量子Schubert函子以及量子线性群的上同调.doc

量子Schubert函子以及量子线性群的上同调【摘要】：量子群是近年来一个比较热门的课题。它包括两个不同的部分，一个是Drinfeld与Jimbo在1985年引入的量子包络代数，另一个是Yu.I.Manin、S.L.Woronowicz引入的量子函数代数。在这篇论文中我们讨论Yu.I.Manin在35中引入的A型的量子函数代数(即量子线性群)。我们第一部分的工作旨在去掉在A型量子群的表示中(无论是量子包络代数设置下Anderson，PoloandWen工作中，还是量子线性群设置下Parshall与王建磐工作中)出现的对K与g的限制。我们在这里建立并使用的工具是量子Schubert函子。利用双行列式基，我们建立起关于量子Schubert函子一套令人满意的理论并用来解决上述问题。现在我来叙述一下这篇论文第一部分的结果。对的任何一个既约表达式定义：我们有(见31)(314)定理(1)H_O独立于的既约表达式的选取。(2)设，是的两个既约表达式。对任何B_q-模V，下图交换。这里右边的同构是由(1)给出。上面的定理保证量子Schubert函子H_wO是可以定义的。并且与从函子H_WO(-)到函子H_wO(-)的自然变换相容。固定最长元的一个既约表达式如下：注意到我们把这个既约表达式分成了n-1个部分。对1kN(=n(n-1)/2)，记为上述既约表达式的最后k个部分的乘积。我们的主要结果是(见3.1)（316）命题设I三k三N若上述既约表达式。包含在。）0的那个既约表达式的最后。一。互但不是n一。一2部分中对人EW几）”，用民。表示型的半标准表使得对1三i三。，。只出现在第兄行而第m十1行取值于卜。十1。，。十2、，ik干川那么川典范映射o氏：H（）朴）是满射切而且，凡。是同构沼之刀）叶11Tnls三】乙是亏入的一组基门）特月小hm；m川T是型的半标准表）是旷0V的一组基一”】一叮一”多“一且”一仰Ch（H三朴二A方力OA8小闪）；4里A。表示第6个Demaure算子请注意定理中所给出的这组基即使在经典的情形也是新的有了这些结果；我们就可以导出GL川。的几乎所有的标准同调性质，如Grothendieck消失定理，KemPf消失定理以及Dema川rP特征标公式并且从Kelnpf消失定理我们可以获得当q不是单位根时的BorelB。tiWed定理以及当q是一个本原l次单位椰其中l任意）时关于小支配权的BorelBottweil定理，继而给出当q不是单位根时的完全可约性定理的证明本论文第二部分主要研究无穷小量于线性群的系数在平凡余模K中的上同调在那里我们假设charK一0，并凤q是一个本原Z次单位根，其中7是奇数满足Z。我们的第一个主要结果是巧23）定理H加尸卜K）一0，并且存在分次B代数同构rD小；K）生K卜这里n是B6jLie代数中伴随幂零元全体我们的第二个主要结果是（524）定理Hd）Gqh；K）0；并且存在分次G代数同构p（p小；叫芒KH这里（称作幂零锥）是的Li，代数中的伴随幂零元全体定理的整个证明是完全自包含的，并且不用到量子线性群理论以外的结论在我们的证明过程中；对余伴随Tq作用作了深入的研究其中一个重要的结果见定理6二8并巳我们自然地引出了一类q多项式余代数，它是经典多项式余代数的变形这也是作者首次发现的对于这一类q多项式余代数，我们决定了（见定理63山系数在它的平凡余模K中的上同调有了定理523与定理5、2，4以后，我们决定了（见定理72、6）所有非零的1yKB。）1，川最后；我门也给出了（见定理8。11；832，83、朴一些结果旨在试图决定所有非零的H（B。，入）【关键词】：【学位授予单位】：华东师范大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2000【分类号】：O413.1【目录】：Introduction8-12PartQuantumSchubertFunctors12-451Preliminaries13-1611QuantumGL_nandItsClosedSubgroups13-1412InductionFunctor14-162RepresentationsofSL_（2,q）16-2021RepresentationsofSL_（2,q）16-1822InductiontoMinimalParabolicSubgroups18-203QuantumSchubertFunctors20-4131Bideterminant20-2232RelationswithRepresentationsofSL_（n,q）22-2733ProofofTwoLemmas27-3034TheMainResults30-3335BraidRelations33-3936ConcludingRemark39-414HomologicalPropertiesofQuantumGL_n41-4541VanishingTheorem41-4342Borel-Bott-WeilTheorem43-45PartCohomologyofQuantumLinearGroups45-805Preliminaries46-5051QuantumFrobeniusMorphism46-4752ComoduleCohomologyRevisited47-506Cohomologyofq-PolynomialCoalgebras50-6761CoadjointT_q-Action50-5562Rank1Case55-6063GeneralCases60-677CohomologyofInfinitesimalQuantumLinearGroups67-7571T_q-Structureof（B_q）_1-Cohomology67-6972The（B_q）_1-Cohomology69-7373The（G_q）_1-Cohomology73-7