中考圆压轴题.doc

1如图，为外接圆的直径，垂足为点，的平分线交于点，连接，.(1) 求证：； (2) 请判断，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.（1）证明：为直径，. （2）答：，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 理由：由（1）知：，.，. 由（1）知：.，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 7分2如图，已知O的半径为1，PQ是O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，最后一个的顶点、在圆上（1）如图1，当时，求正三角形的边长；（2）如图2，当时，求正三角形的边长；（3）如题图，求正三角形的边长（用含n的代数式表示）【答案】（1）设与交于点D，连结，则，在中，即，解得 4分（2）设与交于点E，连结，则，在中，即，解得 4分（3）设与交于点F，连结，则，在中，即，解得 4分3如图，ABC内接于O，ADBC，OEBC， OEBC（1）求BAC的度数（2）将ACD沿AC折叠为ACF，将ABD沿AB折叠为ABG，延长FC和GB相交于点H求证：四边形AFHG是正方形（3）若BD6，CD4，求AD的长（1）解：连结OB和OCAFCDEGHBOOEBC，BECEOEBC，BOC90，BAC45（2）证明：ADBC，ADBADC90由折叠可知，AGAFAD，AGHAFH90，BAGBAD，CAFCAD， BAGCAFBADCADBAC45GAFBAGCAFBAC90四边形AFHG是正方形 （3）解：由（2）得，BHC90，GHHFAD，GBBD6，CFCD4设AD的长为x，则BHGHGBx6，CHHFCFx4 在RtBCH中，BH2CH2BC2，（x6）2（x4）2102解得，x1=12，x22（不合题意，舍去）AD124如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，1C（1）求证：CBPD；（2）若BC3，sinP，求O的直径【答案】解：（1）证明： ， CP 又 1C， 1P CBPD （2）连接AC AB为0D的直径， ACB=90 又 CDAB， AP， sinAsinP在RtABC中， sinA， sinP， 又 BC3， AB55阅读下列材料，然后解答问题。经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。如图（十三），已知正四边形ABCD的外接圆O，O的面积为S，正四边形ABCD的面积为S，以圆心O为顶点作MON，使MON=90，将MON绕点O旋转，OM、ON分别与O相交于点E、F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H。设OE、OF、及正四边形ABCD的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S（1）当OM经过点A时（如图），则S、S、S之间的关系为：S （用含S、S的代数式表示）；（2）当OMAB时（如图），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。（3）当MON旋转到任意位置时（如图，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由【答案】解：（1）（2）成立。理由：连OB，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图的阴影部分的面积（3）成立。过点O分别作AB、BC的垂线交AB、BC于点P、Q，交圆于点X、Y，可证直角三角形OPG全等于直角三角形OQH，可说明两阴影部分面积之和等于图的阴影部分面积6如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点（1）求证：ACCD=PCBC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。（1）由题意，AB是O的直径；ACB=90。，CDCP，PCD=90。ACP+BCD=PCB+DCB=90。，ACP=DCB，又CBP=D+DCB，CBP=ABP+ABC，ABC=APC，APCD，PCADCB；， 全品中考网ACCD=PCBC（2）当P运动到AB弧的中点时,连接AP，AB是O的直径，APB=90。，又P是弧AB的中点，弧PA=弧PB，AP=BP，PAB=PBA=45.,又AB=5，PA=，过A作AMCP，垂足为M，在RtAMC中，ACM=45 ，CAM=45，AM=CM=，在RtAMP中，AM2+AP2=PM2，PM=，PC=PM+=。由（1）知：ACCD=PCBC ，3CD=PC4，CD（3）由（1）知：ACCD=PCBC，所以AC：BC=CP：CD；所以CP：CD=3：4，而PCD的面积等于=，CP是圆O的弦，当CP最长时，PCD的面积最大，而此时CP就是圆O的直径；所以CP=5，3：4=5：CD；CD=，PCD的面积等于=； 7已知：如图，内接于O，为直径，弦于，是AD的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、 （1）求证：是的外心； （2）若,求的长； （3）求证：【答案】（1）证明：C是AD的中点，AC=CD，CAD=ABCAB是O的直径，ACB=90。CAD+AQC=90又CEAB，ABC+PCQ=90AQC=PCQ 在PCQ中，PC=PQ，CE直径AB，AC=AEAE=CD CAD=ACE。 在APC中，有PA=PC， PA=PC=PQ P是ACQ的外心。（2）解：CE直径AB于F，在RtBCF中，由tanABC=，CF=8， 得。由勾股定理，得 AB是O的直径，在RtACB中，由tanABC=， 得。易知RtACBRtQCA， 。（3）证明：AB是O的直径，ACB=90 DAB+ABD=90又CFAB，ABG+G=90 DAB=G； RtAFPRtGFB，即易知RtACFRtCBF， 由（1），知PC=PQ，FP+PQ=FP+PC=FC 。8(本题满分10分)如图9,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且AE与DE分别平分BAD和ADC.(1) 求证:AEDE;(2) 设以AD为直径的半圆交AB于F,连接DF交AE于G,已知CD=5,AE=8,求的值.【答案】(1)证明:在平行四边形ABCD中,ABCD,BAD+ADC=180, 又AE、DE平分BAD、ADC， DAE+ADE=90， AED90， AEDE. (2)解:在平行四边形ABCD中,ADBC,AB=CD=5,AD=BC,DAE=BEA, 又DAE=BAE,BEA=BAE, BE=AB=5, 同理EC=CD=5, AD=BC=BE+EC=10, 在RtAED中,DE=6, 又AD为半圆的直径,AFD=90,AFD=AED,DAE=FAG,AFGAED, . 9如图10，为的直径，为弦，且，垂足为（1）如果的半径为4，求的度数；ABDEOCH（2）若点为的中点，连结，求证：平分；（3）在（1）的条件下，圆周上到直线距离为3的点有多少个？并说明理由【答案】解：（1） AB为O的直径，CDAB CHCD2 在RtCOH中，sinCOH= COH=60 OA=OC BAC=COH=30 （2） 点E是的中点 OEAB OECD ECD=OEC 又 OEC=OCE OCE=DCE CE平分OCD （3）圆周上到直线的距离为3的点有2个. 因为劣弧上的点到直线的最大距离为2， 上的点到直线AC的最大距离为6，根据圆的轴对称性，到直线AC距离为3的点有2个. 10如下图，在O中，点P在直径AB上运动，但与A、B两点不重合，过点P作弦CEAB，在上任取一点D，直线CD与直线AB交于点F，弦DE交直线AB于点M，连接CM.（1）如图10，当点P运动到与O点重合时，求FDM的度数.（2）如图11、图12，当点P运动到与O点不重合时，求证：FMOB=DFMC.【答案】28.解：（1）点P与点O重合时，（如图10）CE是直径，CDE90.（1分）CDEFDM180，FDM90.（2分）（2）当点P在OA上运动时（如图11）OPCE，CPEP.CMEM.CMPEMP.DMOEMP，CMPDMO.CMPDMCDMODMC，DMFCMO. （3分）D所对的弧是，COM所对的弧是，DCOM. （4分）DFMOCM.FMOCDFMC.OBOC，FMOBDFMC. （5分）当点P在OB上运动时，（如图12）证法一：连结AC，AE.OPCE，CPEP.CMEM，CMOEMO.DMFEMO，DMFCMO.（6分）CDE所对的弧是，CAE所对的弧是.CDECAE180.CDMFDM180，FDMCAE.CAE所对的弧是，COM所对的弧是，CAECOM.FDMCOM. （7分）DFMOCM.FMOCDFMC.OBOC，FMOBDFMC. （8分）11如图，P是ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程的两个实数根，设过D,E,F三点的O的面积为,矩形PDEF的面积为。（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；（2）求的最小值；（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分）(第23题)ACB解（1）据题意，a+h=.所求正方形与矩形的面积之比： 1分由知同号, 2分（说明:此处未得出只扣1分, 不再影响下面评分）3分即正方形与矩形的面积之比不小于4.（2）FED=90,DF为O的直径.O的面积为：4分矩形PDEF的面积：面积之比：