第28届俄罗斯数学奥林匹克.pdf

中 等 数 学 第 2 8届俄罗斯数学奥林匹克 第 2 8届俄罗斯数学奥林匹克于2 0 0 2 年 4月2 1日至2 9日在俄罗斯阿迪格共和国首府迈科普市举行 来 自 俄 罗斯全国各地的 1 9 9名选手参加 了比赛 考试分为两天 各个年级都是 8道试题 每天 4道题 5个小时 每道 题满分都是 7分 我国派出了东北育才学校的6名选手参加了此次竞赛 竞赛设一二三等奖 其中一等奖仅有 6 名选手获得 约占参赛人数的 3 我国选手李晓 东以总分第二名的优秀成绩荣列其 中 此外 还颁发 了4 5个 二等奖和 5 7个三等奖 我国选手获得 l 卜二等奖和 4个三等奖 以下各个年级的前 4题为第一 是的试题 后 4题为第二天的试题 九 年 级 9 1 能否将 自然数 1 至 2 0 o 2 填写 到一个 2 0 0 2 X 2 0 0 2的方格表 中 使得对任何 一个 方格 都或 者可 以从它所在 的行 中 或 者可以从它所在 的列中找 出三 个数 其中两个数的乘积等于第三个数 9 2 在以 0为顶点的角的一条边上取 一点 4 在另一条边 上取两 点 B C 其 中点 曰位于点 0 与点 C之 间 作 出 O A B 的 内切 圆 圆心 为 0 再 作 出 O A C 的一个旁切圆 圆心为 0 使之与边 A C相 切 且 与边 O A和 O C的延长 线相 切 证 明 如果 0 A 0 4 则 A B C为等腰三角形 9 3在平 面上 给定 了 6个红 点 6个蓝 点 6个 绿点 其中任何三点不共线 证明 以同色点为顶点的 所有三角形的面积之和不超过这些给定点所形成的 昕有三角形的面积之和的四分之一 9 4 希腊神话中的 多头蛇 神由 一 些头和颈子 组成 每一条颈子连接两个头 每砍下一剑 可以斩断 由某一个头 A所连 出 的昕 有的颈 子 但 是 由头 A立 即长 出一些 新的颈 子联 向所 有 原来 不与 它相 连 的头 每个头只连一条颈子 只有把 多头蛇 斩为两个互 不连通的部分 才算战胜 了它 试找出最小的自然数 使得对任何长有 1 0 0个颈子的 多头蛇 神 至多 只要砍不多于 剑 就可以战胜它 9 5 在国际象棋棋盘上放有 8枚棋子 车 它 们不能相互搏杀 证明 其中必有某两对棋子之间的 距离相等 两枚棋子之间的距离是指它们所在的方格 的中心之 间的距 离 9 6 有一个红色卡片盒和 k个 k 1 蓝色卡片 盒 还有一 副卡片 共有 2 n张 它 们被 分别编 为 1至 2 n号 开始时 这副卡 片被按任 意顺 序叠 置在红 色卡 片盒 中 从 任何 一个卡 片盒 中都 可 以取 出最上 面 的一 张 卡片 或 者把它放到 空 盒 中 或 者把 它放 到 比它 号 码 大 1的卡片 的上方 对 于 怎样 的最 大的 n 可 以通 过这种操作 把所有卡 片移到其 中一个蓝 色卡片盒 中 9 7 设 A B C的外心为 0 在其边 A B 和 B C上 分别 取点 和 使 得 2 MO N 4 0 C 证 明 MB N的周长不小于边 A C之长 9 8 在区间 2 2 2 3 中任取 1 个奇数 证明 在所取出的数中必有两个数 其中每一个数的 平方都 不能被另 一个数 整除 十 年 级 1 0 1 设 P Q R都是实 系数 多项式 它们 之 中 既 有二次多项式 也有 三次 多项 式 并 且满 足关 系式 P Q R 证明 其 中必有 一个三次 多项式 的根全 是实 根 1 0 2 设四边形 A B C D内接于圆 过 A所作的 圆 的切线交边 B C的延长线于点 K 且点 曰位于点 和点 C之 间 而过 B所作 的圆 的切线 交边 A D 的 延长线于点 且点 A位于点 和点 D之间 已知 A M A D B K B C 证 明 四边形 A B C D为梯形 1 0 3 证明 对于任何自然数 n 1 0 0 0 0 都可以 找 到 自然数 m 其 中 m可 以表示 为两 个完 全平 方数 的和 并且满 足条 件 0 m nm 证明 对 一 切 0 都 有 2I s i n C O S I 3I s i n 一 C O S I 1 1 4 某城市有若干个广场 有些广场之间有单 向行车线路相连 并且 自每个广场都刚好有两条往外 驶出的线路 证 明 可 以把 该城市 分成 l 0 1 4个小 区 使得每条线路所连接的两个广场鄱分属两 个不同的 小区 并且对于任何两个小区 所有连接它们的线路 都是同一个方向的 即都是由小区甲驶往小区乙的单 向行车线 或者都是反过来的 1 1 5 试求出具有如下性质的最小的正整数 它 可以表示为 2 0 0 2个 各位 数字 之 和相 等 的正 整 数 之 和 又可 以表 示为 2 0 0 3个各 位数 字之 和相等 的正 整 数之和 1 1 6 设 A B C D为圆内接四边形 它的两条对角 线 A C 和 B D 相交 于点 0 而A A B O的外 接 圆与 A C O D的外接圆相交于点 K 已知点 使得AB L C与 A A K D对应 相 似 证 明 如果 B I L K为 凸 四边 形 那 么 它必为圆外切 四边形 1 1 7 同 1 0 8 1 1 8 证明 存在无 限多个正整数 n 使得和数 1 1 l 的既约分数表达式中的分子不是质 厶 I t 数的正整数次方幂 参考解答 9 1 不可能 数 l 至 2 0 0 1 至多分 布在 2 0 0 1行干 2 0 0 1 列 中 则必 可找 到一行 和一 列 其 中 所填 的数全 都 不 小 于 3l 2 0 0 2 于是该行 该 列 的任何 二数的乘积都 大于 2 0 02 1 从而对于位于该行与该列相交处的方格 题中 的条件不能满 足 9 2 Z A O 0 2 是A 0 4 0 的外角 所以 AOl 02 AO0l O AOl A 0彻 9 0 一 A B D c 如图 1 没 是 线 段 延 长 线 上 的 一 点 则 Z M A O 是尘 O A O 的外角 于是 4 020l MAO2一 4 002 1 Z MAC一1 Z A OC I A C O 这样一来 由 0 4 0 f4即得 A O 0 A O 0 亦 即 A B C I C B 于 是A B A C 从而尘 4 B C为等腰 三角形 图 1 9 3考 察 3个 蓝 点 B C和 1 个非 蓝色点 D 易知 S 删 s I J D 5 S 对所有关 f这类四点组的不等式求和 可知在和 值中 每个 蓝色 三 角形都被计算 了 l 2次 而每个 蓝一 蓝 非蓝 三角形都被计算了 4次 从而 所有 蓝 色 三角形 的面积之 和不超 过所有 蓝 蓝 非 蓝 三角 形的面积之 和的三分之一 亦 即 蓝色 三角形 的面积 之和不超过所有至少有两个顶点为蓝点的三角形面 积之和的四分之一 同理可得关于其他两种颜色三角 形的不等式 上述计算中没有重复 所以 同色三角形 的面积之 和不超过所有三 角形 面积之 和的四分之一 9 4 1 0 我们改用图论语言 以头作为顶点 颈子作为边 而把对由头 A所连出的颈子所砍的一剑称为对顶点 A昕作的一次 反转 易知 如果有某个顶点 的度 数不大于 l 0 那么 就只需对 的所有相邻顶点都作 一 次 反转 即可使得顶点 游离 而如果有某个 顶点 至多与n n 9 个顶点不相邻 那么 就只需 首先对 作 一次 反转 再对这 n个顶点各作一次 反转 即可使得顶点 游离 如果每个顶点都至少有 l 1 个相邻顶点 且都至 少有 l 0个不相邻顶点 则至少一共有 2 2个顶点 于 是 边的条数 颈子的数目 不少于 2 2 X l l 1 0 0 不在 考虑范 围之 内 维普资讯 3 2 中 等 数 学 我们举例说明 9次不一定行 假设有两组各 l O个头 每个组 内的每个头都与 另一组内的每个头相连 恰好共有 1 0 0条颈子 若砍 9剑 那么 每个组内都有一个头没有受到 打击 设为 A B 对其余 l 8个头 由题设知 其中任一 头 c任何时候 9剑中 都与且只与 A B中一头相 连 另一头不相连 又 A与 日相连 故 多头蛇 神仍 然是连通 的 9 5 考 察分布 在相邻列中的 7对 车 各对 车 的纵坐标的差都在 l与 7之间 因此 或者有两 对 车 的纵 坐标的差相 同 此时这两 对 车 的距 离 已 经相同 因为它们的横坐标的差都是 1 或者这 7对 车 的纵 坐标 的差为 l 到 7 一 样一 个 特别 地 其 中 有一对 车 称 为 A 的纵 坐标 的差 为 2 而它们 的横 坐标 的差 为 1 同理 分布在相邻行中的 7对 车 中 或者可以 找 到两对 车 的横坐标 的差 相同 此 时这两对 车 的 距离已经相同 或者必有一对 车 称为 日 的横坐标 的差 2 而它们的纵坐标的差为 1 于是 对 A 与 对 有相 同的距离 9 6 n 一 1 首先证明对于更大的 n 不一定能够做到 假设 开始时 红盒中的卡片自上而下先放奇数号码的 按 任意顺序 然后放号码为 2 n的 再放其余偶数号码 的 按任意顺序 那么 前 步惟一确定 奇数号码的 卡片相继放到空的蓝盒之中 接下来 如果 n 则 已经不能再进行 如果 n 则只能把 2 n 一 号卡片 放 回红盒 于是等于没动 所 以 此时无法按 照要求移 动 卡片 假设 n2 和 n 诅 x a b l n a x P q 2 r 2 3 由题 意知 这 是不可能 的 1 0 1由题 意 可 知 R和 P p之一 为 三次 多项 式 假设 R和 p为三次多项式 P为二次多项式 如 有必要 可以通过改变符号 使得 R和Q的 项的系 数为正 于是 R Q为三次多项式 由 一Q JR Q R Q 知 R Q为一 次多项式 即 R Q t t 0 因为 P 2中的 项 的系数 为正 于是 P 2 可被 整除 因而 R Q可 被 整除 又 由于 R Q可被 l整除 所 以 R和 Q都被 整除 即有 R 1 R l Q 1 Ql 其中 R 和 Q 都是首项系数为正的二次多项式 设 P a 贝 0 由等式 a 一 R l Q 1 Rl Q1 推知 Rl Ql t 0 其 中 t 为常数 于是 Rl p l t 故 n 2 2 Q l t t 即 Q l 寺 X 2 一 号 是 具 有 二 实 根 的 二 次 多 项 式 所 以 p为具 有三 个实根 的三次 多项式 1 0 2 我 们有 MR MA MD 1 MD K A K B c 2 维普资讯 2 0 0 2年第 5 期 3 3 利用正弦定理 由此得 知 1 AK s i n ACK 1 BM s i n BDM 一K C s i n C A K 5一MD s i n D B M A B C D为 圆内接 四边 形 s i n AC K s i n B D M 从而 s i n O A K s i n D B M 这表 明存在 如下两种情况 1 如 图 3 0 D B M 此时易知 C A K B D M 并 且 A B是它们对应边 上 的公 共 中线 所 以 G 与 B D M 的相似 比为 1 即 它 们 全 等 因 此 A D l l M D K C B C 图 3 于是 A B C D为圆 内接梯形 A B C D 2 0 D B M 7 此 时 根据 弦 切 角定 理 可 知 O AK CDA DBM DCB 于是 C D A D C B 7 得 A D B C 1 0 3 设 是其平方 不超过 n的最大整数 即 n 1 由于 n为整数 则 n X 2 2 2 再设 Y是其平方大于n一 的最小正整数 有 Y一1 n n 即 m可以表示为两个完全平方数的和 并且 n n 0 另一 方面 我们有 n 九 Y 一九 Y 一 n一 Y 一 Y一1 2 y一1 2 1 最后 只需指 出 当 n 1 0 0 0 0时 有 2 1 3 1 0 4 构 作一 个图 其 顶点和边 分别对应该 国最 初的各 个城市和各条道路 按照题意 对该图作一 系列 如下形式 的改造 每一 次改造均是去掉 某一个 简单 圈 上的所有边 并将该 圈上的顶点都与 一个新的顶点 相 连 我们来证明 在最后一次改造之后 原来图中的昕 有顶点全都变为 1 度的 由于原来图中恰有 2 0 0 2个 顶点 所以便证得 了题 中的结论 观察原来图中的任意一个顶点 由题意知 将 该顶 点 自原来 图中分离 去掉 原来 图 中连结该 顶点 的 所有边和该顶点 之后 该图仍然是连通的 我们来证 明 这个性质在改造之后仍然保持 观察任意一 个图 G和该图中的任意一个分离之 后图仍保持连通的顶点 u 假设经过一次如题意所述 的改造之后的图为 G 我们考察图 G中任意一条不 经过顶点 u的路 在图 G 中 该路 上 的一 些边 可能被 去掉 了 但 是它们的端 点 则都与 某 个新 的顶点 记 为 相连 此时 将该 路上被去掉 的最 小 的段 换 为将其 两个端点与 相连 的两 条新 的边 在图 G 中得到一 条具有 同弹 的端 点 的不经 过顶 点 的路 这 就表 明 如果找们 自图 G 中分离出顶点 则对所得的图中的 讧何两 个顶点 都仍然 可 以找 到连结 它 们 的路 事 实 上 对于除了 之外的老顶点 这条路如上所述 就 是在 把顶点 u从 图 G 中分离 之 后连 结 着它 们 的路 而顶点 则至少 有一 条边 与这 样 的老顶 点 相连 这 个老顶点有路 与所给 图的 其余 顶点 相通 所 以 在把 顶点 从图G 中分离之后所得的图仍然是连通的 由上所证可知 在经 过全 部改造 之 后 如 果从 图 中把顶点 分离出去 所得的图仍然是连通的 此时 如果顶点 的度数大于 1 则在 两 个与 r相连 的顶 点 之间有不经过 z 的路 这条路 连同顶点 以及连 接 和路的两个端点的边便形成了一个简单圈 这是不可 能的 因为此 时图 中已经 没有 这样的圈 了 所 以 顶 点 的度 数一定是 1 1 0 5 观察等式 n b c 9 有 n 6 6 c c 于是只需证 明 2 2 2 n b c 9 为此先证 2 v n 3 事 实上 有 2 n 3 a 3 3 n 类似可得其余两个不等式 从而 2 n 2 b 2 c n b C 2 3 b c 9 1 0 6 见 9 5 1 0 7 如 图 4 设 A B C 的 内 切 圆 分 别与它的各条边相切 于点 4 B C 经 过 4 作 平 分 线 的 平 行 直 线 n 由 于 C AI B 图 4 维普资讯 中 等 数 学 仙 c 为等腰三角形 所以 A的平分线垂直于 曰 C l 因 此 l 上 曰 j C l 即 l经 过 A l 曰 l C l 的 边 曰 C 上 的高 如图 5 设 A B C的各边中点分 别为 A B C o 由于 A 0 B o C o 与 A B C 同位相似 相似 比为 1 所 以 A的平分 C A0 曰 图 5 线与 A 的平分线平行 记 A B o C o的内心为 s 众所周知 点 A 与点A 与边 B C的中点等距 对 于点 与点曰 点 与点 c 也有相应的性质 作关于点 S的对称 变换 此 时 直线 n 变为直线 n 于是 在 这个 变换之 下 A B C 的各 条高线 分 别变到直线 n b C 之 上 因此 这三 条直线 相交 于 同 一 点 且该点就是 A B C 的垂心关 于 s的对称 点 1 0 8用反证法 假设 不是所 有直 线 相交 于 同一 个 点 如 图 6 任 取 一条蓝色直线 Z 观察 Z 与红色直线 的各个 交点 设 点 A和点 曰是其中相距最远的两个交点 而直线 m 和 n是经 过点 A和点 曰的 红色直 线 设 直线 m 与 n 相交于点 c 于是 经过点 C还有一条蓝色直线 P 显 然 P与z 的交点 D一定位于线段 A B上 因若不然 由于经过点 D还有一条红色直线 从而点 A和点 曰 就不是 Z 上相距最远 的两个与红色直线 的交点 图 6 图 7 如图 7 我们考察所有与直线组 z m n P相类 似的四直线组 z m n P 其中 z P 同为一种颜 色 m n 同 为另一 种颜 色 m n P 相交 于 同一 个 点 Z 与 P 的交点位 于 l 与m 的交点和 Z 与 n 的交 点 之间 观察其中由 z m n 所形成的三角形具有最 小 面积 的情形 此 时 经过点 D 还 有一条与 m 同色的 直线 q 它或 者与线段 曰 C 相 交 或者 与线段 A C 相 交 为确定 起 见 设 它与 曰 C 相交 这 时 与四直 线组 n 7 P q 相 对应的j角形具有 更小的面积 1 1 1见 1 0 1 1 1 2 解法 1 考察不在同一直线上的任意三点 A B C 如果所有点都在同一直线上 则命题显然成 立 设 是使得它们的坐标都是整数的直角坐标 系 单位长为 t 观察其余任意一点 称之为 D 设 是使得点 B C D的坐标都是整数的直角坐标系 单 位长为 t 记线段 B C的实际长为I B CI 其余线段的 实际长类似 由于线段 B C长度的平方在坐标系 和 之下都是整数 即 与 都是整数 所 l t 2 以 孚 是 有 理 数 由 于 向 量 的 内 积 在 之下是整数 所以 在 之下是有理 数 这是 因为 c C BDO S I MJ 一 C l l C B DC OS IM J 鲁 一 一 I j l 是有 理数 同理 向量 菌 的内积在 T 之下也是有理 数 设在 之 F 有 一B C 萄 z 一 B D P q 则 p x q Y m p z q t n都是有理数 从 而 p 詈 詈 q 都 是 有 理 数 又因 A B C不 在同一直线上 故 X t y z O 因此 点 D在坐标系 之下具有有理坐标 最后 只需合理选择坐标单位 即可使得所有点 的坐标都是整数 解 法 2 如同解法 1 可 以假定 A B C三点 不在 同一直线 上 我 们证 明 t a n B A C或 者 为有 理 数 或 者不存在 观察使得这三个点的坐标都是整数的直角 坐标 系 如 果 X 4 X B 则 t a n C 堑 为有 C 一 r 理数 或者不存在 对 X 4 X 的情形同理可得 如果 则 p 与 q 都 是 有 理 数 但是P ta n a q ta n 其中a 与 分别是射线A B与A C同 轴的正方向的夹角 从而 由公式 t a n B A C t a n C A B t a n 一口 l p叮 即知其为有理数 或者不存在 当 P q 一1 时 同理可证 由任何三个给定点形成的夹角的正切 值都是有理数 或者不存在 观察以点 A为原点 以 为单位向量的直角坐 维普资讯 2 O O 2年第 5期 3 5 标系 此处将直线 选为 轴 对于任何一个给定 点 D 既然 t a n D A B和 t a n D B A都是有理数 或者 不存在 所以 直线 A D和 B D的方程都是有理系数 方程 因此 D具有有理坐标 适 当改变坐标单位 即 可使得所有点都具有整数坐标 1 1 3 解法1 只需对0 l 时 还有 c o s s i n c o s 一s i n 一 X 1 事实上 将上式去分母 即化为显然的不等式 s i n c 0 s 一 s i n c 0 s 一 s in 0 所以为证不等式 只需对 n 3 m l 和 n 2 m l 的情形加 以证 明 由于 C O S s i s i 2 百 1 则 c os 3 X s i d X C O S s i n 1 c o s X s i n 3 c O S X s i n 而 c OS s in s in 号 导 oDs 2 s i d X c o s X s i n c 0 s s i n C O S s i n 解法2 仅对0 罟证明 不 等 式 考 察 函 数 c O S s in 其中0 0时 Y 0 当 一 时 Y 0 并且 厂 Y c o s l n c o s s i n l n s i n C O S 1 n e o s t a n X l n s i n X 由于 g Y t a n 单调 所以 厂 Y 0在区间 Y 0中有惟 一实根 由 2 2 c 2 s i d 4 知 f 2 0 厂 4 m 3 时 有不等式 I c 0 s z s i n I I c o s s in m I 成立 如果 m 2 则利用如下不等式可得所证 厂 1 C O S X s i n X C O S s i n 厂 2 2 厂 1 厂 2 C O S X s i n X 1 C O S X s i n X 1 3 1 二 1 1 4 首先证明 若自每个广场有不多于两条驶 出的道路 则 可把所有广 场分别染 为 l 3种不 同颜 色 使得从任何广场至少需要经过三条道路才可能到达 任何一个同色的广场 为此 观察如下的辅助有向图 图中的顶点为城市中的各个广场 如果某两个广场之 间至多需要经过两条道路即可以由其 中一个到达另 外一个 则在它们之间连一条有向边 方向为行驶方 向 不难看出 在该图中 自每个顶点至多连出 6条 边 只需证 明 可以把 该 图 中的所 有顶 点按 正确 方式 分 别染为 l 3种不 同颜色 对图中的顶点数 目 n进行归纳 当 n 1 3时 结 论 显然成立 其次 易看出 由于 自该有 向图的每个顶 点至多连出 6条边 所以必有一个顶点 进入它的 边不多于 6条 去掉顶点 所得的 仍然满足我f f 的条件 因此 由归纳假设 可以把剩下的顶点分别染 为 l 3 种不 同颜色 以满 足要 求 由于连 出连 人顶 点 u 的边一共不多于 l 2条 所以可以把 染色 使得要求 被满 足 现在把每种颜色 记为 A 的广场 分为 7 8种类 型 观察它们所连 出的路 所通 向的广 场 的颜 色 由于 一 共有 l 2种 其 他颜 色 对于 种 颜 色的广 场 有 l 2 种类型使得两条路通向同一种颜色的广场 有 c 6 6种类型使得两条路通向不同颜 色的广场 所以一 共有 7 8种类型 于是 把所有的广场分成了 l 0 1 4 1 3 7 8个小区 下面证明所作的划分满足要求 设小区 l4中有 广场n 和 n 小区 B中有广场 b 和 b 并且在它们 之间有单 向道路 n 一 6 和 b 一 n 由 于 6 和 b 同 属一个小区 故由它们有道路通向颜色类型相同的广 场 这表 明 自 b 有道路通 向与 n 颜 色相 同的广 场 该广场的颜色当然也与 相同 这样一来 自 n 出 发 只需经过 两条道路就 可以到达一个与之 同色 的广 场 此 为矛盾 题 中结论 得证 1 1 5 1 0 01 0 假设对正整数 n有所述的表达式 n nl n 2 2 0 0 2 bl b 2 b 2 蚴 注意到 n n n 的各位数字之和相同 所 维普资讯 3 6 中 等 数 学 以它们被9除的余数相同 记该余数为 r 0 r 8 同理 b b b 被 9 除的余数相同 记为 0 8 于是 n一2 O 0 2 r 和 n 一2 O 0 3 s 都是 9的倍数 故 n一2 O 0 2r 一 n一2 0 0 3 s 2 0 0 3 2 0 0 2 r 2 0 0 3 r s 一4 0 0 5 r 是 9的倍数 由于 4 0 0 5是9的倍数 而 2 0 0 3 与 9互质 昕以 r S 是 9的倍数 如果 r S 0 贝 4 n i 9 2 0 0 3 因 为此 时 b b b 都可被 9整除 如果 r 0 则 r 9 于 是 r 与 s中至少有一个不 小于 5 此 时分别得到 n 5 x 2 0 0 2或 n 5 2 O 0 3 由于 1 0 0 1 0 5 2 0 0 2 4 2 0 0 2 2