直线倾斜角.doc

教学内容【知识结构】1.倾斜角：设直线与x轴相交于点M，将轴绕点M按逆时针方向旋转至与直线重合时所称的最小正角叫做直线的倾斜角（angle of inclination of the line ）当直线与轴平行或重合时，规定其倾斜角为.因此直线的倾斜角的范围是2.斜率：当时，把的正切值叫做直线的斜率（slope）3,斜率与倾斜角之间的关系：4.直线的斜率公式：经过两点的直线的斜率公式：一般式方程：关于的二元一次方程叫做直线的一般式方程（genenal form of equation）【例题精讲】例1：（1）在同一坐标系中画出过原点，倾斜角分别是,的直线，并试着写出它们所对应的函数解析式，思考直线的倾斜角在直线的函数解析式中是如何体现的？ （2）当倾斜角变化时，斜率的变化情况如何？策略点击：（1）通过观察直线的变化-角的变化-中系数的变化，发现这个系数是倾斜角的正切，角是锐角时，它也可以来刻画斜坡的倾斜程度，即坡度（升高量比前进量）.当时，把的正切值叫做直线的斜率.（2）根据正切函数在区间0,)上的图像可知.这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量-倾斜角，又定义了一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量-斜率.解：（1） （2） 时， 时，且递增 时，不存在 时，且递增例2：(1)若，则_ 若，则_ (2)若，则_ 若，则_ (3)若，则的取值范围_ 若，则的取值范围_策略点击：倾斜角从0到变化时，斜率是0到 倾斜角从变化时，斜率是到0 倾斜角是的直线斜率不存在.解：（1）； （2）； （3）；例3： 判断正误：直线的倾斜角为，则直线的斜率为 （ ）直线的斜率为，则它的倾斜角为 （ ） 因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率。 （ ） 因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在 （ ）直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 （ ）策略点击：倾斜角是的直线斜率不存在不一定是中的角倾斜角是的直线斜率不存在倾斜角是倾斜角在时，斜率是负的.解：都是错的.例4：已知点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半， 求直线的斜率.解：设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，依题意有，或. 由，得，直线的斜率为.拓展：1）、已知两点A（-3，4），B（3，2），过点P（2，-1）的直线与线段AB有公共点，求直线的斜率的取值范围.解：如图，直线与线段AB有公共点且过点P（2，-1） 直线的倾斜角介于直线PB与直线PA的倾斜角之间 当直线的倾斜角小于90时，有 当直线的倾斜角大于90时，有 而 直线的斜率的取值范围是 2）、若三点共线，则的值等于 解：、三点共线，.3）、过点的直线的倾斜角的范围值的范围是 （答：）4）、实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为_ （答：） (函数思想、数形结合)例5：过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点， 直线的方程为或， 即或.拓展：1）、 直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.解：依题意，直线的斜率为1，直线的方程为或，2）、过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 .解：设所求直线方程为，依题意有，（无解）或，解得或.直线的方程是或.3）、已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， 则OAB面积的最小值为 .解：设直线的方程为，则，当且仅当即时取等号，当时，有最小值4.4）、已知射线和点，在射线上求一点， 使直线与及轴正半轴围成的三角形面积最小.解：设，则直线的方程为. 令得， ， 当且仅当即时取等号，当为（2，8）时，三角形面积最小.或.例6：已知直线l1：ax-y-b=0，l2：bx-y+a=0，当a、b满足一定的条件时，它们的图形可以是（ ）xyOAl1l2xyOBl1l2xyOCl1l2xyODl1l2 B提示：依据a，b的正负取值情况分类讨论例7：已知直线方程为axy2a1=0（1） 若x（1，1）时，y0恒成立，求a 的取值范围；（2） 若a（，1）时，y0恒成立，求x 的取值范围； （1）【解法一】由题知y=ax（2a1），当a0 ,x（1，1）时，函数的值域为（a1,3a1）, 要y0恒成立，只须a10,即a1，故a0满足题意。当a=0 ,x（1，1）时，函数的值域为1, y0恒成立。当a0 ,x（1，1）时，函数的值域为（3a1，a1）, 要y0恒成立，只须3a10, 即a【解法二】令y=f（x）= ax（2a1）, x（1，1）时要y0恒成立， 只须f（1）0且f（1）0，即a2a10，且a2a10，a【解法三】化方程为点斜式y1=a（x2）,直线过定点（2，1），当x（1