高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.3 抛物线及其性质课件.ppt

第十章圆锥曲线与方程 10 3抛物线及其性质 高考数学 浙江专用 考点一抛物线的定义和标准方程1 2017课标全国 理 16 5分 已知f是抛物线c y2 8x的焦点 m是c上一点 fm的延长线交y轴于点n 若m为fn的中点 则 fn 五年高考 答案6 解析如图 过m n分别作抛物线准线的垂线 垂足分别为m1 n1 设抛物线的准线与x轴的交点为f1 则 nn1 of1 2 ff1 4 因为m为fn的中点 所以 mm1 3 由抛物线的定义知 fm mm1 3 从而 fn 2 fm 6 思路分析过m n作准线的垂线 利用抛物线的定义和梯形的中位线求解 方法总结当直线过抛物线的焦点时 应充分利用抛物线的定义 同时也体现了抛物线的定义在解题中的重要作用 2 2016浙江 9 4分 若抛物线y2 4x上的点m到焦点的距离为10 则m到y轴的距离是 答案9 解析设m x0 y0 由抛物线方程知焦点f 1 0 根据抛物线的定义得 mf x0 1 10 x0 9 即点m到y轴的距离为9 3 2015陕西 14 5分 若抛物线y2 2px p 0 的准线经过双曲线x2 y2 1的一个焦点 则p 答案2 解析抛物线y2 2px p 0 的准线方程为x p 0 故直线x 过双曲线x2 y2 1的左焦点 0 从而 得p 2 4 2014湖南 15 5分 如图 正方形abcd和正方形defg的边长分别为a b a0 经过c f两点 则 答案1 解析 od de b dc a ef b 故c f 又抛物线y2 2px p 0 经过c f两点 从而有即 b2 a2 2ab 2 1 0 又 1 1 5 2013课标全国 11 5分 设抛物线c y2 2px p 0 的焦点为f 点m在c上 mf 5 若以mf为直径的圆过点 0 2 则c的方程为 a y2 4x或y2 8xb y2 2x或y2 8xc y2 4x或y2 16xd y2 2x或y2 16x 以下为教师用书专用 答案c 以mf为直径的圆过点 0 2 点m在第一象限 由 mf xm 5得m 从而以mf为直径的圆的圆心n的坐标为 点n的横坐标恰好等于圆的半径 圆与y轴切于点 0 2 从而2 即p2 10p 16 0 解得p 2或p 8 抛物线方程为y2 4x或y2 16x 故选c 6 2013湖南 21 13分 过抛物线e x2 2py p 0 的焦点f作斜率分别为k1 k2的两条不同直线l1 l2 且k1 k2 2 l1与e相交于点a b l2与e相交于点c d 以ab cd为直径的圆m 圆n m n为圆心 的公共弦所在直线记为l 1 若k1 0 k2 0 证明 2p2 2 若点m到直线l的距离的最小值为 求抛物线e的方程 解析 1 由题意 知抛物线e的焦点为f 直线l1的方程为y k1x 由得x2 2pk1x p2 0 设a b两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则x1 x2是上述方程的两个实数根 从而x1 x2 2pk1 y1 y2 k1 x1 x2 p 2p p 所以点m的坐标为 pk1 p 同理可得点n的坐标为 pk2 p 于是 p2 k1k2 由题设 k1 k2 2 k1 0 k2 0 k1 k2 所以0 k1k2 1 故 p2 1 12 2p2 2 由抛物线的定义得 fa y1 fb y2 所以 ab y1 y2 p 2p 2p 从而圆m的半径r1 p p 故圆m的方程为 x pk1 2 p p 2 化简得x2 y2 2pk1x p 2 1 y p2 0 同理可得圆n的方程为x2 y2 2pk2x p 2 1 y p2 0 于是圆m 圆n的公共弦所在直线l的方程为 k2 k1 x y 0 又k2 k1 0 k1 k2 2 则l的方程为x 2y 0 因为p 0 所以点m到直线l的距离d 故当k1 时 d取最小值 由题设 得 解得p 8 故所求的抛物线e的方程为x2 16y 考点二抛物线的几何性质1 2015浙江 5 5分 如图 设抛物线y2 4x的焦点为f 不经过焦点的直线上有三个不同的点a b c 其中点a b在抛物线上 点c在y轴上 则 bcf与 acf的面积之比是 a b c d 答案a过a b点分别作y轴的垂线 垂足分别为m n 则 am af 1 bn bf 1 可知 故选a 2 2016课标全国 10 5分 以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a b两点 交c的准线于d e两点 已知 ab 4 de 2 则c的焦点到准线的距离为 a 2b 4c 6d 8 答案b不妨设c y2 2px p 0 a x1 2 则x1 由题意可知 oa od 得 8 5 解得p 4 故选b 3 2017山东理 14 5分 在平面直角坐标系xoy中 双曲线 1 a 0 b 0 的右支与焦点为f的抛物线x2 2py p 0 交于a b两点 若 af bf 4 of 则该双曲线的渐近线方程为 答案y x 解析本题考查双曲线 抛物线的基础知识 考查运算求解能力和方程的思想方法 设a x1 y1 b x2 y2 因为4 of af bf 所以4 y1 y2 即y1 y2 p 由消去x 得a2y2 2pb2y a2b2 0 所以y1 y2 由 可得 故双曲线的渐近线方程为y x 思路分析由抛物线的定义和 af bf 4 of 可得y1 y2的值 用p表示 再联立双曲线和抛物线的方程 消去x得关于y的一元二次方程 由根与系数的关系得y1 y2 从而得的值 近而得渐近线方程 解题关键求渐近线方程的关键是求的值 利用题中条件建立等量关系是突破口 注意到 af bf 为焦半径 因此应利用焦半径公式求解 又a b为两曲线的交点 因此应联立它们的方程求解 这样利用y1 y2这个整体来建立等量关系便可求解 4 2017北京理 18 14分 已知抛物线c y2 2px过点p 1 1 过点作直线l与抛物线c交于不同的两点m n 过点m作x轴的垂线分别与直线op on交于点a b 其中o为原点 1 求抛物线c的方程 并求其焦点坐标和准线方程 2 求证 a为线段bm的中点 解析本题考查抛物线方程及性质 直线与抛物线的位置关系 1 由抛物线c y2 2px过点p 1 1 得p 所以抛物线c的方程为y2 x 抛物线c的焦点坐标为 准线方程为x 2 由题意 设直线l的方程为y kx k 0 l与抛物线c的交点为m x1 y1 n x2 y2 由得4k2x2 4k 4 x 1 0 则x1 x2 x1x2 因为点p的坐标为 1 1 所以直线op的方程为y x 点a的坐标为 x1 x1 直线on的方程为y x 点b的坐标为 因为y1 2x1 0 所以y1 2x1 故a为线段bm的中点 方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时 常涉及弦长 中点 面积等问题 一般是先联立方程 再根据根与系数关系 用设而不求 整体代入的技巧进行求解 易错警示在设直线方程时 若要设成y kx m的形式 注意先讨论斜率是否存在 若要设成x ty n的形式 注意先讨论斜率是否为0 5 2016浙江文 19 15分 如图 设抛物线y2 2px p 0 的焦点为f 抛物线上的点a到y轴的距离等于 af 1 1 求p的值 2 若直线af交抛物线于另一点b 过b与x轴平行的直线和过f与ab垂直的直线交于点n an与x轴交于点m 求m的横坐标的取值范围 解析 1 由题意可得 抛物线上点a到焦点f的距离等于点a到直线x 1的距离 由抛物线的定义得 1 即p 2 2 由 1 得 抛物线方程为y2 4x f 1 0 可设a t2 2t t 0 t 1 因为af不垂直于y轴 可设直线af x sy 1 s 0 由消去x得y2 4sy 4 0 故y1y2 4 所以 b 又直线ab的斜率为 故直线fn的斜率为 从而得直线fn y x 1 直线bn y 所以n 设m m 0 由a m n三点共线得 于是m 所以m2 经检验 m2满足题意 综上 点m的横坐标的取值范围是 0 2 思路分析 1 利用抛物线的定义来解题 2 由 1 知抛物线的方程 可设a点坐标及直线af的方程 与抛物线方程联立可得b点坐标 进而得直线fn的方程与直线bn的方程 联立可得n点坐标 最后利用a m n三点共线可得kam kan 最终求出结果 评析本题主要考查抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系等基础知识 同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力 6 2014浙江文 22 14分 已知 abp的三个顶点都在抛物线c x2 4y上 f为抛物线c的焦点 点m为ab的中点 3 1 若 3 求点m的坐标 2 求 abp面积的最大值 解析 1 由题意知焦点f 0 1 准线方程为y 1 设p x0 y0 由抛物线定义知 pf y0 1 得到y0 2 所以p 2 2 或p 2 2 由 3 分别得m或m 2 设直线ab的方程为y kx m 点a x1 y1 b x2 y2 p x0 y0 由得x2 4kx 4m 0 于是 16k2 16m 0 x1 x2 4k x1x2 4m 所以ab中点m的坐标为 2k 2k2 m 由 3 得 x0 1 y0 3 2k 2k2 m 1 所以由 4y0得k2 m 由 0 k2 0 得 m 又因为 ab 4 点f 0 1 到直线ab的距离为d 所以s abp 4s abf 8 m 1 记f m 3m3 5m2 m 1 令f m 9m2 10m 1 0 解得m1 m2 1 可得f m 在上是增函数 在上是减函数 在上是增函数 又f f 所以 当m 时 f m 取到最大值 此时k 所以 abp面积的最大值为 评析本题主要考查抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系 三角形面积公式 平面向量等基础知识 同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力 7 2014大纲全国 21 12分 已知抛物线c y2 2px p 0 的焦点为f 直线y 4与y轴的交点为p 与c的交点为q 且 qf pq 1 求c的方程 2 过f的直线l与c相交于a b两点 若ab的垂直平分线l 与c相交于m n两点 且a m b n四点在同一圆上 求l的方程 解析 1 设q x0 4 代入y2 2px得x0 所以 pq qf x0 由题设得 解得p 2 舍去 或p 2 所以c的方程为y2 4x 5分 2 依题意知l与坐标轴不垂直 故可设l的方程为x my 1 m 0 代入y2 4x得y2 4my 4 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2 4m y1y2 4 故ab的中点为d 2m2 1 2m ab y1 y2 4 m2 1 又l 的斜率为 m 所以l 的方程为x y 2m2 3 将上式代入y2 4x 并整理得y2 y 4 2m2 3 0 设m x3 y3 n x4 y4 则y3 y4 y3y4 4 2m2 3 故mn的中点为e mn y3 y4 10分 由于mn垂直平分ab 故a m b n四点在同一圆上等价于 ae be mn 从而 ab 2 de 2 mn 2 即4 m2 1 2 化简得m2 1 0 解得m 1或m 1 所求直线l的方程为x y 1 0或x y 1 0 12分 评析本题主要考查抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系 四点共圆等基础知识 考查解析几何的基本思想方法 考查运算求解能力和综合解题能力 对于第 2 问将直线l方程设为x my 1 m 0 这样可以避免讨论斜率不存在的情形 使问题简单化 8 2013安徽 13 5分 已知直线y a交抛物线y x2于a b两点 若该抛物线上存在点c 使得 acb为直角 则a的取值范围为 答案 1 解析解法一 如图 以 0 a 为圆心 为半径作圆 当圆与抛物线有三个或四个交点时 c存在 联立y x2 x2 y a 2 a并整理得 y a y a 1 0 即y a或y a 1 故a 1 0 即a 1 解法二 当c与原点重合时 acb最小 故若存在c使得 acb为直角 则 aob 即 0 故a2 a 0 又a 0 所以a 1 9 2013江西 14 5分 抛物线x2 2py p 0 的焦点为f 其准线与双曲线 1相交于a b两点 若 abf为等边三角形 则p 答案6 解析如图 在正三角形abf中 df p bd p b点坐标为 又点b在双曲线上 故 1 解得p 6 10 2013浙江文 22 14分 已知抛物线c的顶点为o 0 0 焦点为f 0 1 1 求抛物线c的方程 2 过点f作直线交抛物线c于a b两点 若直线ao bo分别交直线l y x 2于m n两点 求 mn 的最小值 解析 1 由题意可设抛物线c的方程为x2 2py p 0 则 1 所以抛物线c的方程为x2 4y 2 设a x1 y1 b x2 y2 直线ab的方程为y kx 1 由消去y 整理得x2 4kx 4 0 所以x1 x2 4k x1x2 4 从而 x1 x2 4 由解得点m的横坐标xm 同理点n的横坐标xn 所以 mn xm xn 8 令4k 3 t t 0 则k 当t 0时 mn 2 2 当t 0时 mn 2 综上所述 当t 即k 时 mn 的最小值是 评析本题主要考查抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系 同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力 1 2017浙江镇海中学模拟卷二 1 已知抛物线c y 4x2 则其准线方程为 a x 1b y 1c x d y 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案d将抛物线方程化为标准方程得x2 y 故其准线方程为y 故选d 2 2017浙江 超级全能生 联考 3月 4 设抛物线的顶点在原点 其焦点在x轴上 若抛物线上的点a 1 a 与焦点f的距离为2 则a a 4b 4或 4c 2d 2或2 答案d依题意 可设抛物线方程为y2 2px p 0 从而有1 2 得p 2 所以抛物线方程为y2 4x 又点a 1 a 在抛物线上 所以a2 4 所以a 2 故选d 3 2017浙江杭州二模 4月 7 设倾斜角为 的直线l经过抛物线c y2 2px p 0 的焦点f 与抛物线c交于a b两点 设点a在x轴上方 点b在x轴下方 若 m 则cos 的值为 a b c d 答案a如图 过点a b分别作准线l的垂线 垂足分别是m n 再过点b作am的垂线 垂足为b1 由抛物线的定义知cos 故选a 4 2017浙江稽阳联谊学校联考 4月 11 已知抛物线y2 2px过点m 2 2 则p 准线方程是 二 填空题 答案1 x 解析因为抛物线y2 2px过点m 2 2 所以22 2p 2 所以p 1 因此其准线方程为x 5 2017浙江镇海中学模拟卷 五 12 已知抛物线x2 4y 则该抛物线的焦点坐标是 过焦点斜率为1的直线与抛物线交于p q两点 则 pq 答案 0 1 8 解析焦点坐标为 0 1 则直线pq的方程为y x 1 代入方程x2 4y 消去y 得x2 4x 4 0 所以 pq x1 x2 4 8 6 2017浙江金华十校调研 15 已知抛物线y2 4x的焦点为f 过焦点的直线与抛物线交于a b两点 则直线的斜率为时 af 4 bf 取得最小值 答案 2 解析设a x1 y1 b x2 y2 直线ab x ty 1 代入y2 4x 得y2 4ty 4 0 所以y1 y2 4t y1y2 4 af 4 bf x1 1 4 x2 1 x1 4x2 5 10 t y1 4y2 10 y1 y2 y1 4y2 10 4 5y1y2 10 2 y1 2y2 5y1y2 10 y1y2 1 当且仅当 4 即y1 2y2 即或时 取等号 此时4t 所以 2 故直线ab的斜率为 2 7 2015浙江名校 镇海中学 交流卷一 14 过抛物线y2 2x的焦点的直线与该抛物线交于a b两点 且 ab 4 则ab的中点的横坐标是 答案 解析由ab为抛物线的焦点弦 得 ab xa xb 1 4 xa xb 3 故ab的中点的横坐标是 8 2015浙江名校 衢州二中 交流卷二 14 已知抛物线c y2 2px p 0 的准线为l 焦点为f 定点a 4 4 线段af交c于点m 过点m作l的垂线 垂足为q 若 fqa 90 则p 答案4 解析 mf mq fqa 90 m为线段af的中点 则点m的坐标为 从而有24 2p 解得p 4 p 12舍去 9 2016浙江宁波二模 19 在 2016 的logo设计中 有这样一个图案 其由线段l 抛物线弧e及圆c三部分组成 对其进行代数化的分析 如图建系 发现 圆c方程为 x 4 2 y2 16 抛物线弧e y2 2px p 0 y 0 0 x 8 若圆心c恰为抛物线y2 2px的焦点 线段l所在的直线恰为抛物线y2 2px的准线 1 求p的值及线段l所在的直线方程 2 p为圆c上的任意一点 过p作圆的切线交抛物线弧e于a b两点 问是否存在这样的点p 使得弦ab在l上的投影的长度与圆c的直径之比为4 3 若存在 求出p点坐标 若不存在 请说明理由 三 解答题 解析 1 由题意易得p 8 直线方程为x 4 5分 2 假设存在这样的p点 设p x0 y0 0 x0 8 则切线方程为 x0 4 x 4 y0y 16 7分 将其与抛物线方程y2 16x联立 显然x0 4 y0 0 整理得y2 y0y 4x0 0 9分 设弦ab在l上的投影分别为m n 由题意可得 mn ya yb 解得x0 1 x0 16舍去 此时p 1 则ya b 2 11分 因为抛物线弧的右上端点坐标为 8 8 且 2 8 故此时的p不满足条件 即这样的p点不存在 15分 10 2016浙江镇海中学期初考试 19 已知抛物线c y2 2px p 0 和圆r x p 2 y2 点p x0 y0 为c上第一象限内一动点 过点p引圆r的两条切线l1 l2 分别交c于a b两点 异于p 1 当x0 p时 求直线ab的斜率 2 若p 2 且x0 3 设直线l1 l2分别交y轴于m n两点 试求 mnp面积的表达式 用x0表示 解析 1 当x0 p时 y0 p 此时p p p 设l1 y k x p p k 0 则l2 y k x p p 由消去x得k y2 2py 2p2 2k p2 0 ya p 所以ya p 同理yb p 则kab 2 因为p 2 所以c y2 4x和圆r x 2 2 y2 1 设过点p且与圆r相切的直线方程为y k x x0 y0 即kx y y0 kx0 0 则 1 即k2 1 k2 2y0 2 x0 k 整理成关于k的方程 得 4x0 3 k2 2y0 2 x0 k 4x0 1 0 所以 k 4 2 x0 2 4 4x0 3 4x0 1 4 12 0 且k1 k2 k1 k2 在y k x x0 y0中 令x 0 得y y0 kx0 所以ym y0 k1x0 yn y0 k2x0 又x0 3 所以 4x0 3 0 则 mn x0 k1 k2 x0 所以s mnp mn x0 1 2017浙江绍兴质量调测 3月 7 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为f 过点m p 0 的直线交抛物线于a b两点 若 2 则 a 2b c d 与p有关 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案b设直线ab的方程为x my p 由题意知m 0 将直线方程代入y2 2px p 0 知y2 2mpy 2p2 0 所以ya yb 2mp yayb 2p2 由 2知 ya 2yb 由对称性 不妨设yb 0 则 yb 2mp 2 2p2 所以此时ya 2p 所以 故选b 2 2017浙江名校 镇海中学 交流卷二 13 设抛物线y2 4x的焦点为f p r为抛物线上的点 若 pf 4 则点p的坐标是 若直线rf与抛物线的另一交点为q 且 rqo o为坐标原点 的重心在直线y x上 则直线rf的斜率是 二 填空题 答案 3 2 2或1 解析由xp 1 4 得xp 3 所以yp 2 故p点坐标为 3 2 显然直线rf的斜率存在且不为0 设直线rf y k x 1 k 0 将其代入y2 4x 消去x 得ky2 4y 4k 0 设r x1 y1 q x2 y2 所以y1 y2 y1y2 4 因此x1 x2 2y1y2 2 所以 rqo的重心坐标为 又重心在直线y x上 故 即k2 3k 2 0 所以k 1或2 3 2017浙江台州4月调研卷 一模 15 过抛物线y2 4x的焦点f作直线与抛物线及其准线分别交于a b c三点 若 4 则 答案 解析设直线ab的方程为x my 1 m 0 令x 1 得y 即c 联立消去x 得y2 4my 4 0 故ya yb 4m ya yb 4 因为 4 所以解得又 4xb 即 2 所以或因此 ab ya yb 4 一题多解利用焦点弦的性质 由题可知 xb 所以 bf 1 因此 1 所以 af 3 故 ab 3 4 2017浙江名校新高考研究联盟测试一 11 已知抛物线c y2 2x 若c上的点m到焦点f的距离为 则 ofm的面积是 答案1 解析由已知可得f 由焦半径公式得xm 所以xm 8 因此 ym 4 故s ofm 4 1 5 2016浙江温州一模 15 已知斜率为的直线l与抛物线y2 2px p 0 交于位于x轴上方的不同两点a b 记直线oa ob的斜率分别为k1 k2 则k1 k2的取值范围是 答案 2 解析设a x1 y1 b x2 y2 直线l y x m 代入y2 2px 得y2 4py 4pm 0 满足所以 p m 0 所以k1 k2 2p 所以k1 k2 2 6 2016浙江宁波一模 10 抛物线x2 4y的焦点f的坐标为 若m是抛物线上一点 mf 4 o为坐标原点 则 mfo 答案 0 1 解析由题意知 p 2 故焦点f的坐标为 0 1 mf ym 1 4 所以ym 3 则xm 2 所以kmf 故 mfo 7 2015浙江名校 绍兴一中 交流卷五 14 已知m a 4 为抛物线y2 2px p 0 上一点 f为抛物线的焦点 n为y轴上的动点 当sin mnf的值最大时 mnf的面积为5 则p的值为 答案2或8 解析设n 0 n 当sin mnf的值最大时 mnf 从而有 0 得ap n2 4n 0 又2ap 16 所以n2 4n 4 0 所以n 2 所以n的坐标为 0 2 时 sin mnf的值最大 过m作mm y轴 垂足为m 则梯形ofmm 的面积为10 10 4 又ap 8 得p 2或8 9 2016浙江五校第一次联考 19 如图 已知f为抛物线y2 4x的焦点 点a b c在该抛物线上 其中a c关于x轴对称 a在第一象限 且直线bc经过点f 1 若 abc的重心为g 求直线ab的方程 2 记s abo s1 s cfo s2 其中o为坐标原点 求 的最小值 解析设a x1 y1 b x2 y2 c x1 y1 x1 0 y1 0 1 由 abc的重心为g得解得 故直线ab的方程为4x 5y 4 0 2 由已知得f 1 0 设直线bc的方程为x 1 my 与y2 4x联立消去x得y2 4my 4 0 则 y1y2 4 即y1y2 4 再设直线ab的方程为y kx n k 0 与y2 4x联立消去x得 ky2 4y 4n 0 则y1y2 4 即n k 故直线ab的方程为y k x 1 所以直线ab过定点e 1 0 s abo s1 oe y2 y1 y2 y1 s cfo s2 of y1 于是 y2 y1 2 2 2 故 min 2 2 等号成立的条件为y1 y2 10 2016浙江杭州二模 20 设抛物线 y2 2px p 0 上的点m x0 4 到焦点f的距离 mf x0 1 求抛物线 的方程 2 过点f的直线l与抛物线 相交于a b两点 线段ab的垂直平分线l 与抛物线 相交于c d两点 若 0 求直线l的方程 解析 1 由抛物线的定义 得 mf x0 又 mf x0 所以x0 2p 即m 2p 4 将 2p 4 代入y2 2px 得2p 2p 16 解得p 2 p 2舍去 所以抛物线 的方程为y2 4x 2 由题意可知 直线l的斜率存在 且不等于0 设l的方程为y k x 1 k 0 a x1