101GCT初等数学辅导.pdf

南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 1 G C T 数 学 辅 导 教 程 数 学 辅 导 教 程 第一部分 初等数学 第一部分 初等数学 1 算 术 1 算 术 1 1 数的概念 自然数 整数 分数 分数单位 真分数 假分数 带分数 小数 有限小数 无限小数 循环小数 数位 百分数 1 2 数的整除 倍数 约数 整除 奇数 偶数 质数 素数 合数 质因数 公倍数 最小公倍数 公约数 最大公约数 互质数 判别正整数被 7 11 13 整除的方法 减去 1 1 数的概念 自然数 整数 分数 分数单位 真分数 假分数 带分数 小数 有限小数 无限小数 循环小数 数位 百分数 1 2 数的整除 倍数 约数 整除 奇数 偶数 质数 素数 合数 质因数 公倍数 最小公倍数 公约数 最大公约数 互质数 判别正整数被 7 11 13 整除的方法 减去100113117 的倍数 例 2009 可被 7 整除 987987 可以被 7 11 13 整除 100 以内质数 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 1 3 数的四则运算 加法 和 加法运算的交换律和结合律 减法 差 乘法 积 乘法运算的交换律 结合律和分配律 除法 商 除法与乘法的逆运算关系 循环小数都可化为分数 的倍数 例 2009 可被 7 整除 987987 可以被 7 11 13 整除 100 以内质数 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 1 3 数的四则运算 加法 和 加法运算的交换律和结合律 减法 差 乘法 积 乘法运算的交换律 结合律和分配律 除法 商 除法与乘法的逆运算关系 循环小数都可化为分数 纯纯循环小数化成分数方法 如循环小数化成分数方法 如 3 1 9 3 3 0 999 145 541 0 例 设 例 设0 48181F L是无穷循环小数 其中 8 和 1 是循环位 试将是无穷循环小数 其中 8 和 1 是循环位 试将F写成既约分数 解 写成既约分数 解 110 53 11 53 11 9 4 99 81 48181 410 FFL 1 4 比和比例 概念 比例内 外项 比例尺 正比例关系 反比例关系 1 5 应用 四则运算应用 简单方程 比和比例 1 4 比和比例 概念 比例内 外项 比例尺 正比例关系 反比例关系 1 5 应用 四则运算应用 简单方程 比和比例 2 数和代数式 2 数和代数式 2 1 实数及运算 数轴 加 减 乘 除 0 不能作除数 运算后仍为实数 加法 乘法具有交换率 结合率 分配率 乘方 2 1 实数及运算 数轴 加 减 乘 除 0 不能作除数 运算后仍为实数 加法 乘法具有交换率 结合率 分配率 乘方 n n aaaa 4 34 21 L 个 例 例 43 5 2 1 开方 若 开方 若axn 则 则 n ax 例 例 3 10 2 绝对值 绝对值 ba b a b a babaab n n n nnn 0 1 0 0 a a a a aaaaaa nm np mpnmmn 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 4 3 集合 映射与函数 3 集合 映射与函数 3 1 集合 概念 集合 元素 3 1 集合 概念 集合 元素 Aa 表示法 列举法 表示法 列举法 3 2 1 0 L N 描述法 描述法 51 Rxxx a 开口向上 开口向上 0 ba是是0 ab的充分条件 的充分条件 0 ab是是0 0 ba的必要条件 的必要条件 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 5 1 x是是0lg x的充要条件 函数的特性 1 有界性 的充要条件 函数的特性 1 有界性 Mxf 则有界 否则无界 例如 则有界 否则无界 例如 xyxyxyarctan cos sin 在在 上有界 上有界 x y 1 在在 0 上无界 2 单调性 增减性 当 上无界 2 单调性 增减性 当Ixx 21 且 且 21 xx 时 有时 有 21 xfxf 则 则 xf在在I上单调递增 例上单调递增 例 3 xy 当 当Ixx 21 且 且 21 xx 时 有时 有 21 xfxf 则 则 xf在在I上单调递减 例上单调递减 例 x y 2 3 奇偶性 函数 3 奇偶性 函数 xf满足满足 xfxf 称之为奇函数 奇函数的图形对称于原点 例如 称之为奇函数 奇函数的图形对称于原点 例如 3 xy xxy NMbbaa 则 则 NM N M NMMN aaaaaa loglog log loglog log M n MMnM a n aa n a log 1 log loglog 换底公式 换底公式 Maa a M M M a b b a a log 1log log log log 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 6 4 方 程 4 方 程 4 1 一元一次方程解法 4 2 一元二次方程 4 1 一元一次方程解法 4 2 一元二次方程 0 2 cbxax 判别式 判别式 R cba acb4 2 当当0 有不等二实根 当 有不等二实根 当0 有相等二实根 重根 当 有相等二实根 重根 当0 0 0 acbxaxxf 0 xf的根的根 a b x 2 2 1 a b x 2 2 1 无实根无实根 0 xf的解集的解集 1 xx a b x 2 Rx 0 xf的解集的解集 21 xxx x x 解法 分解因式法 配方法 公式法 解法 分解因式法 配方法 公式法 4 3 一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 4 3 一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 21 a b xx a c xx 21 利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来 利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来 1 1 21 21 21 11 xx xx xx 2 2 2 21 21 2 21 2 2 2 1 2 11 xx xxxx xx 3 3 21 2 21 2 2121 4 xxxxxxxx 例 例 2007GCT 2007GCT 两个不相等的实数两个不相等的实数a与与b 均满足方程 均满足方程13 2 xx 则 则 b a a b 22 的值 等于 的值 等于 1x2 x 21x 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 7 A A 18 B 18 C B 18 C 36 D 36 解 D 36 解 3 ba 1 ab 则 则 ab ba b a a b 3322 ab bababa 22 ab abbaba 3 2 36 1 33 3 2 选 C 4 4 二次函数的图像性质及一元二次方程的根 见 4 2 节图表 例 选 C 4 4 二次函数的图像性质及一元二次方程的根 见 4 2 节图表 例 2003GCT 2003GCT 函数 函数 0 2 acbxaxy在在 0 上单调增的充分必要条件是 A 上单调增的充分必要条件是 A 0 a且且0 b B B 0a且且0 b D D 0 a且且0 b 解 解 0 2 acbxaxy在在 0 上单调增 则抛物线开口向上 上单调增 则抛物线开口向上 0 a 对称轴为 对称轴为 a b x 2 只有 只有0 2 a b x 才能满足在 才能满足在 0 上单调增 又因上单调增 又因0 a 则 则0 b 选 C 4 5 简单的一元高次方程 分式方程 指数方程 对数方程的解法及验根 对一元高次方程 选 C 4 5 简单的一元高次方程 分式方程 指数方程 对数方程的解法及验根 对一元高次方程 0 01 1 1 axaxaxa n n n n L 有 广义韦达定理 有 广义韦达定理 n n n a a xxx 1 21 L n n nn a a xxxxxx 2 13121 L n n nn a a xxxx 0 121 1 LLL 5 不 等 式 5 不 等 式 5 1 不等式的概念和性质 不等式的基本性质 若 5 1 不等式的概念和性质 不等式的基本性质 若cbba 则 则 ca 若 若ba 则 则 cbca 若 若0 cba 则 则 cbcabcac 注意 不等式两边同乘负数 不等式变号 注意 不等式两边同乘负数 不等式变号 若若0 0 dcba 则 则 bdac 若 若0 ba 则 则 nn ba Z n 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 8 若若0 ba 则 则 nn ba Z n 基本不等式 若 基本不等式 若Ra 则 则0 2 a 若 若Rba 则 则abba2 22 若 若0 0 ba 则 则 2 ab ba 平均值不等式 平均值不等式 即 非负数的算术平均值大于等于几何平均值 即 非负数的算术平均值大于等于几何平均值 bababa 三角不等式 三角不等式 即 三角形两边之差小于第三边 三角形两边之和大于第三边 即 三角形两边之差小于第三边 三角形两边之和大于第三边 例 例 2004GCT 2004GCT ABC 中 中 5 AB 3 AC xA 该三角形 该三角形BC边上的中线长是边上的中线长是x 的函数的函数 xfy 则当 则当x在在 0 中变化时 函数中变化时 函数 xf取值的范围是 A 取值的范围是 A 5 0 B B 4 1 C C 4 3 D D 5 2 解 以 解 以ACAB 为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形ABDC 则对角线 则对角线 82 a axf 可化为 可化为 axfa 若 若0 a axf 可化为可化为axf 及及axf 解集为并集 5 3 一元二次不等式的解法 如 解集为并集 5 3 一元二次不等式的解法 如 023 2 xx 即 即0 12 23 6 1 3 2 x 解集为 解集为R 023 2 xx的解集为的解集为 023 2 xx的解集为 的解集为 21 xx的解集为 的解集为 2 1 Ux 例 例 0 043 22 aaaxx的解集是 A 的解集是 A 3 3 a a B B 3 a a C C 3 a a U D D 3 a aU 解 原式即为 解 原式即为 0 3 ax a x 3 3 0 a xa a xaxa 04 032 2 2 xx xx 的解集为 A 的解集为 A 3 4 B B 0 4 C C 0 3 D D 1 0 3 4 U 解 解 0 1 3 032 2 xxxx 1 3 Ux 0 4 0 4 04 2 xxxxx 不等式组的解集为 不等式组的解集为 3 4 x 选 A 例 解不等式 选 A 例 解不等式 0 4 2 1 3 xxxxxf 此类问题可列表如下 此类问题可列表如下 x 3 1 3 2 1 4 2 4 xf 则解集为 则解集为 4 2 1 3 UU 例 设方程 例 设方程02 13 7 22 kkxkx的两个实根分别在区间的两个实根分别在区间 1 0 和和 2 1 内 则 内 则k的取值范围是 A 的取值范围是 A 2 B B 4 3 1 2 U C C 4 2 D D 3 1 解法 1 设 解法 1 设2 13 7 22 kkxkxxf 由题设条件 得 由题设条件 得02 0 2 kkf 082 1 2 kkf 满足两个实根分别在区间 满足两个实根分别在区间 1 0 和和 2 1 内 三个不等式联立解得内 三个不等式联立解得 4 3 1 2 U k 选 B 解法 2 若 选 B 解法 2 若02 2 kk即即1 k或或 2 k时 则必有根时 则必有根0 x 不合题设 此时 A 中含 不合题设 此时 A 中含 1 k C D 中含 C D 中含2 k 故排除 A C D 选 B 5 4 一些特殊的代数不等式 分式不等式 无理不等式 和超越不等式 指数不等式 对数不 等式 的解法 例 不等式 故排除 A C D 选 B 5 4 一些特殊的代数不等式 分式不等式 无理不等式 和超越不等式 指数不等式 对数不 等式 的解法 例 不等式2 65 59 2 xx x 的解集是 A 的解集是 A 3 2 B B 3 2 C C 3 2 U D D 3 2 U 解 解 不要两边乘不要两边乘65 2 xx 而用移项 而用移项 0 3 2 72 65 65 259 2 2 2 xx xx xx xxx 072 2 xxQ 03 2 xx 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 10 得得 3 2 Ux 选 C 例 求不等式 选 C 例 求不等式1323 x的解集 解 可化为 的解集 解 可化为1323 x或或1323 x 得 得6 x 对于后者 联立解 对于后者 联立解023 x和和423 x 得 得2 3 2 x的解集为的解集为 6 2 3 2 Ux 6 数列 6 数列 6 1 数列的概念 数列 项 首项 6 1 数列的概念 数列 项 首项 1 a 通项 通项 n a 通项公式 有穷数列 无穷数列 前 通项公式 有穷数列 无穷数列 前n项的和项的和 n S 各项的和 各项的和S 已知 已知 n S 求通项公式 求通项公式 n a方法 方法 1 nnn SSa 但须验证 但须验证 11 Sa 是否满足 6 2 等差数列 算术数列 是否满足 6 2 等差数列 算术数列 dnaan 1 1 2 1 1nn aanS dnnnaSn 1 2 1 1 等差中项 若 等差中项 若cba 成等差数列 则 成等差数列 则 cab 2 例 已知方程 例 已知方程 2 2 mxx 0 2 2 nxx的四个根组成一个首项为的四个根组成一个首项为 4 1 的等差数列 则的等差数列 则 nm A 1 B A 1 B 4 3 C C 2 1 D D 8 3 解 设 4 个根为 解 设 4 个根为ddd3 4 1 2 4 1 4 1 4 1 则 则 4613 4 1 2 4 1 4 1 4 1 dddd 得 得 2 1 d 则 4 个根为 则 4 个根为 4 7 4 5 4 3 4 1 注意 注意2 4 7 4 1 2 4 5 4 3 则 则 16 15 4 5 4 3 16 7 4 7 4 1 nm 2 1 nm 选 C 6 3 等比数列 几何数列 选 C 6 3 等比数列 几何数列 0 0 1 1 1 qaqaa n n q qa S n n 1 1 1 q qaa S n n 1 1 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 11 等比中项 若等比中项 若cba 成等比数列 则 成等比数列 则 acb 2 无穷递缩等比数列所有项之和 无穷递缩等比数列所有项之和 1 1 1 q q a S 例 在等比数列 例 在等比数列 n a中 中 08 3 73 2 5876432 aaaaaaaaa 则 则 73 aa A 2 B 1 C 1 D 2 解 A 2 B 1 C 1 D 2 解 3 3432 aaaa 3 7876 aaaa 73 2 5 aaa 原式可化为 原式可化为 2 833 73 2 737 2 3 3 7 3 3 aaaaaaaa 选 A 常用数列求和 级数 等差级数 选 A 常用数列求和 级数 等差级数 2 1 321 nn n L 2 12 531nn L 12 1 6 1 321 2222 nnnnL 212222 1 4321n n L 1 2 1 1 1 nn n 1 433221 nnL 2 1 3 1 nnn 数列求和常用方法 分项转化 法 例 已知 数列求和常用方法 分项转化 法 例 已知 n n na 2 1 求 求 n S 2 1 8 1 4 1 2 1 321 n n nS LL 得 得 n n n nnnnS 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 例 例 2011GCT 2011GCT 已知数列 已知数列LL 321n aaaa的通项是的通项是 4 1 12 1 n n n a 则该数列的前 101 项的和等于 A 2501 B 2551 C 2601 D 2651 解 则该数列的前 101 项的和等于 A 2501 B 2551 C 2601 D 2651 解 4 1 12 1 n n n a 则数列 则数列 n a为为LL 51 50 50 3 3 2 2 1 1 2550 2 5150 2 100 S 2601512550 101 S 选 C 拆项相消 法 选 C 拆项相消 法 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 12 例 已知例 已知 1 1 nn an 求 求 n S 1 11 nn an 则 则 n S 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 nn L 11 1 1 n n n 错位相减 法 错位相减 法 例 已知例 已知 n n na2 求 求 n S n n nS2232221 32 L 132 22 1 2221 2 nn n nnSL 两式相减 得 两式相减 得 132 22222 nn n nSL22 1 12 12 2 2 11 n n n nn 7 排列 组合 二项式定理和概率 7 排列 组合 二项式定理和概率 7 1 两个基本原理 加法原理和乘法原理 7 2 排列 组合数的计算公式及组合数的性质 阶乘 7 1 两个基本原理 加法原理和乘法原理 7 2 排列 组合数的计算公式及组合数的性质 阶乘 12 2 1 Lnnnn 1 1 2 2 6 3 24 4 120 5 L 720 6 规定规定 1 0 排列数 排列数 1 2 1 P mn n mnnnn m n L 全排列 全排列 Pn n n 组合数 组合数 1 1 P P C m mnnn mnm n m m m nm n L 规定规定 1C0 n 组合数的性质 组合数的性质 1 1 CCC CC m n m n m n mn n m n 7 3 二项式定理和二项展开式的通项公式 性质及应用 7 3 二项式定理和二项展开式的通项公式 性质及应用 C 0 rrn n r r n n baba 通项 通项 rrnr nr baT C 1 满足 满足 nn n r nnn 2CCCC 10 LL 杨辉三角形 杨辉三角形 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 13 LLLLLLLLLLLLLLLL L LL LL LLL LLLL LLLLL LLLLL 1615201561 15101051 14641 1331 121 11 1 6 5 4 3 2 1 0 ba ba ba ba ba ba ba 例 设等式 例 设等式34 1 6 1 4 1 234 xxxxS 则 则 S A A 4 x B B 1 4 x C C 2 1 x D D 4 4 x 解法 1 解法 1 44234 11 1 1 4 1 6 1 4 1 xxxxxxS 选 A 解法 2 令 选 A 解法 2 令1 x 则 则1 S 经验算只有 A 适合 例 在 经验算只有 A 适合 例 在 1 2 n x的展开式中 的展开式中 2 x项的系数是 A 项的系数是 A 1 2 n n B B 1 2 2 nn n C C 1 2 2 nn n D D 1 2 1 nn n 解 解 1 2 2 1 22C 2112 1 nn nn nnn n 选 C 例 选 C 例 29 1 2 x x 的展开式中的展开式中 9 x的系数是 A 的系数是 A 9 1 2 B B 21 2 C C 21 16 D 84 解 D 84 解 29 1 2 x x 939 2 1 xx 93 2 1 x展开式中展开式中 18 x项的系数为 项的系数为 2 21 2 1 C 33 9 选 B 例 选 B 例 3 2 2 4 4 x x的展开式中的展开式中 4 x项的系数为 A 12 B 12 C 24 D 24 解 项的系数为 A 12 B 12 C 24 D 24 解 3 2 2 4 4 x x 3246 44 xxx 626 2 xx 62 2 x中中 10 x的系数即为所求 的 的系数即为所求 的 4 x项的系数 得项的系数 得12 2 C 11 6 选 A 例 若 选 A 例 若 15 14 1 15 0 96 32 12 axaxaxx L 则 则 14210 aaaaL A A 9 21 B B 9 2 C C 9 21 D D 15 2 解 设 解 设1 x 得 得1 151410 aaaaL 设 设0 x 得 得 9 15 2 a 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 14 从而从而51321 9 1410 aaaL 选 A 7 4 古典概率问题 等可能事件 互斥事件 相互独立事件及独立重复试验的概率计算 1 基本概念 样本空间 样本点 随机事件 基本事件 必然事件 不可能事件 和事件 积事件 互不相容事件 对立事件 2 概率的概念与性质 1 定义 非负性 规范性 可加性 2 性质 选 A 7 4 古典概率问题 等可能事件 互斥事件 相互独立事件及独立重复试验的概率计算 1 基本概念 样本空间 样本点 随机事件 基本事件 必然事件 不可能事件 和事件 积事件 互不相容事件 对立事件 2 概率的概念与性质 1 定义 非负性 规范性 可加性 2 性质 1 0 AP 0 P BAPBPAPBAPIU 3 几种特殊事件发生的概率 1 等可能事件 古典概型 3 几种特殊事件发生的概率 1 等可能事件 古典概型 n m AP 2 互不相容事件 2 互不相容事件 BPAPBAP U 对立事件 对立事件 1 BPAP 3 相互独立事件 3 相互独立事件 BPAPBAP I 4 独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为 4 独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为p 那么在 那么在n次独立重复 试验中这个事件恰好发生 次独立重复 试验中这个事件恰好发生k次的概率为 次的概率为 knkk nn ppkP 1 C 例 袋中有 10 个球 其中 5 个红球 3 个白球 2 个黑球 任意取出 3 球 则恰为不同色 球的概率是 A 例 袋中有 10 个球 其中 5 个红球 3 个白球 2 个黑球 任意取出 3 球 则恰为不同色 球的概率是 A 5 1 B B 4 1 C C 3 1 D D 2 1 解 解 4 1 23 8910 235 C CCC 3 10 1 2 1 3 1 5 p 选 B 例 甲 乙两人独立地各射击一次 若甲击中目标的概率为 0 8 乙击中目标的概率为 0 6 两人恰有一人击中目标的概率是 A 0 44 B 0 46 C 0 48 D 0 52 解 选 B 例 甲 乙两人独立地各射击一次 若甲击中目标的概率为 0 8 乙击中目标的概率为 0 6 两人恰有一人击中目标的概率是 A 0 44 B 0 46 C 0 48 D 0 52 解 44 0 8 01 6 0 6 01 8 0 p 选 A 例 选 A 例 2010GCT 2010GCT 若从 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 这十个数中任意取 3 个不同的数 则 它们能构成公比大于 1 的等比数列的概率是 若从 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 这十个数中任意取 3 个不同的数 则 它们能构成公比大于 1 的等比数列的概率是 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 15 A A 40 1 B B 30 1 C C 20 1 D D 15 1 解 从中任意取 3 个不同的数 构成公比大于 1 的等比数列只有 1 2 4 1 3 9 2 4 8 4 6 9 共 4 组 则 解 从中任意取 3 个不同的数 构成公比大于 1 的等比数列只有 1 2 4 1 3 9 2 4 8 4 6 9 共 4 组 则 30 1 8910 234 C 4 3 10 p 选 B 选 B 8 常见几何图形 8 常见几何图形 8 1 三角形 元素 8 1 三角形 元素 cbacbacba lllmmmhhhcbaCBA 面积 面积S 周长 2 周长 2p p 180 2 1 sin 2 1 o CBAcpbpappahCabS a 重心 中心 及性质 三条中线的交点 中线 重心 中心 及性质 三条中线的交点 中线BCEF BCEF 2 1 重心分中线比例为 重心分中线比例为1 2 垂心 三条高的交点 内心 内切圆中心 三条角平分线的交点 垂心 三条高的交点 内心 内切圆中心 三条角平分线的交点 A 的平分线交的平分线交BC于于T 则 则 AC AB CT BT 外心 外接圆中心 三条边垂直平分线的交点 直角三角形及性质 勾股定理 外心 外接圆中心 三条边垂直平分线的交点 直角三角形及性质 勾股定理 c a B c b BabScbaC cos sin 2 1 90 222o 常用勾股数 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 11 60 61 12 35 37 常用勾股数 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 11 60 61 12 35 37 2 1 1 2 2 1 12 2 1 12 12 22 22 nnnn nn n 等腰三角形 等边三角形 8 2 四边形 内角和为 等腰三角形 等边三角形 8 2 四边形 内角和为 2360 o 矩形的特点 长为 矩形的特点 长为a 宽为 宽为b 面积 面积abS 周长 周长 2baL 对角线长 对角线长 22 ba 正方形的性质 边长为 正方形的性质 边长为a 对角线垂直平分 面积 对角线垂直平分 面积 2 aS 周长 周长aL4 对角线长 对角线长a2 平行四边形的概念 性质 面积 平行四边形的概念 性质 面积AabahS a sin 周长 周长 2baL 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 16 菱形的性质 边长为菱形的性质 边长为a 对角线 对角线fe 垂直平分 面积垂直平分 面积efS 2 1 周长 周长aL4 梯形的性质 中线 梯形的性质 中线 2 ba l 面积 面积hbalhS 2 1 例 例 2009GCT 2009GCT 在边长为 10 的正方形 在边长为 10 的正方形ABCD中 若按图中所示嵌入 6 个边长一样的小 正方形 使得 中 若按图中所示嵌入 6 个边长一样的小 正方形 使得NMQP 4 个顶点落在大正方形的边上 则这 6 个小正方形的面积之和 是 A 4 个顶点落在大正方形的边上 则这 6 个小正方形的面积之和 是 A 25 16 32 B B 5 1 30 C C 5 4 32 D D 5 4 30 解 设解 设mDM nDN 记 记NQ线段之间小正方形的顶点依次为线段之间小正方形的顶点依次为HGFE 过 过GFE 向左作水平线 过 向左作水平线 过FE 向下作铅垂线 构成 3 个直角三角形 过向下作铅垂线 构成 3 个直角三角形 过HG 向右作水平线 过 向右作水平线 过H向上作铅垂线 构成 2 个直角三角形 这 5 个直角三角形与向上作铅垂线 构成 2 个直角三角形 这 5 个直角三角形与MDN 全等 则全等 则 105 n 1052 mn 于是得 于是得2 n 5 6 m 则 6 个小正方形面积之和为 则 6 个小正方形面积之和为 25 16 32 25 1366 6 22 nmS 选 A 8 3 圆 圆的图形 概念及各元素 半径为 选 A 8 3 圆 圆的图形 概念及各元素 半径为r 圆的面积 圆的面积 2 rS 周长计算 周长计算rL 2 扇形的图形 半径为 扇形的图形 半径为r 圆心角为 圆心角为 弧长 弧长 rL 面积 面积 2 2 rS 弦长 弦长 2 sin2 rl 弓形 扇形减三角形 弧长 弓形 扇形减三角形 弧长 rL 面积 面积 sin 2 1 2 rS 弦长 弦长 2 sin2 rl 圆与圆的位置关系 位置关系 相 离 外 切 相 交 内 切 内 含 圆与圆的位置关系 位置关系 相 离 外 切 相 交 内 切 内 含 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 17 公共点数 0 1 2 1 0 公共点数 0 1 2 1 0 公切线数 4 2 条外公切线 2 条内公切线 3 2 条外公切线 1 条内公切线 2 2 条外公切线 1 1 条外公切线 0 公切线数 4 2 条外公切线 2 条内公切线 3 2 条外公切线 1 条内公切线 2 2 条外公切线 1 1 条外公切线 0 直线与圆的位置关系 相离 无公共点 相切 1 个公共点 相交 2 个公共点 圆内接四边形的性质 对角和为 直线与圆的位置关系 相离 无公共点 相切 1 个公共点 相交 2 个公共点 圆内接四边形的性质 对角和为 180 o 圆外切四边形的性质 对边和相等 例 圆外切四边形的性质 对边和相等 例 2006GCT 2006GCT 如图所示 小半圆的直径如图所示 小半圆的直径EF落在大半圆的直径落在大半圆的直径MN上 大半圆的弦上 大半圆的弦AB与 与 MN平行且与小半圆相切 弦平行且与小半圆相切 弦10 AB厘米 则图中阴影部分的面积为 平分厘米 A 厘米 则图中阴影部分的面积为 平分厘米 A 10 B B 5 12 C C 20 D D 25 解 设大 小圆半径分别为解 设大 小圆半径分别为rR 则 则 2 22 rRS 5 12 2 10 2 2 选 B 8 4 平面图形的全等及相似关系 概念及性质 8 5 长方体 图形 棱长为 选 B 8 4 平面图形的全等及相似关系 概念及性质 8 5 长方体 图形 棱长为cba 体积 体积abcV 表面积 表面积 2cabcabF 对角线 对角线 222 cbal 正方体 立方体 棱长为 正方体 立方体 棱长为a 体积 体积 3 aV 表面积 表面积 2 6aF 对角线 对角线al3 例 长方体的三个侧面积分别是 2 3 6 则其体积是 A 6 B 12 C 24 D 36 解 例 长方体的三个侧面积分别是 2 3 6 则其体积是 A 6 B 12 C 24 D 36 解 6 36632 2 abcVabccabcab 选 A 例 选 A 例 2008GCT 2008GCT 一个长方体的对角线长为 一个长方体的对角线长为14厘米 全表面积为 22 平方厘米 则这个 长方体所有的棱长之和为 厘米 A 22 B 24 C 26 D 28 解 设长方体的棱长分别为 厘米 全表面积为 22 平方厘米 则这个 长方体所有的棱长之和为 厘米 A 22 B 24 C 26 D 28 解 设长方体的棱长分别为cba 则 则14 222 cba 22 2 cabcab 两式相 加 得 两式相 加 得36 2 cba 则 则6 cba 所有的棱长之和为 所有的棱长之和为24 4 cba 选 B 8 6 圆柱体 图形 底面圆半径为 选 B 8 6 圆柱体 图形 底面圆半径为r 高为 高为h 体积 侧面积和全面积分别为 体积 侧面积和全面积分别为 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 18 2 2 2 rhrFrhShrV 8 7 圆锥体 图形 底面圆半径为 8 7 圆锥体 图形 底面圆半径为r 高为 高为h 母线为 母线为l 体积 侧面积和全面积分别为 体积 侧面积和全面积分别为 l rrrlrFhrrrlShrV 3 1 2222 母线 母线 22 hrl 侧面展开图为扇形 圆心角 侧面展开图为扇形 圆心角 l r 2 例 例 2003GCT 2003GCT 正圆锥的全面积是侧面积的正圆锥的全面积是侧面积的 4 5 倍 则该圆锥侧面展开后的扇形所对的 圆心角为 A 倍 则该圆锥侧面展开后的扇形所对的 圆心角为 A B B 2 C C 3 D D 6 解 因 解 因rllrr 4 5 故 故 rl4 2 2 l r 选 B 8 8 球 图形 半径为 选 B 8 8 球 图形 半径为r 体积 表面积分别为 体积 表面积分别为 23 4 3 4 rFrV 例 例 2005GCT 2005GCT 一个圆锥形容器 甲 与一个半球形容器 乙 它们的开口圆的直径与高的 尺寸如图所示 单位 分米 若用甲容器取水注满乙容器 则至少要注水 次 一个圆锥形容器 甲 与一个半球形容器 乙 它们的开口圆的直径与高的 尺寸如图所示 单位 分米 若用甲容器取水注满乙容器 则至少要注水 次 A 6 B 8 C 12 D 16 解 圆锥容器 半球容器的容积 体积 分别为 A 6 B 8 C 12 D 16 解 圆锥容器 半球容器的容积 体积 分别为 12 1 2 1 3 2 1 V 8 3 2 1 3 4 2 1 1 2 3 2 V V V 选 B 选 B 9 三角学的基本知识 9 三角学的基本知识 9 1 角的度量 角度制与弧度制及其换算 9 1 角的度量 角度制与弧度制及其换算 1757 180 rad1 rad 180 1 ooo 9 2 三角函数 定义 图形 性质 单位圆表示 9 2 三角函数 定义 图形 性质 单位圆表示 22 yxr y r x r y x x y r x r y csc sec cot tan cos sin 特殊角的三角函数值 特殊角的三角函数值 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 19 0 6 300 4 450 3 600 2 900 sin 2 0 0 2 1 2 1 2 2 2 3 2 4 1 cos 2 4 1 2 3 2 2 2 1 2 1 2 0 0 tan 0 3 3 1 3 例例 2007GCT 2007GCT 如图 如图 BAF FEB EBC o 90 ECD o 30 ABF o 45 BFE o 60 BCE且且CDAB2 则 则 CDEtan A A 3 24 B B 8 23 C C 3 68 D D 6 25 解 设 解 设3 AB 则 则2 BF 2 BE 3 22 60sin 2 o CE 由题设知 由题设知 2 3 2 1 ABCD 则 则 3 24 3 2 3 22 tan CD CE CDE 选 A 同角三角函数的关系 选 A 同角三角函数的关系 六边形记忆法 六边形记忆法 a 222222 csccot1 sectan1 1cossin cotsincos tancossin sin cos cot cos sin tan 1cottan 1seccos 1cscsin 或 诱导公式 诱导公式 o 90k的三角函数口角 奇变偶不变 正负看象限 的三角函数口角 奇变偶不变 正负看象限 函函 数数 角 A角 A sin cos tan cot 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 20 sin cos tan cot o 90 cos sin cot tan o 90 cos sin cot tan o 180 sin cos tan cot o 180 sin cos tan cot o 270 cos sin cot tan o 270 cos sin cot tan o 360 sin cos tan cot o 360 sin cos tan cot 9 3 两角和与差的三角函数 两角和与差公式 9 3 两角和与差的三角函数 两角和与差公式 sincoscossin sin sinsincoscos cos m tantan1 tantan tan m cotcot 1cotcot cot m 倍角公式 倍角公式 cossin22sin 1cos2sin21sincos2cos 2222 2 tan1 tan2 2tan cot2 1cot 2cot 2 2 3 tan31 tantan3 3tan 3 sin4sin33sin cos3cos43cos 3 半角公式 半角公式 cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 cot cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 tan 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin 和差化积 和差化积 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 21 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 sin2coscos 积化和差与降幂公式 积化和差与降幂公式 sin sin cossin2 sin sin sincos2 cos cos coscos2 cos cos sinsin2 2cos1 2 1 sin 2 2cos1 2 1 cos2 万能公式 万能公式 2 tan1 tan2 2sin 2 2 tan1 tan1 2cos 2 tan1 tan2 2tan 例 若 例 若 4 0 a cossin b cossin 则 A 则 A ba C C 1ab 解 解 2 sin 2 sin2 2 sin 2 cos2cossincossin ba 0 2 sin 2 cos 2 sin2 4 2 0 Q 选 A 9 4 解斜三角形 正弦定理 余弦定理及其应用 正弦定理 选 A 9 4 解斜三角形 正弦定理 余弦定理及其应用 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理 余弦定理 Cabbaccos2 222 例 例 ABC 为锐角三角形 为锐角三角形 CBA 的对边是的对边是cba 已知 已知AB 2 则 则 ab 的取值范围是 A 的取值范围是 A 2 2 B B 2 0 C C 2 2 D D 3 2 解 因 解 因ABC 为锐角三角形 且为锐角三角形 且AB 2 则 则 4 0 A 又 又 2 3 A 故得 故得 4 6 A 由正弦定理 由正弦定理 AA b B b A a cossin2sinsin 得 得A a b cos2 于是 于是32 a b 选 D 9 5 反三角函数 定义 图形 性质 选 D 9 5 反三角函数 定义 图形 性质 xyarcsin 定义域 定义域 1 1 x 值域 值域 2 2 y 奇函数 单调增函数 奇函数 单调增函数 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 22 xyarccos 定义域 定义域 1 1 x 值域 值域 0 y 单调减函数 单调减函数 xyarctan 定义域 定义域Rx 值域 值域 2 2 y 奇函数 单调增函数 奇函数 单调增函数 xycotarc 定义域 定义域Rx 值域 值域 0 y 单调减函数 性质 1 单调减函数 性质 1 xx arcsin sin 对一切 对一切 2 2 x 2 2 xx sin arcsin 对一切 对一切 1 1 x 3 3 xx arccos cos 对一切 对一切 0 x 4 4 xx cos arccos 对一切 对一切 1 1 x 5 5 xxarccos arccos 对一切 对一切 1 1 x 6 6 2 arccosarcsin xx 对一切 对一切 1 1 x 关于 关于xarctan xcotarc也有类似性质 如也有类似性质 如 2 cotarcarctan xx 例 若例 若R ba 且满足 且满足2 1 1 ba 求 求aarctanbarctan 由 由2 1 1 ba 得 得abba 1 令 令aarctan barctan 于是 于是1 1 tan ab ba 得 得 4 k k为整数 因 为整数 因 2 2 2 2 则 则 FEDFEyDxyx 参数方程 参数方程 sin cos ry rx sin cos rqy rpx 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 直线与圆的位置关系的判定方法 1 联立解圆与直线的方程 有两组解则相交 只有一组解则相切 无解则相离 2 求圆心到直线的距离 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 直线与圆的位置关系的判定方法 1 联立解圆与直线的方程 有两组解则相交 只有一组解则相切 无解则相离 2 求圆心到直线的距离d 若 若rd 则相离 切线方程 圆的方程 则相离 切线方程 圆的方程 222 ryx 222 rqypx 过圆上点过圆上点 00 yx的切线 的切线 2 00 ryyxx 0 0000 yyyqxxxp 斜率为斜率为k的切线 的切线 2 1krkxy 2 1 krpxkqy 例 圆例 圆1 22 yx上的点到直线上的点到直线2543 yx的距离的最小值是 A 6 B 4 C 5 D 1 解 画图知应是原点到直线的距离减去圆半径 即 的距离的最小值是 A 6 B 4 C 5 D 1 解 画图知应是原点到直线的距离减去圆半径 即4151 43 250403 22 d 选 B 例 设 选 B 例 设z是复数 是复数 1i 22 z 则 则i 22 z的最小值是 A 2 B 3 C 4 D 5 解 的最小值是 A 2 B 3 C 4 D 5 解 1i 22 z表示以表示以 2 2 为圆心 半径为 1 的圆 为圆心 半径为 1 的圆 Rz i 22表示以 表示以 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E mail sunjh 25 2 2 为圆心 半径为为圆心 半径为R的圆 两圆外切即的圆 两圆外切即3 R时时i 22 z取最小值 3 选 B 10 4 椭圆 标准方程 取最小值 3 选 B 10 4 椭圆 标准方程 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 2 2 2 2 a y b x 0 ba 参数方程 参数方程 sin cos by ax sin cos ay bx 图像 轴 长半轴 短半轴 离心率 图像 轴 长半轴 短半轴 离心率 10 22 ba 1 2 2 2 2 b x a y 0 0 ba 参数方程 参数方程 tan sec by ax sec tan ay bx 图像 轴 实轴 虚轴 离心率 图像 轴 实轴 虚轴 离心率 1 22 e a ba a c e 准线 准线 c a xl 2 1 c a xl 2 2 c a yl 2 1 c a yl 2 2 焦点 焦点 0 1 cF 0 2 cF 0 1 cF 0 2 cF 焦准距 焦准距 c b d 2 渐近线 渐近线 x a b y x b a y 过双曲线上点 过双曲线上点 00 yx的切线 的切线 1 2 0 2 0 b yy a xx 斜率为 斜率为k的切线 的切线 222 bkakxy 性质 性质 的距离到 上在双曲线点 1 1 lM MF M e lM MF 的距离到 2 2 平移后中心在 平移后中心在 qp时 时 1 2 2 2