Strongart数学笔记谈谈C星代数内的严格正元素.pdf

谈谈 C 代数中的严格正元素 在 C 代数理论中 除了通常的正元素序结构之外 还有一类严 格正元素也是比较有意思的 并且对算子代数的KK 理论有铺垫作用 下面我就来简单科普一下 所谓严格正元素 就是要比正元素还要正的元素 在一般连续函 数空间 C 内 非负值的元素就是正元素了 但严格正元素就必 须是正值的元素 但一般 C 代数 A 内没有取值一说 但我们可以考 虑一个形式值域 定义正元素 x A 是严格正元素 若 sA 或 Ax 或 xAx 的闭包就是 A 假若 A 是算子空间的话 那么正算子 T 是严格 正的 iff 它的值域是稠密的 回到 C 内来看 假若 f C 在某一点 x 取点 那么 fC 的闭包在 x 处也为0 因此 f 就不 是严格正的 反之逆推即可 严格正元素除了这样的值域定义之外 还可以通过正泛函来定 义 这是由 C 内赋值泛函 x f f x 的启发得到的 C 代数 A 内的元素 x 称为严格正的 假若对任何 A 的态 均有 x 0 这 里的态 state 就是指范数为1的正泛函 本质可以用非零正泛函来 代替 这样的正泛函定义域前面的值域定义是一致的 假若 xA 不在 A 内稠密 那么可以得到非零正泛函在 xA 上为零 这一点可以用 Hahn Banach 定理证明 也可以作为更一般的 Arveson 扩张定理的推 论 但我奇怪的是为什么没看到有直接以态形式出现的版本 归一 化之类就得到相应的态 反之 假若有态在为零 那么用相应的 Cauchy Schwarz 不等式就可以得到它在整个 xA 上为零 再由 xA 稠 密性得到这个态为零 矛盾 严格正元素的重要意义在于它等价于 单位的存在性 我们都 知道 C 代数总是存在逼近单位的 但一般而言这样的逼近单位不一 定可数 可数的逼近单位就是 单位 假若 C 代数存在严格正元 素 h 那么可以证明 h 1 n 就是 单位 而且它们还是两两交换的 反之假若存在 单位 h n 那么 h h n 2 n 就是它的严格正元 素 因为对任何态 我们有 h 0 h n 0 x lim xh n 0 0 由此可见 严格正元素的意义就在于可以把 很多 C 代数的性质浓缩到一个元素里面 显然 对于可分 C 代数而言 一定是存在 单位的 因此也 必有严格正元素 但反之不然 一般当 为 紧时 C 必有严格 正元素 不妨就令 Z 这样的 C Z l 就不是可分的 严格正元素的意义在 Hilbert 模上有进一步的体现 所谓的 Hilbert B 模 E 粗略的讲就是在 C 代数 B 上由内积 E E B 给出的抽象 Hilbert 空间 当 B 是复数域 C 时 对应的 Hlbert 模就 还原为一般的 Hilbert 空间 在两个 HilbertB 模上可以定义态射 而 HilbertB 模 E 到自身的所有态射记作 B E 它构成一个 C 代数 而所有的有限秩态射的闭包则构成 B E 的 双边 理想 记作 K E 它实际上就相当于一般 Hilbert 空间上的紧算子理想 在 Hilbert 模 的意义上 我们有如下的对应结论 设 E 是 Hilbert B 模 K E 的 正元素 T 是严格正的 iff T 的值域在 E 内稠密 把 单位推广到 Hilbert 模上 就得到了可数生成的概念 Hilbert B 模 E 是可数生成的 若存在 E 内的可数集 x n 使得 x nb n N b B 在 E 内稠密 对此 我们有著名的 Kasparov 稳 定性定理 若 E 是可数生成的 Hilbert B 模 则有 E H B H B 它 的推论就是 Hilbert B 模 E 是可数生成的 iff K E 有 单位 上面的一些结论在 Kasparov 的技术性引理中有所应用 进而可 以定义 KK 群的 Kasparov 积 KK A B KK B C KK A C 这就构 成了算子代数 KK 理论的必要基础 扩展阅读 Wegge Olsen N E K theory and C algebras a Friendly Approach M Oxford Oxford University Press 1993 非常生 动活泼的一本书 需要先学一点 C 代数 Blackadar B K theory for operator algebras M Cambridge University Press 1998 学习算子 K 理论的好书 有启发性且信 息量大 Jensen K K Thomsen K Elements of KK theory M Birkhauser 1991 KK 理论的经典入门书 写了很多细节的东西 本文作者 Strongart 是一位自学数学的牛人 现在 他依然努力坚持自学数学 似乎又有了新的突破 还 录了一些数学专业教学视频放在网上 然而 他却一 直没有收到专业人士的邀请 至今只能依靠网络书店 购买书籍 无法获取海量的论文资料 也没有机会和 一流的学者们交流 最后只能走上娱乐拯