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第3章 角动量定理 - 105 - 习 题3-1 台阶形鼓轮装在水平轴上，小头重量为，大头重量为，半径分别为和，分别挂一重物，物体A重为，物体重B为，且。如3-1题图所示，求鼓轮的角加速度。解：本题有明显的转轴o，因而可以用角动量定理求解。系统只有一个转轴，求运动而不求内力，所以取质心为研究对象。因重力对轴o的力矩不为零，可得：质心系的动量距为： 另外还有运动学补充方程：所以应用角动量定理由 得 又 则有 答案：。3-2 如图所示，两根等长等重的均匀细杆AC和BC，在C点用光滑铰链连接，铅直放在光滑水平面上，设两杆由初速度为零开始运动。试求C点着地时的速度。解： 系统在水平方向上受力为零，角动量守恒有其中 为C点着地时A点速度答案：。3-3 半径为a，质量为M的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速度转动，求绕此轴的角动量。解 由题意作图 如图所示由某一质点组对某个固定轴的动量矩 其中 故 答案： 3-4 一半径为r，重量为P的水平台，以初角速度绕一通过中心的铅直轴旋转；一重量为Q的人A沿半径行走，在开始时，A在平台中心。若平台可视为均质圆盘，求以的函数表示的平台的角速度。解 由题意作图，如图所示水平台和人组成的系统角动量守恒，则答案：。3-5 一光滑的杆在水平面上绕其上的一点以等角速度转动，一质点被约束在杆上自由运动。已知时，质点离点的距离为b并相对于杆静止。试求质点的运动规律和杆对质点的作用力。答案：运动规律为 ；作用力为 。3-6 证明半径为r，质量为m的空心球壳绕直径的转动惯量为。解 由题意作图，如图以球心为坐标原点建立直角坐标系其中 积分 故空心球壳绕直径的转动惯量为3-7 证明底面半径为r，高为h的圆锥体，绕对称轴的转动惯量为，绕底面任一直径的转动惯量为。解 由题意建立如图3-7所示直角坐标系沿平行于OXY平面切圆锥体得一切面为圆，则该切面面积为圆锥体有由数学知识得：故积分故对称轴的转动惯量：绕底面任一直径的转动惯量：得证。3-8 如椭球方程为试求此椭圆绕其3个中心主轴转动时的中心主转动惯量，设此椭球质量为m并且密度是常数。解 如题3-8图所示，沿y轴平行于Oxz平切椭圆得切面为一椭圆，则该椭圆方程为：可求该切面的面积故积分同理可求：，故中心主转动惯量：又由于椭球体积故将代入，得：答案： ，。3-9 把分子看作相互间距离不变的质点组，试求以下两种情况下分子的主转动惯量：（1）两原子分子，它们的质量分别为和，间距为；(2)形状为等腰三角形的三原子分子，三角形的高为h，底边长为a，底边上两质点的质量是，顶点上的是。解 （1）取二原子的连线为x轴，而y轴与z轴通过质心，则Ox，Oy，Oz轴即为中心惯量主轴。设，的坐标为，因为O为质心（如图3-9.1）。故 （1）且 （2）由（1）（2）得所以中心惯量主轴：（2）如题3-9.2图所示，改原子由A、B、C三个原子构成，C为三个原子的质心。由对称性可知，图中Cx、Cy、Cz轴即为中心惯量主轴，设A、B、D三原子的坐标分别为因为C为分子质心。所以 （1）又由于 （2） （3）由（1）（2）（3）得：该分子的中心主转动惯量答案：（1），。（2）坐标轴过质心，则，。3-10 一个均质的半径为a，高为b的圆柱体，取其中心为坐标系的原点，柱轴为z轴，写出它的惯量椭球的方程。若使其惯量椭球为圆球，a与b之比应为多少？解 由题意作图，如图所示取柱体的质心为坐标原点，建立坐标系沿y轴平行xoy平切圆柱体的切面面积 又 故积分同理可求得故中心惯量欲使其惯量椭球为球，只需答案：，其中，。欲使其惯量椭球为球，必有。3-11 求惯量张量的主轴与主惯量，。解 根据线性代数的知识令，得 即 求出所对应的特征向量分别为又于主轴相互正交，经正交化和单位化之后得 答案：，。3-12 半径为R的非均质圆球，在距中心r处的密度可以用表示，式中和都是常数。求圆球绕直径转动时的回转半径。解 设dm表示据球心为r的一薄球壳的质量，则所以该球对球心的转动惯量 (1)在对称球中，绕直径转动的转动惯量 (2)又球的质量 (3)又绕直径的回转半径 (4)由（1）（2）（3）（4）得：答案：。3-13 立方体绕其对角线转动时回转半径为，试证明式中d为对角线的长度。解 如图3-13.1图所示Oxyz坐标系。O为正方体的中心。Ox，Oy，Oz分别与正方体的边平行。由对称性知，Ox，Oy，Oz轴就是正方体的中心惯量主轴。设正方体的边长为a。设adydz为平行于x轴的一小方条的体积，则正方体绕x轴的转动惯量根据对称性得： 易求正方体的对角线与Ox，Oy，Oz轴的夹角都为。且故正方体绕对角线的转动惯量 （1）又由 （2）于绕对角线的回转半径 （3）由（1）（2）（3）得：3-14 每个人行走时，都会有一种自然步频。略去膝关节的效应，试用最简单的模型来估算步频。（提示：以均匀杆模型进行计算）解 答案：Hz。3-15 一个飞机的螺旋桨绕轴的转动惯量为I，所受的驱动力矩和摩擦阻力矩分别为，其中a、b和均为正的常量，求其稳定运动时的角速度。解：以螺旋桨为研究对象，其可视为刚体，螺旋桨在驱动力距的作用运动，螺旋桨绕其轴转动，则转动微分方程为即 （1）将（1）式除以得 (2)这是一个二阶常系数非齐次方程，它所对应的齐次方程的特征方程为其解为 ，则方程的通解为 （2）下面求解非齐次方程的特解，由于非齐次项为所以相应的特解由和构成，其中为 （3） 的特解由微分方程理论知，特解 （4）将其代入（3），比较系数可得，故 而为方程 （5）的特解，由微分方程理论知，其特解的形式为 （6）将（6）代入（5），用比较系数法求和，由于故有 解得 把,和相加即得该问题得解，即 式中的 和为待定常数，它们由螺旋桨的初始角位移和初始角速度确定。答案：。3-16 一圆盘以匀速沿一直线做无滑动的滚动。杆AB以铰链固结于盘的边缘上B点，其A端沿上述直线滑动。求A点的速度与盘转角的关系，设杆长为l，盘的半径为r。解 如题3-16.1图示。由于圆盘作无滑滚动，所以D为圆盘的瞬心。故，设圆盘匀速转动的角速度为，则得所以 (1)因为A点的速度沿地面水平向右，分别作和的垂线交C点，则C点即为杆的瞬心。且得：由几何知识可知与竖直方向夹角为，又知 又，所以 (2)又。即：得 (3)故 (4)由（1）（2）（3）（4）得：答案：3-17 质量为，半径为r的均质圆柱，放在粗糙的水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮并悬挂质量为m的物体。设圆柱体只滚不滑并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的，求圆柱体质心的加速度，物体的加速度及绳张力T。解 如题3-17.1图，设圆柱体的转动角速度为，设它受到地面的摩擦力为f，由动量定理和动量距定理知： （1） （2）对于滑块，由动量定理知： （3）又由无滑滚动条件知：两边对时间求导得 （4）:以C为基点： 假设绳不拉伸，则 。故 （5）由（1）（2）（3）（4）（5）解得：答案：，。3-18 均质圆盘半径为a，放在粗糙水平桌面上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时角速度为，已知圆盘与桌面的摩擦系数为，问经过多长时间后盘将静止？解 如图3-18.1所示。z轴过O点垂直纸面向外。均质圆盘的密度为。设盘沿顺时针转动，则沿z的方向有即 （1）I为转盘绕z轴的转动惯量：（m为盘的质量）， （2）（为圆盘转动的角频率，负号因为规定顺时针转动） （3）由（1）（2）（3）得 又因为， 故所以，得答案：。3-19 矩形均质薄片ABCD，边长为a与b，重为mg，绕竖直轴AB以初角速度转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直于薄片，其量值与薄片面积及速度平方成正比，比例系数为k。问经过多长时间后，薄片的角速度减为初角速度的一半？解：如题3-19.1图，坐标Oxyz与薄片固连，则沿z轴方向有：且 （1）现取如图阴影部分的小区域，则该区域受到的阻力对z轴的力矩 所以 （2）又薄片对z轴的转动惯量（3）由（1）（2）（3）得：又，解得当时，答案：。3-20 质量为m的小球串在半径为R的光滑圆环上，并可沿圆环自由滑动。如环在水平面内以角速度绕环上一点转动，写出小球的运动方程。解 以地面为参考系，则小环的运动微分方程为其中，为质点的位矢和的夹角化简得：答案：，为质点的位矢和的夹角。3-21 一面粗糙另一面光滑的平板质量为M，光滑的一面放在水平桌上，木板上放一质量为m的球，若板沿其长度方向突然有一速度为V，问此球经过多长时间开始滚动而不滑动? 解 如题3-21.1图，Ox轴与速度方向一致，Oz轴垂直纸面向外，设球的半径为r，则球绕任一直径的转动惯量。由动量定理和动量矩定理可知：对小球： （1） （2） （3）对木板： （4）由（1）（2）（3）（4）得：设球与板的接触点为A，则t时刻A点的速度为： （5）t时刻木板的速度 （6）球由滑动变为滚动的条件是： （7）由（5）（6）（7）解得：答案：。3-22 圆轮C沿水平直轨道向右做只滚不滑的运动，AB杆的A端铰接在圆轮边缘上，B端可沿斜面滑动，已知轮心的速度为，圆轮半径为R，AB