菱形（第一课时）.docx

18.2.2菱形1.理解菱形的定义,掌握菱形的特殊性质.2.能运用菱形的性质定理和判定定理进行计算和证明.3.会利用对角线的长求菱形的面积.1.经历菱形的性质定理和判定定理的探究、证明过程,丰富学生的数学活动经验和体验,进一步培养和发展学生的合情推理能力和表达能力.2.通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算,进一步培养和发展学生的演绎推理能力.1.在对菱形特殊性质的探索过程中,使学生感受到图形中的对称美,体会到数学来源于生活又应用于生活,从而增强学生学习数学的兴趣.2.让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.【重点】菱形的性质定理和判定定理的运用.【难点】运用菱形的性质定理和判定定理进行计算和证明.第课时1.理解菱形的定义,掌握菱形的特殊性质.2.能运用菱形的性质定理计算或证明,能根据菱形的性质解决简单的实际问题.3.会利用对角线的长求菱形的面积.1.经历菱形的性质定理的探究、证明过程,丰富学生的数学活动经验和体验,进一步培养和发展学生的合情推理能力和表达能力.2.通过菱形的性质定理以及相关问题的证明和计算,进一步培养和发展学生的演绎推理能力.1.由菱形的定义,能从数学的角度去探究菱形的特殊性质,并能运用菱形的性质进行有关的证明和计算,发展应用意识.2.在应用菱形性质的过程中培养学生独立思考的习惯,在数学学习活动中获得成功的体验,通过菱形性质的探究学习,体会它的内在美和应用美.【重点】菱形性质定理的运用.【难点】菱形性质定理的理解及灵活应用.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】三角板等画图工具,复习平行四边形的定义及其性质,预习本节内容.导入一:我们已经学习了一种特殊的平行四边形矩形,其实还有另外的特殊平行四边形,请看演示:(可用事先按如图所示做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图,改变平行四边形的边,使之一组邻边相等时,这又是一类特殊的平行四边形菱形.那么什么样的图形是菱形?为什么说菱形是特殊的平行四边形?菱形具有怎样的性质?这些就是我们这节课要解决的问题.设计意图借助教具导入新课,直观形象,运用设问激发学生的好奇心,同时指明菱形是特殊的平行四边形,为下面的学习做好铺垫.导入二:前面我们学习了平行四边形、矩形,请同学们回忆平行四边形、矩形有哪些性质.引导学生从边、角、对角线、对称性四个方面考虑,思考后回答.生1:平行四边形是中心对称图形.生2:平行四边形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.生3:矩形具有平行四边形的所有性质,此外矩形还具有一些一般平行四边形不具有的特性:矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等.生4:矩形是轴对称图形,有两条对称轴.在学生讨论的基础上,教师以表格的形式予以梳理.图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角相等且互相平分设计意图温故知新.菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质,因此,引导学生复习、梳理平行四边形、矩形的性质,为本节菱形的学习奠定了扎实的基础.1.菱形的定义思路一过渡语下面我们先来看个动态演示,考虑什么样的图形是菱形.几何画板演示:如图所示.在平行四边形ABCD中,我们平移边CD,使BC=AB,这时的图形是菱形.我们说菱形是特殊的平行四边形,特殊之处就是有一组邻边相等.下面请一位同学给菱形下个定义.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形是我们生活中最常见的图形之一,你能举出一些例子吗?学生纷纷说出菱形的例子,如窗户上的菱形窗格、美丽的中国结、伸缩的衣帽架等.设计意图让学生从动态的角度出发认识菱形,体会菱形与平行四边形的联系与区别,深刻认识特殊与一般的思想.思路二过渡语下面我们先来看一些图片,考虑什么样的图形是菱形?请同学们观察上面的图片,思考下面的问题:(1)图片中给我们以哪些图形的形象?这些图形有哪些共同特点?(2)什么样的图形是菱形?你能给菱形下个定义吗?学生观察、思考、交流.学生观察发现:图片中所含的图形都是菱形.提问:谁能说一说菱形是怎样定义的?在学生尝试归纳的基础上,教师明确菱形的定义并板书.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.设计意图让学生从观察图片入手,经历观察、发现、猜想、归纳的过程,从直观上加深对菱形的理解.2.菱形的性质过渡语菱形是特殊的平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质.那么它是否具有一般平行四边形不具有的一些特性呢?接下来请同学们看下面的问题.思路一做一做:请拿出课前准备的菱形纸片,连续对折两次,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有怎样的位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?相等的角?(学生动手操作,思考、交流自己的发现)通过上面的折纸活动,学生不难发现:菱形是轴对称图形,有2条互相垂直的对称轴,如图所示.菱形的四条边都相等.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.过渡语观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段,一个数学结论是否正确,必须经过证明才能断定.下面我们一起来证明同学们的发现.求证:(1)菱形的四条边都相等;(2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.教师解析:这是一道文字证明题.对于文字证明题,第一步:根据题意画出图形,分清条件、结论,结合图形写出已知、求证;第二步:从已知条件出发,根据学过的公理、定理、定义等寻找已知与未知之间的联系,即解题思路;第三步:写出证明过程.师生共同完成证明过程.已知:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB=BC=CD=AD;(2)ACBD;(3)CAB=CAD,ACB=ACD,ABD=CBD,ADB=CDB.证明:(1)四边形ABCD是菱形,AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等),又AB=AD,AB=BC=CD=AD.(2)AB=AD,ABD是等腰三角形.又四边形ABCD是菱形,OB=OD(菱形的对角线互相平分).AOBD(等腰三角形的“三线合一”),即ACBD.(3)AB=BC=CD=AD,AC是公共边,BACDAC.CAB=CAD,ACB=ACD.同理可证ABD=CBD,ADB=CDB.教师总结:通过折纸、观察、发现、证明,我们得到了菱形的两个性质定理.性质定理1:菱形的四条边都相等.性质定理2:菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.提问:你能用符号语言表述吗?师生共同写出:(1)四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD.(2)四边形ABCD是菱形,ACBD,CAB=CAD,ACB=ACD,ABD=CBD,ADB=CDB.设计意图通过折纸、观察、发现、证明菱形的特性,深化对菱形特性的理解,为性质的运用做好准备.思路二想一想:如图,菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD相交于点O.(1)图形中有哪些相等的线段?相等的角?(2)对角线AC,BD有怎样的位置关系?(3)菱形ABCD是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?(学生观察,思考、交流自己的看法)生1:菱形是特殊的平行四边形,AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等),又AB=AD,AB=BC=CD=AD,即菱形的四条边都相等.生2:菱形是特殊的平行四边形,OA=OC,OB=OD.生3:AB=AD,OB=OD,AOBD(等腰三角形的“三线合一”),即菱形的对角线互相垂直.生4:AB=CD,AD=BC,AC是公共边,BACDAC.CAB=CAD,ACB=ACD.同理可证ABD=CBD,ADB=CDB,即菱形的每一条对角线平分一组对角.生5:菱形ABCD是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是对角线所在的直线.生6:菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.教师总结:通过对上述问题的思考、讨论,大家对菱形有了进一步的认识,由此,我们得到了菱形的两个性质定理.性质定理1:菱形的四条边都相等.性质定理2:菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.教师用符号语言表述,并检查学生笔记情况.(1)四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD.(2)四边形ABCD是菱形,ACBD,CAB=CAD,ACB=ACD,ABD=CBD,ADB=CDB.设计意图通过观察、思考、分析、证明、归纳等活动,让学生深刻理解菱形的特性,为性质定理的运用奠定基础.3.菱形面积的计算思路一提问:怎样求菱形的面积?学生回忆一般平行四边形的面积公式,面积=底高.明确菱形也可以这样求面积.追问:你发现菱形被对角线分成的四个小三角形有什么特点吗?菱形是否还有其他的求面积的方法?学生充分讨论,达成共识.菱形的面积还可以用被对角线分成的四个直角三角形的面积和来求.进一步推导,得到菱形的面积公式:如果菱形的两条对角线长分别为a,b,则菱形的面积为S=ab.思路二平行四边形的面积如何求呢?学生容易说出:底高.追问:菱形的面积如何计算呢?学生认为菱形是特殊的平行四边形,也可以用“底高”计算菱形的面积.有学生也想到:可以用四个小直角三角形的面积和来求.教师充分利用学生的回答,引导学生得出菱形的面积可由两条对角线的长来求,即用两条对角线的乘积的一半求菱形的面积.知识拓展(1)菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在的直线就是它的对称轴.(2)利用菱形的性质可以证明线段相等、角相等,它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形,由此可与勾股定理联系,得到对角线和边之间的关系.4.例题讲解过渡语上面我们研究了菱形的定义、性质和面积的计算,下面我们举例说明它们的应用.(教材例3)如图,菱形花坛ABCD的边长为20 m,ABC=60,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).师生分析:第一问,根据“直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半”以及勾股定理,可求出菱形的两条对角线长,即两条小路的长.注意结果对精确度的要求.第二问,由S菱形ABCD=4SOAB可得菱形的面积,也可由菱形面积等于对角线乘积的一半来求.让一个学生板书解题过程,其余学生在练习本上写.解:花坛ABCD的形状是菱形,ACBD,ABO=ABC=60=30.在RtOAB中,AO=AB=20=10.BO=10.花坛的两条小路长:AC=2AO=20(m),BD=2BO=2034.64(m).花坛的面积S菱形ABCD=4SOAB=ACBD=200346.4(m2).总结:菱形的边和对角线有不同于一般的平行四边形的性质,有关菱形的几何计算问题可以化为特殊三角形(直角三角形、等腰三角形),利用特殊三角形的性质来计算.(补充)如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证AFD=CBE.解析结合图形证明BCEDCE可得CBE=CDE;由菱形的对边平行可得AFD=FDC,等量代换得AFD=CBE.让一个学生板书解题过程,其余人在练习本上写.证明:四边形ABCD是菱形,CB=CD,CA平分BCD.BCE=DCE.又CE=CE,BCEDCE(SAS).CBE=CDE.在菱形ABCD中,ABCD,AFD=FDC,AFD=CBE.点评:解决菱形问题时,常常综合运用菱形的性质和全等三角形的知识证明两角相等.设计意图通过例题运用菱形性质解决有关的计算、证明问题,规范解题格式.在学生归纳小结的基础上,教师补充.1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质.(2)菱形的四条边都相等,菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.(3)菱形是轴对称图形,有两条对称轴.3.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,也可利用平行四边形的面积公式求菱形的面积.1.如图,在菱形ABCD中,BAD=120.已知ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是()A.25B.20C.15D.10解析:AC是菱形ABCD的对角线,BAD=120,BAC=60.AB=BC,ABC是等边三角形.ABC的周长是15,AB=5,菱形ABCD的周长为54=20.故选B.2.(2015吉林中考)如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.解析:连接BD,AC交于点E,如图所示,根据点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2)可知BDx轴.因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD,AE=CE=OD=2,DE=BE=OA=4,所以AC=4,故点C的坐标为(4,4).故填(4,4).3.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DHAB于H,连接OH,求证DHO=DCO.解析:要证明DHO=DCO,根据等角的余角相等,只要证明OHB=ODC即可.可根据菱形的性质,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等腰三角形中等边对等角,等角的余角相等来完成证明.证明:四边形ABCD是菱形,OD=OB,COD=90.DHAB于H,DHB=90,OH=BD=OB,OHB=OBH.又ABCD,OBH=ODC,OHB=ODC.在RtCOD中,ODC+DCO=90,在RtDHB中,DHO+OHB=90,DHO=DCO.4.已知菱形的两条对角线的长分别是6和8,求菱形的周长和面积.解析:根据菱形对角线互相垂直可得出直角三角形,利用勾股定理求出边长,从而求出周长和面积.解:如图,四边形ABCD是菱形,AC,BD交于点O,AC=8,BD=6,AB=BC=CD=DA,BDAC,AO=AC=4,BO=BD=3.在RtAOB中,AB=5,菱形的周长=4AB=20,菱形的面积=ACBD=24.第1课时1.菱形的定义2.菱形的性质3.菱形面积的计算4.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第57页练习第1,2题;教材第60页习题18.2第5题.【选做题】教材第61页习题18.2第11题.二、课后作业【基础巩固】1.菱形具有而一般的平行四边形不具有的性质是()A.对角线相等B.对边相等C.对角相等D.对角线互相垂直2.菱形的两条对角线把菱形分成的三角形中全等三角形一共有()A.2对B.4对C.6对D.8对3.已知菱形的两条对角线长分别为12 cm和6 cm,那么这个菱形的面积为cm2.4.菱形ABCD中,B=60,AB=4,则以AC为边的正方形ACEF的周长为.5.已知菱形的边长是5 cm,一条对角线长为8 cm,则另一条对角线长为 cm.6.四边形ABCD是菱形,ABC=120,AB=12 cm,则ABD的度数为,DAB的度数为,对角线BD=cm,AC=cm,菱形ABCD的面积为cm2.7.已知菱形ABCD中,AEBC于E,若S菱形ABCD=24,且AE=6,则菱形的边长为.【能力提升】8.(2015天门中考)菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示,其中点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,).动点P从点A出发,沿ABCDAB的路径,在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动.移动到第2015秒时,点P的坐标为.9.已知菱形ABCD的周长为20 cm,且相邻两内角度数之比是12,求菱形的对角线的长和面积.【拓展探究】10.如图所示的是3个全等的菱形构成的活动衣帽架,顶点A,E,F,C,G,H是上、下两排挂钩,根据需要可以改变挂钩之间的距离(比如A,C两点可以自由上下活动),若菱形的边长为13 cm,要使两排挂钩之间的距离为24 cm,并在点B,M处固定,则B,M之间的距离是多少?【答案与解析】1.D(解析:根据菱形的特性可进行判断.)2.D(解析:画出菱形,从不同角度观察可得.)3.36(解析:根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半计算可得.)4.16(解析:由已知条件可得ABC是等边三角形,所以AC长为4,所以以AC为边的正方形ACEF的周长为16.)5.6(解析:已知边长和一条对角线长,由菱形的对角线互相垂直和勾股定理可得另一条对角线的长.)6.6060121272(解析:如图,由菱形的每一条对角线平分一组对角可得ABD的度数;由菱形的对边平行,及同旁内角互补可得DAB的度数;根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形可证得ABD是等边三角形,进而可得BD的长;由菱形的对角线互相垂直,运用勾股定理可计算得AO的长,进而可知AC的长;由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半计算可得所求面积.)7.4(解析:菱形的面积等于底乘高,由S菱形ABCD=24,且AE=6,得BC=4.又菱形的四条边都相等,所以菱形的边长为4.)8.(解析:动点P从点A出发,经过16秒再回到点A,每16秒一个循环,而第2015秒是回到点A的前一秒,根据勾股定理及30角所对的直角边等于斜边的一半,即可求得点P的坐标为.故填.)9.解:如图,菱形ABCD的周长为20 cm,菱形ABCD的边长为5 cm.ABCD,BAD+ADC=180.相邻两内角度数之比是12,BAD=60,ADC=120.设AC与BD交于点O,对角线AC平分BAD,BAO=30.ACBD,OB=AB= cm,BD=5 cm.在RtAOB中,AO= cm,AC=5 cm.菱形的面积=ACBD= cm2.10.解:连接AC,BD交于点O,如图,四边形ABCD是菱形,AO=AC=12 cm. ACBD,AB=13 cm,BO=5(cm),BD=10 cm,BM=30 cm,即B,M之间的距离是30 cm.培养灵活思维的同时注意解题“通法”这一不变因素,强化学生用解直角三角形的方法解决几何计算问题,用解特殊直角三角形的方法解决特殊菱形问题.对学生的情况个人估计过高.本