群同变换群之间的联系可由下述定理说明.定理 （A.Cayley，18211895）任何群都同一个（双射）变换群同构.由这个定理可得：推论 任何阶有限群都同次对称群的一个子群同构.以上的定理和推论表明，任何一个抽象群都可以找到一个具体的群与它同构.2.3.3置换群 定义 次对称群的任意一个子群，都叫做一个次置换群.简称置换群.置换群是群论中很重要的一类群，群论最早就是从研究置换群开始的.利用这种群，伽罗瓦成功地解决了代数方程是否可用根式求解的问题.伽罗瓦在这方面的工作，现在已发展成为代数学中一种专门的理论伽罗瓦理论.置换群之所以重要，不仅因为它是最早研究的一类群，而且它是一类重要的非交换群，特别是由以上我们知道，每个有限的抽象群都与一个置换群同构.群论的产生最早源于对代数方程求根的研究.一元二次方程的代数解法早在公元前2000年就为古巴比伦人所知道.一般三次和四次方程的求根公式也在十六世纪为意大利的数学家费罗（S.Ferro,14651526）、塔塔利亚(Fontana,1499?1557)、卡尔丹（G.Cardano,15011576）和费拉里（L.Ferrari）先后获得.在随后的近300年间，数学家们希望能找到五次或更高次的方程的求根公式，但都徒劳无功.直到1770年，拉格朗日才第一个宣布“不可能用根式解四次以上方程”，但他却不能证明这个论断.1799年，鲁菲尼给出了一个证明，但他的证明是不完整的.1824年，年轻的阿贝尔给出了第一个严格的证明，阿贝尔在他的工作中，实际上引入了域的概念.阿贝尔虽然证明了“五次及五次以上的一般方程没有根式解”，但他并没有解决究竟哪些方程可用根式求解.这一问题最终被天才的伽罗瓦所解决（1831年）.伽罗瓦研究了多项式f(x)的根的置换所构成的集合.由于任何两个根的置换的乘积仍是一个根的置换，所以多项式的根的置换全体关于置换的乘积构成一个代数系统.伽罗瓦把这个代数系统叫做群.伽罗瓦发现，方程的可解性与多项式f(x)的根的某些特殊的置换所构成的群（我们今天称它为伽罗瓦群）之间存在着密切的联系.他仔细地研究了这个群的结构.在这过程中，他引入了众多的概念，如子群、指数、正规子群、可解群等等（这些都是群论中的经典内容），并最终揭示了这种联系.他证明，一个方程可用根式解的充分必要条件是它的伽罗瓦群是可解群.伽罗瓦是把群这个概念引入数学的第一人.当然，伽罗瓦所说的群不过是一个具体的群置换群.置换群不仅在伽罗瓦理论中扮演着重要的角色，而且也是研究几何体的对称，晶体的结构等所不可缺少的工具.今天，置换群已不仅在数学上，而且在物理、化学、计算机科学上都有着广泛的应用，甚至在美学和艺术领域，也日益发挥着它巨大的作用.3群论的进一步讨论一个群最基本的是群的运算，应用群的运算，可以定义并讨论群的子集的运算.由群的子集的运算，可以定义子群的陪集，由子群的陪集又可以定义正规子群与商群，借助于商群的概念可以证明群同态基本定理，从而对群的同态象做出系统的描述.3.1子群的陪集子群的陪集的概念是对群进行分析的有力工具，它是由伽罗瓦首先引入群论的（1830年）.定义1 设是群的一个子群，.则称群的子集 为群关于子群的一个左陪集.而称 为群关于子群的一个右陪集.左陪集有一些重要性质：1） .2） .3） . 4） ,即与b同在一个左陪集中或（）.5） 若，则. 群的左陪集和右陪集有以下关系.定理1 设是群的一个子群，又令 ，.则在与之间存在一个双射，从而左、右陪集的个数或者都无限或者都有限且个数相等.定义2 群中关于子群的互异的左（或右）陪集的个数，叫做在里的指数，记为 .关于子群的阶、指数和群的阶之间，存在着如下极其重要的关系.定理2 （J.L.Lagrange,17361813）设是有限群的一个子群，则 .从而任何子群的阶和指数都是群的阶的因数.3.2正规子群与商群正规子群是一种特殊的子群，它在整个群的讨论中起着非常重要的作用.定义1 设是群的一个子群，如果对中每个元素都有 ,即,则称是群的一个正规子群(或不变子群)，记作N G. 需要改正判断一个子群是否为正规子群的条件.定理1 设是群，是的子群.则下列四个条件等价:(1) 是的正规子群；(2) 对任意的，有;(3) 对任意的，有;(4) 对任意的，有;正规子群有下列一些简单性质：定理2 设为群，是的正规子群.则 与都是的正规子群.定理3 设是群，是的一个正规子群，则的所有陪集组成的集合 关于陪集的乘法构成群.由正规子群可以界定两类群：哈密顿群和单群.哈密顿群：设是一个非交换群.如果的每个子群都是的正规子群，则称是一个哈密顿群.单群：阶大于1且只有平凡正规子群的群，称为单群.定义2 设是群，是的正规子群.的所有陪集关于陪集的乘法作成的群称为群关于子群的商群（quotient group）,仍记为.3.3群的同态与同构在正规子群、商群以及同态与同构映射之间，存在着一些极为重要的内在联系.通过这些联系，我们将看到正规子群和商群在群论研究中的重要作用.3.3.1群的同态与同构的简单性质设与是两个群.如果有一个到得映射 满足 ,则称为群到群的一个同态映射. 当又是满射时，则称群与同态，记为. 当是一个双射时，称为群到一个同构映射.如果群到群存在同构映射，就称群与同构，记为 .群到自身的同态映射与同构映射，分别称为群的自同态映射和自同构映射，简称为群的自同态和自同构.3.3.2群同态与同构基本定理在正规子群、商群以及同态与同构映射之间，存在着一些极为重要的内在联系.通过这些联系，我们将看到正规子群和商群在群论研究中的重要作用.定理1 设是群的任一正规子群，则 ,即任何群均与其商群同态.定理2 （群同态基本定理）设是群到群的一个同态满射.则NKer G,且 G/N .在同构意义下，以上两个定理表明：每个群能而且只能同它的商群同态.定理3 （第一同构定理）设是群到群的一个同态满射，又Ker N G, (N),则 G/N .定理4 （第二同构定理）设是群，又HG，N G.则HN H,并且HN/N H/(HN).定理5 （第三同构定理）设是群，又N G, G/N.则1） 存在的惟一子群，且;2） 又当 G/N时，有惟一的H G使 且.4群论应用举例群的知识在近代物理近代化学计算机科学数字通信系统工程等许多领域都有重要应用，它是现代科学技术的数学基础之一.下面介绍几类与群的应用有关的实际问题.4.1项链问题用种颜色的珠子做成有颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链？由颗珠子做成一根项链，可用一个正边形来代表它，每个顶点代表一颗珠子.从任意一个顶点开始，沿逆时针方向，依次给每个顶点标以号码：1，2，.这样的一根项链称之为有标号的项链.由于每一颗珠子的颜色有种选择，因而由乘法原理，这些有标号的项链共有种.但是其中有一些项链可通过旋转一个角度或翻转180度使它们完全重合.对于这些项链，称它们本质上是相同的.对那些无论怎样旋转或翻转都不能使它们重合的项链，称之为本质上不同的项链，即为不同类型的项链.当与较小时，不难用枚举法求得问题的解答.但随着与的增加，用枚举法越来越困难，因而必须寻找更加有效的可解决一般的任意正整数与的方法.采用群论方法可完全解决此问题，且至今尚未发现其他更为简单和有效的方法.4.2正多面体着色问题对一个正多面体的顶点或面用种颜色进行着色，问有多少种不同的着色方法？用种颜色对正六面体的面着色，问有多少种不同的着色方法？设种颜色的集合为,正六面体的面集合为,则每一种着色的方法对应一个映射;反之，每一映射对应一种着色法.由于每一个面的颜色有种选择，所以全部着色法的总数为，但这样的着色法与面的编号有关，其中有些着色法可适当旋转正六面体使它们完全重合，对这种着色法，称它们为本质上是相同的.当很小时，求本质上不同的着色法的数目，是不难求得结果的，但对于一般的情况则必须用群论方法才能解决.4.3开关线路的构造与计数问题一个有两种状态的电子元件称为一个开关，例如普通的电灯开关、二极管等.由一些开关组成的两端网络称为开关线路.一个开关线路的两端也只有两种状态：通与不通.那么，用个开关可以构造出多少种不同的开关线路？我们用个变量代表个开关，每一个变量的取值只能是0或1，代表开关的两个状态.开关线路的状态也用一个变量来表示，的取值也是0或1，代表开关线路的两个状态.是的函数，称为开关函数，记作.令,则是从到的一个映射（函数），反之，每一个函数 对应一个开关线路.因此,开关线路的数目就是开关函数的数目. 由于的定义域的点数为,在定义域的每一个点上的取值有两种可能，所以全部开关函数的数目为，这也就是个开关的开关线路的数目.但上述问题中的开关线路中的开关时有标号的，有一些开关线路结构完全相同，只是标号不同，我们称这些开关线路本质上是相同的.要进一步解决本质上不同的开关线路的数目问题，必须用群伦方法.4.4数字通信的可靠性问题现代通信中用数字代表信息，用电子设备进行发送、传递和接收，并用计算机加以处理.由于信息量大，在通信过程中难免出现错误.为了减少错误，除了改进设备外，还可以从信息的表示方法上想办法.用数字表示信息的方法称为编码.编码学就是一门研究高效编码方法的学科.例1 简单检错码奇偶性检错码设用6位二进制码来表示26个英文字母，其中前5位顺序表示字母，第6位作检错用.当前5位的数码中1的个数为奇数时，第6位取1，否则取0.这样编出的码中，1的个数始终是偶数个.例如， 用这种码传递信息时可检查错误.当接收一方收到的码中含有奇数个1时，则可断定该信息是错的，可要求发送者重发.因而，同样的设备，用这种编码方法可提高通信的准确度.但是，人们并不仅仅满足发现错误，能否不通过重发的方法，仅从信息本身来纠正其错误呢？这在一定的程度上也可用编码方法解决.例2 简单纠错码重复码设用3位二进制重复码表示两个字母如下： 则接收的一方对收到的信息码不管其中是否有错，均可译码如下：接收信息：000 001 010 011 100 101 110 111译 码： 这就意味着，对其中的错误信息做了纠正，利用近世代数方法可得到更高效的检错码与纠错码.例3 群码中错误的纠正在日常生活中，有许多像电报码、计算机系统的信息交换码等使用码的例子.传送码字的通信信道多是二元信道，它用的字符是0和1，把由个取值0,1的数字组成的编码信号看成维空间的一点，即 .是模2的剩余类加法，规定的加法“+”为 则是一个群，且.如果由一些码字组成的集合关于以上定义的加法运算“+”构成群，则这种码叫做群码.例如，设是一个元素为0,1的行列的矩阵，即 ，则.所以，是一个群码. 当一个码字穿过有噪声的信道被传送时，该码字的某些数位在传递期间可能改变，在接收端译码时就要纠正错误，找到被传送的原来的码字，在许多情况下所使用的准则是选择一个码字，使得它与接收到的噪声字最靠近.为了能找出码字在传送过程中可能出现一定个数的数字错误，个数字组成的码字，只有个数字是信息部分，个数字是检验码，所以不是所有的元组都是码字.一个码群只是的一个子群.因为是交换群，所以是的正规子群.设，假定在传送过程中出现错误，则接收到的不是而是.要根据