高中数学 第四章 函数应用本章归纳总结课件 北师大版必修1.ppt

第四章 函数的应用 本章归纳总结 知识结构 知识整合 1 方程的根与函数的零点对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫作函数y f x 的零点 方程f x 0有实数解 函数y f x 的图像与x轴有交点 函数y f x 有零点 零点性质 如果函数y f x 在区间 a b 上的图像是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 2 二分法对于区间 a b 上图像连续不断 且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫作二分法 3 用二分法求零点的近似值的步骤 第1步 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 第2步 求区间 a b 的中点x1 第3步 计算f x1 1 若f x1 0 则x1就是函数的零点 2 若f a f x1 0 则令b x1 此时零点x0 a x1 3 若f x1 f b 0 则令a x1 此时零点x0 x1 b 4 若满足精度 时 a b近似值相等 则其值为所求 否则重复 2 4 4 函数应用题 就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学函数问题 求解函数应用问题的思路和方法 我们可以用示意图表示为 5 解函数应用问题 一般地可按以下四步进行 第1步 阅读理解 认真审题 就是读懂题中的文字叙述 理解叙述所反映的实际背景 领悟从背景中概括出来的数学实质 尤其是理解叙述中的新名词 新概念 进而把握住新信息 在此基础上 分析出已知什么 求什么 涉及哪些知识 确定自变量与函数值的意义 尝试找出问题的函数关系 审题时要抓住题目中关键的量 要勇于尝试 探索 敢于发现 归纳 善于联想 化归 实现应用问题向数学问题的转化 第2步 引进数学符号 建立数学模型 一般地设自变量为x 函数为y 并用x表示各相关量 然后根据问题的已知条件 运用已掌握的数学知识 物理知识及其他相关知识建立函数关系式 将实际问题转化为一个数学问题 实现问题的数学化 即所谓建立数学模型 第3步 利用数学的方法将得到的常规数学问题 即数学模型 予以解答 求得结果 第4步 再转译成具体问题作出回答 专题探究 1 函数零点的判断由于函数的零点 方程的根 函数的图像与x轴的交点之间有着内在的本质的联系 所以函数问题可转化为方程问题 方程问题可转化为函数问题解决 根据函数的性质和方程根的存在条件 我们常借助不等式来求解相关的问题 其间 要善于结合函数图像 从中体会数形结合的作用 专题一 基本题型归纳 分析 利用函数零点的性质和根的判别式求解 解析 设f x x2 2 m 1 x 2m 6 它的图像是一条开口向上的抛物线 1 如果函数在x 2时的值小于零 那么抛物线就一定和x轴有两个不同的交点 而且交点的横坐标一个比2大 一个比2小 于是有f 2 0 即4 4 m 1 2m 6 0 解得m 1 以下用二分法求其零点的近似值 由于f 1 10 故可以取区间 1 2 为计算的初始区间 用二分法逐步计算 列表如下 点评 1 求根式的近似值 实质上就是将根式转化为方程的无理根 利用函数零点的性质 通过二分法求解 2 二分法思想实质上是一种逼近思想 所求值与近似值间的差异程度取决于精确值 d 1 函数与方程思想在数学上 解方程是很重要的内容 但是能够将精确解求出来的方程不是很多 五次以上的一般代数方程 一般的超越方程 以及实际生活和物理研究中的方程 我们只能求它的有理近似解 而将解方程的问题转化为函数零点的问题 利用函数的整体性质来认识局部性质是求方程近似解的一般方法 解方程实际是求函数的零点 这样指数方程 对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程就可转化为求函数零点的求解问题 专题二 数学思想方法 c 2 数形结合思想数形结合思想是重要的数学思想方法 它把数学关系的精确刻画与几何图形的直观形象有机地结合起来 充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系 从而将问题转化为熟悉的问题来解决 数形结合常用于解方程 不等式和求函数值域等问题中 3 分类讨论思想有些实际问题 在建立函数模型的过程中 可能会涉及多种说不清楚的情况 此时 应运用分类讨论的思想 对它进行分类讨论 从而顺利地建模 分类标准应视具体情况而定 但要遵循 不重不漏 的原则 所以2a c 19 不妨设1月份用水量也超过最低限量 即9 a 这时将x 9代入 中得9 8 2 9 a c 即2a c 17与 矛盾 故a 9 即可知1月份付款方式应选 式 则有8 c 9 所以 c 1 a 10 从而 a 10 b 2 c 1 c b c b b 1 100 400 a b