第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛.doc

学校 姓名 考号 学号 装订线线亲订第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试卷（初一组）（时间2007年4月21日10：0011：30）一、填空（每题10分，共80分）1、计算： 。2、“b的相反数与a的差的一半的平方”的代数表达式为 。3、规定符号“”为选择两数中较大者，规定符号“”为选择两数中较小者，例如：35=5，35=3，则4、已知 ，那么 = 。5、用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，则这个立体的表面积最多是 。 图1（从上向下看） 图2（从正面看）6、满足不等式的整数n的个数是 。7、某年级原有学生280人，被分为人数相同的若干个班。新学年时，该年级人数增加到585人，仍被分为人数相同的若干个班，但是多了6个班，则这个年级原有 个班。8、如果锐角三角形的三个内角的度数均为整数，并且最大角是最小角的5倍，那么这个三角形的最大角的度数是 。二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9、已知a，b，c都是整数，当代数式 的值能被13整除时，那么代数式 的值是否一定能被13整除，为什么？10、如图3所示，在四边形ABCD中，四边形ABEM，MEFN，NFCD的面积分别记为，和，求 =？（提示：连接AE、EN、NC和AC）11、图4是一个99的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数。请写出这个9位数，简单说明理由。12、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）三、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13、壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”。已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁。请回答：谁是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？14、请回答：能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由。第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题参考答案（初一组）1、 填空（每题10分，共80分）题号12345678答案97485785二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9、解：设x，y，z，t是整数，并且假设 （1） 比较上式a，b，c的系数，应当有 （2） 取 ，可以得到 ，则有 （3）既然 和都能被13整除，就能被13整除。【说明】 表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取，则有 ，则有 实际上，（2）是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到 ，这里k是任意整数，将 代入其余方程，解得 ，这里k是任意整数，则可以有评分参考：有类似于（3）的代数表达式，给10分。10、解：如图3a，连接AE、EN和NC，易知 由 ， ，上面两个式子相加得 （1）并且四边形AECN的面积=。 连接AC，如图3b,由三角形面积公式，易知 ， 上面两个式子相加得 四边形AECN的面积= （2）将（1）式和（2）相加，得到 ，既然 ， 因此 图3b ， 。答：评分参考：能利用三角形面积公式导出结果（1），给4分；能利用三角形面积公式导出结果（2），给4分；正确给出答案，给2分。11、解答：填数的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格。第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图4左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格 图4a子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图4右下角的“小九宫”格中的数字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图4中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所以，7应当填在（9，8）；3自然就填在（9，9）了，填法见图4a。 九位数是 495186273。评分参考：正确给出答案，给5分；对图4左边中间的“小九宫”格的5个空格的填法，能说明理由，给5分，每个空格给1分；即使最后答案不正确，对于推理正确的空格填法，要适当给分；12、解答： （1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法。因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出1个三角形。但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的取法有321=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造 个不同的三角形。（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形。（3）用英文大写字母A、B、C、D、E、F记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母。这里不同的英文大写字母仅有6个。因此，这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点，无妨设为A。根据假设，这3个三角形两两没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同。但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母。所以，不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边。又显然，和这4个三角形两两没有公共边。所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边。评分参考：回答第一问正确给3分；回答第二问正确给2分；第三问，回答正确给2分，能解释理由再给2分。三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13、解：设刘芳的年龄为x岁。 刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳。注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳。壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为( 路路岁，他的妈妈应当是 岁，和为 菲菲岁，她的妈妈应当是 岁，和为 由于6个人共105岁，所以，。 解出x=32,菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁。答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁。评分参考：第一步，能判断出壮壮的妈妈是刘芳，给5分；能正确回答谁是路路的妈妈，给5分；能正确回答3个孩子的年龄，给5分。14、解：（1）由于，故有 。所以，能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）。（2）不妨设，现在的问题就是寻找整a，b，c，满足 由，则有 ，从而 ,所以 。又有，所以 ，故或16。若，则有 ，由于，并且 ，所以 ， 。故 ，100或121。将 、100和121分别代入 ，没有一个是完全平方数，说明当 时，无解。若 ，则 。类似地，可得：，即 ，此时，不是整数。 综上所述，不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和。评分参考：正确回答第一问给5分（答案不唯一）；能得到或16，给6分；能分别对 和16讨论能否表示为3个互异的完全平方数的倒数之和，各给2分，共4分；对代数式合理和正确的推导适当给分。特别说明：因为各题的解答未必唯一，上述解答和评分仅供参考。8第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）（建议考试时间：2008年4月19日10:0011:30）一、填空（每题10分，共80分）1. 某地区2008年2月21日至28日的平均气温为-1，2月22日至29日的平均气温为-0.5，2月21日的平均气温为-3，则2月29日的平均气温为 .2. 已知(新+奥+运)=2008，其中每个汉字都代表0到9的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则算式= .3. 代数和12008+2200732006420051003100610041005的个位数字是 .4. 用一个平面去截一个长方体,裁面是一个多边形, 这个多边形的边数最多有 条.5. 一列数1,3,6,10,15,21,中,从第二个数开始,每一个数都是这个数的序号加上前一个数的和,那么第2008个数是 .6. 当x取相反数时,代数式ax+bx对应的值也为相反数,则ab等于 .7. 已知是以x为未知数的一元一次方程,如果,那么的值为 .8. 在34方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子,至少要去掉 枚围棋子,才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点.二、解答下列各题(第题10分,共40分,要求写出简要过程)9. 如果一个锐角三角形的三个角的度数都是正整数,且最大角是最小角的4倍，那么这个三角形的最小角的度数可能是哪些值？10. 小明将164个桃子分给猴子,余下的几个留给了自己,每只猴子得到了数目相同的桃子,小明留给自己的桃子数是一只猴子的四分之一,问共有多少只猴子?11. 下图中,E,F为三角形ABC边上的点,CE与BF相交于P. 已知三角形PBC的面积为12, 并且三角形EBP, 三角形FPC及四边形AEPF的面积都相同,求三角形EBP的面积. 12. 现有代数式x+y, x-y, xy和 ,当x和y取哪些值时,能使其中的三个代数式的值相等?三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13. 对于某些自然数n, 可以用n个大小相同的等边三角形拼成内角都为120的六边形. 例如, n=10时就可以拼出这样的六边形,见右图,请从小到大,求出前10个这样的n. 14. 对于有理数x,用x表示不大于x的最大整数, 请解方程第十三届“华罗庚金杯”少年数字邀请赛决赛试题参考答案（初一组）一、填空（每题10分，共80分）题号12345678答案129862017036064二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. 答案:20,21,22.解答: 设最小角为x, 最大角为4x, 另一个角为y. 则由题目的条件得, , 由的前两个式子得到: , 解得; 又由的第三个式子得到, 所以.评分参考: 1) 给出三个关系给4分; 2)得出范围给4分; 3)给出答案给2分.10. 答案:10.解答: 设有n只猴子, 小明留给自己p个桃子. 每只猴子分到了4p个桃子. 则, 所以p是4的倍数, 令, 则, 是4的倍数. 令, 则, , 因为n是正整数, 所以. 当时, .评分参考: 1)给出p, n的关系给3分; 2)得到n, k的最终关系给4分; 3)得到答案给3分.11. 答案: 4解答: 设三角形EBP的面积为X, 连接AP. 若令三角形APF的面积为Y, 则三角形AEP的面积为. 因为, 而, , 所以有, 解得, 即, 所以X=4. 三角形EBP的面积为4.评分参考: 1)引出辅助线给2分; 2)得到X与Y的关系给4分; 3)得到答案给4分.12. 答案: , , , .解答: 首先必须, 否则没有意义. 若, 则, 矛盾. 所以. 若, 则由, 或都得到, 所以, 即. 因此, 三个相等的式子只有两种可能:(1) . 由后一等式得到, 或, 而是不可能的, 因为此时由第一个等式得到, 矛盾. 当时, 由第一个等式得到, 即, 所以.(2) . 由后一等式同样得到, 或, 同样, 是不可能的, 而当时, 由第一个等式得到, 所以.评分参考: 1) (1)之前给2分; 2) (1)和(2)各给4分.三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13. 答案: 6,10,13,14,16,18,19,22,24,25.解答: 设所用的等边三角形的边长单位为1. 任何满足条件的六边形的外接三角形一定是一个边长为l的大等边三角形. 该六边形可以通过切去边长分别为的等国三角形的角而得到, 其中为正整数, 并且满足, .又由于用边长为1的等边三角形拼成的一个边长为x (正整数)的等边三角形所需要的个数是. 因此, , 其中, , .(1) 时, n可以为.(2) 时, n可以为. .(3) 时, 与上面不同的n可以为, ., .(4) 时,与上面不同的n可以为, ., ., =36-3=33.(5) 时, 与上面不同的n都比27大.(6) 时, 可以证明满足要求的n都不小于26.由(1)到(6)可得,前10个满足要求的n为6,10,13,14,16,18,19,22,24,25评分参考: 1)写出10个中的1个给1分; 2)给出足够的理由,例如(1)之前的部分给5分.14. 答案:或.解答: 因为方程左边的第1、3项都是整数, 所以是整数. 注意到,代入方程, 得到, . 所以是整数, 是10的倍数. 令, k是整数, 代入得, 其中, 对于有理数x, =. 所以有, . 当k取不同整数时, 的情况如下表:k=1=2=3=1=0K的可能值是和3, 相应的和y =10. 代入验算得到或.评分参考: 1) 得到是整数给3分; 2)得到关于k的不等式给5人; 3)得到列表的结果给5分; 3)每个答案各给1分.第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题解答（初一组）一、选择题1. 如果满足, , 则的值是 ( ).(A) 5 (B) 7 (C) (D) 9【答案】B.【解答】, 两边相加得到, 两边除以8得到. 故答案为B. 2. 和2对应的点将数轴分成3段, 如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中一段之中, 那么n的最小值是 ( ). 图A-5(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8【答案】C.【解答】数轴的三段包含了所有数对应的点, 再由抽屉原理得出C是对的.3. 用甲乙两种饮料按照（重量比）混合配制成一种新饮料, 原来两种饮料成本是：甲每500克5元, 乙每500克4元. 现甲成本上升10%, 乙下降10%, 而新饮料成本恰好保持不变, 则= ( ).(A) (B) (C) (D) 【答案】A.【解答】由 , , .4. 满足+=1的的值是 ( ).(A) (B) (C) (D) 【答案】C. 【解答】 当x0, 原方程为=1, 即, 无解；当0x1, 原方程为=1, 即, 这种情况下当时, 无解；当, , x=；当x1, 原方程为 =1,即, 无解.图A-65. 一个立方体的每一个面都写有一个自然数, 并且相对的两个面内的两数之和都相等, 图A-6是这个立方体的平面展开图, 若20、0、9的对面分别写的是, 则的值为 ( ).(A) 481 (B) 301 (C) 602 (D) 962【答案】B.【解答】由题意得：, 所以, , .进而=.6. 乘积为的不同的五个整数的平均值最大是 ( ). (A) (B) (C) 7 (D) 9 【答案】D.【解答】假设, . 根据, 首先说明, 在平均值最大时中只有一个负数. 如果都是负数, 可以选择两个数, 改变符号后, 乘积不变, 且没有相同的整数, 并且5个数的平均值增大. 故最多有3个负数. 假设有3个负数. 为负数, 为正数. 如果中的两个的绝对值与都不相等, 则选择两个数, 改变符号后, 乘积不变. 故中任意两个的绝对值至少有一个与中的数相等. 这说明是中的两个数. 另外, 中至少有一个等于1. 因为如果, 则, 且等号成立时或者. 并且为互不相等的整数. 故中有一个数等于, 令, . 不妨设, 则或. 即为或者, 两组数的和都比小. 故最多有一个负数, 设为. 这个负数一定是. 否则, 用乘以最大的整数, 满足五个数都不相同. 现在根据240分解的特点, 证明为和最大的分解. 设, 则, . 我们用一个性质：如果, 则, 因为. 这说明, 因为. 故为和最大的分解. 二、填空题7. 如果, 那么 的值为 .【答案】.【解答】因为得到. 而. 一个特解：8. 如图A-7, 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发去往C地, 在距离C地2500米处甲追上乙；若乙提前10分钟出发, 则在距离C地1000米处甲追上乙. 已知, 乙每分钟走60米, 那么甲的速度是每分钟 米.图A-7【答案】100.【解答】乙提前走10分钟, 两个人的路程差就增加1060=600米, 而甲需要多走25001000=1500米才能追上乙. 那就是说, 甲走1500米的时间里乙可以走1500600=900米, 所以甲乙的速度比为1500:900=5:3. 甲的速度为每分钟6035=100米.9. 在2001、2002、2010这10个数中, 不能表示成两个平方数差的数有 个.【答案】3.【解答】若数a是奇数, 则如果是4的倍数, 则.一个偶数如果能表示成两个平方数的差, 则这两个数一定同时为奇数或者偶数. 而两个奇数（偶数）的平方差一定是4的倍数, 因为2002, 2006, 2010不是4的倍数, 故不能表示成两个平方数的差. 10. 如图A-8, 某风景区的沿湖公路AB=3千米, BC=4千米, CD=12千米, AD=13千米, 其中, 图中阴影是草地, 其余是水面. 那么乘游艇由点C出发, 行进速度为每小时千米, 到达对岸AD最少要用 小时.图A-8【答案】0.4小时. 图A-9【解答】 连接AC, 见图A-9. 由勾股定理容易求得AC=5千米. 又因为 所以三角形ACD是直角三角形, 要乘游艇由点C出发, 行进速度为每小时千米, 到达对岸AD所用时间最少, 游艇行进路线必须最短, 即为点C到AD的距离, 也就是直角三角形ACD中斜边AD上的高线, 这个高线 千米.所以游艇行进最少时间为小时.第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B解答（初一组）一、填空题1. 互不相等的有理数a, b, c在数轴上的对应点分别为A, B, C. 如果,那么在点A, B, C中, 居中的是点 .【答案】 B.【解答】当 时, ; 当 时, ; 所以点 B 在点 A 与点 C 之间.图A-31 当点 B 不在 A, C 两个点之间时, 不成立. 事实上, 当 时, , . 这时不可能有 , 否则, , 即 , 得出 a 和 b 相等, 与题设条件矛盾. 类似地可以讨论其他情形.2. 图A-31所示的立体图形由10个棱长为1的正方体木块搭成, 这个立体图形的表面积为 .【答案】 34.【解答】 从上、下、前、后、左、右看这个立体图形的表面的面积分别为 6, 6, 5, 5, 6, 6, 总和为 34 .3. 某班有36人买了铅笔, 共买了50支, 有人买了1支, 有人买了2支, 也有人买了3支. 如果买1支的人数是其余人数的2倍, 那么买2支铅笔的学生数为 .【答案】 10.【解答】 设买1支铅笔的人数为x, 则有 所以 . 买2支和3支铅笔的人数为: (人), 他们共买铅笔数: .设买2支铅笔的学生数为 y, 则有,解出 .4. 已知a, b是正整数, 和都是真分数, 且, 则 .【答案】 52.【解答】 因 , 所以 即 .所以 , 因此 .5. 三个三位数由数字a, b组成, 它们的和是2331, 则的最大值是 .【答案】 15.【解答】.所以.满足上式的共有四组解:图A-31故的最大值为15.6. 如图A-31所示, 四边形的面积为6, 点M, N, P, Q分别为各边的中点. 点O为内的一点. 连接并延长至E点, 使得, 同样的方式可得点F, G, H. 则四边形的面积为 .【答案】 27.【解答】 连接, 见图A-32. 因为点分别为四边形各边的中点, 所以四边形的面积为四边形面积的一半, 即四边形的面积为3.图A-32因为且, 容易得到三角形的面积是三角形的面积的9倍.同理可得三角形的面积是三角形的面积的9倍；三角形的面积是三角形的面积的9倍；三角形的面积是三角形的面积的9倍.所以四边形的面积是四边形的面积9倍, 即四边形的面积为27.7. 至少任取 个正整数, 可以保证其中必存在6个数, 它们的和是6的倍数.【答案】 11.【解答】 首先说明取10个正整数无法保证满足要求. 例如10个数被6除的余数5个为0, 5个为1, 此时任取其中6个求和, 所得和的被6除的余数为不小于1且不大于5. 故至少取11个正整数.首先证明结论: 5个正整数中必定存在3个数之和为3的倍数.若5个数被3除所得的余数有0, 1, 2这三种, 则余数互不相同的这3个数之和能被3整除; 若只有不超过被3除所得余数其中的2种, 由抽屉原理, 可知其中必有3个数被3除所得的余数相同, 这样的3个数之和能被3整除. 故任意5个数中必有3个数的和能被3整除.设任给的11个整数为根据引理, 则在中存在3个数之和为3的倍数,不妨这3个数就是因此有.同理,在剩下的整数中的中也存在3个数之和为3的倍数, 不妨这3个数就是因此有.最后, 在剩下的整数中的中也存在3个数之和为3的倍数, 不妨这3个数就是因此有.在中, 必有两个奇偶性相同, 不妨设就是的奇偶性相同, 即之和为偶数, 也就是所以也就是在这11个任取的整数中, 必存在6个数, 它们的和是6的倍数.8. 某中学新建游泳池开启使用, 先用一天时间匀速将空游泳池注满, 经一天的处理后同速将水放光; 然后开始同速注水, 注满一半时, 将注水速度减半直到注满. 请在图A-33中用图表示游泳池中水量随时间的变化关系.图A-33【解答】 图A-342、 解答下列各题9. 当时, 的最小值与最大值分别是多少?【答案】 , 0.【解答】 从绝对值定义知道,当时, 原式=, 最小值是, 最大值是;当时, 原式=, 最小值是, 最大值是;当时, 原式=, 最小值是, 最大值是0;当时, 原式=, 最小值是, 最大值是;当时, 原式=, 最小值是, 最大值是;当时, 原式=, 最小值是, 最大值是0.综上, 可知原式的最小值是, 最大值是0.图A-3510. 图A-35中有5个由4个11的小正方格组成的不同形状的硬纸板. 问能用这5个硬纸板拼成图A-35中45的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能, 请简述理由.图A-36【答案】 不能.【解答】 假设能拼成45的长方形, 如图A-36将小方格黑白相间染色, 其中黑格、白格各10个.其中除 外的4张硬纸板每一张都盖住2个黑格, 而 盖住3个黑格或一个黑格. 这样一来, 由4个11的小正方格组成的不同形状的5个硬纸板, 只能盖住9或11个黑格, 与10个黑格不符!11. 已知a, b, c取互不相等的正整数, 求的最小值.【答案】 1.【解答】 因为, 所以求最小, 就是求 最大. 而, .当a, b, c取互不相等的正整数时, 不妨设 , 则,而且当 时为0, 所以 最大为 1. 进而的最小值为 1.12. 求方程组, 的解, 其中表示不超过x的最大整数.【答案】 .【解答】 由第一个方程乘后减去第二个方程得到,此处引入 . 因为, 所以, ,于是只能有 .由第二个方程得到 .再由第一个方程得到 , 且满足 .故原方程组的解为.3、 解答下列各题 13. 图A-37中, 点B, C, A1, B2在同一直线l上; 将直角三角形以点C为心可以旋转至与直角三角形重合, 再以点A1为心可以旋转至与直角三角形重合; 连结交于点P, 连结交于点. 设, , 求阴影三角形的面积.图A-37【答案】 .【解答】 作于H, 见图A-38. 则易计算得B1H=2.4, CH=3.2, A1H=1.8.图A-38则四边形ABA1B1的面积 = .而 , 所以.因此.另一方面, 所以,.连接PB2, 又 所以 .14. 一个单项式加上多项式后等于一个整式的平方, 试求所有这样的单项式.【答案】 , , , .【解答】 设所求的单项式是 , .共有3个不为同类项的单项式, 如果, 则多项式+中不为同类项的单项式有4项, 不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方, 如果写成至少有3项不为同类项的单项式和的平方, 但是此时展开后, 至少有5个不为同类项的单项式, 所以, 得到.从而, 所求的单项式为 , , , .装订线 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷B（初一组）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1. 计算：= . 【答案】2【解答】原式.评注：本题中有有理数的绝对值、乘方和四则运算. 在运算中应化小数为分数, 化带分数为假分数, 化除法为乘法；并注意乘方时底数符号的确定, 奇、偶次幂正负号的确定. 2. 一串有规律排列的数, 从第二项起每一项都是2+前一项的倒数之和. 当第五项是20时, 第一项是 .【答案】【解答】设第一项是a, 根据题意, 第二项是2+第三项是2+第四项是2+第五项是2+因为 , 所以 , a=3. 两条直角边相差5分米, 且斜边为20分米的直角三角形的面积为 平方分米.【答案】93.75【解答】用四个相同的直角三角形构造弦图, 则,= 93.75.4. 令表示不大于x的最大整数, , 则的值为 . 【答案】805.4【解答】 容易计算分子是1, 2, 3, 4, 0一个周期, 所以, 原式等于+=805.4.图 A-945. 如图A-94, 四边形MAOB与NAOB, 且S四边形MAOBS四边形NAOB40, 点P在线段MN上, 则S四边形PAOB的面积等于 . 【答案】40图 A-95【解答】连AB见图A-95. 由S四边形MAOBS四边形NAOB40,知SMABSNAB, 故它们在AB上的高相等, 所以NMAB.因点P在MN上, 故SPABSMAB, 从而S四边形PAOBSMAOB406. 设 . 当n取 时, 能被6整除的m有 个. 【答案】671.【解答】n12345678910111213142n除以6的余数24242424242424n2除以6的余数143410143410142n-n2除以6的余数105014105014102n 除以6的余数随n 的增加, 两个数一个循环；n2 除以6的余数, 随n的增大, 每六个数一个循环. 由此可见, 除以6的余数, 随n的增大, 每六个数一个循环. 在此一个循环中, 有两个余数为零. 因此,于是, 当自然数n取 时, 能被6整除的m个数为：(个).7. 一个学校选出5个年级共8个班, 从每个班至少选出一名学生, 则在这些选出的学生中, 至少有 名学生, 他们的同班同学比他们的同年级同学少.【答案】4解法1：（1） 如果选出的学生所在年级中只有一个班, 则和他同年级的选出学生数等于和他同班的选出学生数.（2） 设一个年级仅有1个班的年级总数为n, 则所在年级至少有2个班的班级总数是. 设有m名学生, 在选出的学生中, 他们的同班同学比他们的同年级同学少. 可知, .（3） 从5个年级共8个班中, 仅有1个班的年级总数至多是4, 即 , 所以.（4） 设有4个年级均只有1个班级, 有4个班级在同一个年级, 每班各选出1名学生, 则有4名学生, 在选出的学生中, 他们的同班同学比他们的同年级同学少.解法2： 设选出n名学生, 编号为1, 2, , n. 假设对于第i名学生有 名学生与他同班, 有 名学生与他同年级, 则有,所以. （*）由于 或 , 其中必有一些 和 , 满足, 即 , 否则（*）不成立. 无妨设 , 即有k名学生, 在选出的学生中, 他们的同班同学比他们的同年级同学少. 因为每班至少推选1名, 所以 ；因为5个年级共8个班：所以 . 进而, 从 （*）式得到, , 即. 设有4个年级均只有1个班级, 有4个班级在同一个年级, 每班各选出1名学生, 则 k = 4.8. 在乘法算式中, 汉字代表非零数字, 不同汉字代表不同的数字, 那么所代表的四位数最小是 .【答案】4396. 【解答】由算式中汉字代表非零数字, 不同汉字代表不同的数字的条件，可知：“绿”、“了”和“媚”不能代表数字5；所代表的四位数大于3000.（1）先假设“春”代表3，则“草”和“花”只能分别代表1和2或2和1. 如果 “绿”（或“了”）代表6，此时，“了”（或“绿”）所能代表的数字则取自4，7，8，9，当“了”（或“绿”）取4，7，8时，算式中必将出现重复数字；当“了”（或“绿”）取9时，,说明“了”和“绿”均不能代表6. 如果“绿”代表4，由已知条件和前面陈述，“了”不能代表1，2，3，5，6和4，“了”也不能代表数字8，否则算式中将出现重复数字，故只能取7或9. 当和“红”代表的数字大于7时，.但是，其余的算式，即,和它们的积中有重复数字；当和“红”代表的数字大于5时， .但是，其余的算式，即和它们的积中有重复数字。故“绿”不能代表4。 如果“绿”代表的数字大于6，即为7或8或9时，即代表的四位数大于3999或有重复数字。已知“绿”不能代表5，且由，和，当“春”代表3时，“绿”不能代表1，2，3，4，6，7，8，9，即意味矛盾，“春”不能代表3. （2）设“春”代表4，且由“求最小四位数的要求”，可进一步设 “光”3. 此时，“草”和“花”只能分别代表1和2或2和1，“绿”、“了”和“媚”只能取6、7、8和9中的数字，由“绿”“了”的个位是“媚”，7856，故“媚”字只能取6，取为4396或4356，分解4396和4356，其中281574396满足题目要求.所代表的四位数最小是4396.二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）图 A-959. 能否用500个图A-95所示的的小长方形拼成一个的大长方形, 使得的每一行都有奇数个星、每一列都有偶数数个星? 请说明理由. 【答案】不能【解答】 因为有奇数行, 奇数个奇数之和为奇数. 有偶数列, 偶数+偶数=偶数, 奇数不等于偶数, 因此不可能.10. 从1到1000中最多可以选出多少个数, 满足：这些数中任意两个数的差不整除它们的和？【答案】334【解答】将自然数1到999分成下面333组:1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9; ; 997, 998, 999.每组中的数都是三个连续的自然数, 任取出其中的两个数, 如果这两个数奇偶相同, 则和为偶数, 差为2; 否则, 和为奇数, 差为1. 所以, 在某组中任取两个数,它们的差都可以整除他们的和.根据抽屉原理, 如果从1到1000中取出的数的个数大于334, 必定有两个数在前面所给的333组数的某组中, 这样取出的数不满足题目要求.另一方面, 取出1, 4, 7, , 1000, 共334个, 即取出数为,其中, 任意两个数的和被3除余2, 他们的差是3的倍数, 满足题目的要求.11. 某个水池存有的水量是其容量的. 两台抽水机同时向水池注水, 当水池的水量达到时, 第一台抽水机开始单独向水池注水, 用时81分钟, 所注入的水量等于第二台抽水机已注入水池内的水量. 然后第二台抽水机单独向水池注水49分钟, 此时, 两台抽水机注入水池的总水量相同. 之后, 两台抽水机都继续向水池注水. 那么两台抽水机还需要一起注水多少分钟, 方能将水池注满水?【答案】231.【解答】设水池容量为1. 由题意可知：两台抽水机第一次同时向水池注水的水量是.设两台抽水机单独向水池注水的水量为 时所需时间分别为 和 , 两台抽水机一起向水池注水的水量为时, 设所需时间为t, 则有下列方程：.所以, .由题意可知：两台抽水机单独向水池注水的水量之和也是, 两台抽水机都继续向水池注水, 还需要注水方能将水池注满水, 故有 (分钟).12. 小李和小张在一个圆形跑道上匀速跑步, 两人同时同地出发, 小李顺时针跑,每72秒跑一圈; 小张