【6年高考4年模拟】高考数学 第六章 数列 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和精品试题.doc

1 数学精品数学精品 2013 2013 版版 6 6 年高考年高考 4 4 年模拟年模拟 第六章第六章 数列数列 第一节第一节 等差数列 等比数列的概念及求和第一部分等差数列 等比数列的概念及求和第一部分 六年高考题六年高考题 荟萃荟萃 20122012 年高考题年高考题 一 选择题 1 2012 高考重庆理 1 在等差数列中 则的前 5 项和 n a1 2 a5 4 a n a 5 s a 7 b 15 c 20 d 25 答案 b 解析 因为 所以 所以数列的前 5 项和1 2 a5 4 a6 4251 aaaa 选 b 156 2 5 2 5 2 5 4251 5 aaaa s 2 2012 高考浙江理 7 设是公差为 d d 0 的无穷等差数列 an 的前 n 项和 则下 n s 列命题错误的是 a 若 d 0 则数列 sn 有最大项 b 若数列 sn 有最大项 则 d 0 c 若数列 sn 是递增数列 则对任意 均有 nn 0 n s d 若对任意 均有 则数列 sn 是递增数列 nn 0 n s 答案 c 解析 选项 c 显然是错的 举出反例 1 0 1 2 3 满足数列 s n 是递增数列 但是s n 0 不成立 故选 c 3 2012 高考新课标理 5 已知 n a为等比数列 56 8a a 则 47 2aa 110 aa a7 b5 c d 答案 d 解析 因为为等比数列 所以 又 所以 n a8 7465 aaaa2 74 aa 或 若 解得 24 74 aa 42 74 aa 24 74 aa 18 101 aa 2 若 解得 仍有 综上选7 101 aa42 74 aa 18 110 aa 7 101 aa d 4 2012 高考上海理 18 设 在中 25 sin 1 n n an nn aaas 2110021 sss 正数的个数是 a 25 b 50 c 75 d 100 答案 d 解析 当 1 24 时 0 当 26 49 时 0 但其绝对值要小于n n an n a 1 24 时相应的值 当 51 74 时 0 当 76 99 时 0 但其绝对值nn n an n a 要小于 51 74 时相应的值 当 1 100 时 均有 0 nn n s 点评点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题 解决此类问题主要找到规律 从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0 这就是规律 考查综合分析问题和解决问题的 能力 5 2012 高考辽宁理 6 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前 11 项和s11 a 58 b 88 c 143 d 176 答案答案 b 解析解析 在等差数列中 答案为 b 111 1114811 11 16 88 2 aa aaaas 点评点评 本题主要考查等差数列的通项公式 性质及其前 n 项和公式 同时考查运算求解能 力 属于中档题 解答时利用等差数列的性质快速又准确 6 2012 高考福建理 2 等差数列 an 中 a1 a5 10 a4 7 则数列 an 的公差为 a 1 b 2 c 3 d 4 答案 b 考点 考点 等差数列的定义 难度 难度 易 分析 分析 本题考查的知识点为等差数列的通项公式dnaan 1 1 解析 法 1 由等差中项的性质知 又 故选 b 5 2 51 3 aa a2 7 344 aada 法 2 2 73 1042 1 1 d da da 7 2012 高考安徽理 4 公比为等比数列的各项都是正数 且 则 3 2 n a 311 16a a 162 log a 3 a4 b5 c d 答案 b 解析 29 31177167216 1616432log5a aaaaaqa 8 2012 高考全国卷理 5 已知等差数列 an 的前 n 项和为 sn a5 5 s5 15 则数列 的前 100 项和为 a b c d 100 101 99 101 99 100 101 100 答案 a 命题意图 本试题主要考查等差数列的通项公式和前n项和的公式的运用 以及裂项求和 的综合运用 通过已知中两项 得到公差与首项 得到数列的通项公式 并进一步裂项求和 解析 由 得 所以 所以15 5 55 sa1 1 1 dannan 1 1 又 1 11 1 11 1 nnnnaa nn 选 a 101 100 101 1 1 101 1 100 1 3 1 2 1 2 1 1 111 10110021 aaaa 二 填空题 9 2012 高考浙江理 13 设公比为 q q 0 的等比数列 an 的前 n 项和为 sn 若 s2 3a2 2 s4 3a4 2 则 q 答案 3 2 解析 将 两个式子全部转化成用 q表示的式子 22 32sa 44 32sa 1 a 即 两式作差得 即 111 233 11111 32 32 aa qa q aa qa qa qa q 232 111 3 1 a qa qa q q 解之得 舍去 2 230qq 3 1 2 qq或 10 2012 高考新课标理 16 数列满足 则的前项和为 n a 1 1 21 n nn aan n a60 答案 1830 解析 由得 12 1 1 naa n n n 12 12 1 1 12 1 1 12 nnanaa n nn n n n 4 12 12 1 nna n n 即 也有 两式相1212 1 2 nnaa n nn 3212 1 13 nnaa n nn 加得 设为整数 44 1 2 321 naaaa n nnnn k 则 10 164 14 4 1 2 14 44342414 kkaaaa k kkkk 于是1830 10 16 14 0 44342414 14 0 60 kaaaas k kkkk k 11 2012 高考辽宁理 14 已知等比数列 an 为递增数列 且 则数列 an 的通项公式an 2 51021 2 5 nnn aaaaa 答案答案 2n 命题意图 本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想 是简单题 解析解析 2429 510111 n n aaa qa qaqaq 22 21 1 2 5 2 1 5 2 1 5 2 2 2 n nnnnnn aaaaqa qqqqqa 解得或舍去 点评点评 本题主要考查等比数列的通项公式 转化思想和逻辑推理能力 属于中档题 12 2012 高考江西理 12 设数列 an bn 都是等差数列 若 7 11 ba21 33 ba 则 55 ba 答案 35 命题立意 本题考查等差数列的概念和运算 考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 解析 解法一 因为数列 nn ab都是等差数列 所以数列 nn ab 也是等差数列 故由等差中项的性质 得 551133 2ababab 即 55 72 21ab 解得 55 35ab 解法二 设数列 nn ab的公差分别为 12 d d 因为 331112111212 2 2 2 72 21abadbdabdddd 所以 12 7dd 所以 553312 2 35ababdd 点评 对于等差数列的计算问题 要注意掌握基本量法这一通法 同时要注意合理使用等 差数列的性质进行巧解 体现考纲中要求理解等差数列的概念 来年需要等差数列的通项公 式 前n项和 等差中项的性质等 5 13 2012 高考北京理 10 已知等差数列为其前 n 项和 若 则 n a n s 2 1 1 a 32 as 2 a 答案 1 2 annsn 4 1 4 1 2 解析 因为 2 1 2 111132132 addadaaaaaas 所以 1 12 daanndnnnasn 4 1 4 1 1 2 1 14 2012 高考广东理 11 已知递增的等差数列 an 满足 a1 1 则 an 4 2 23 aa 答案 12 n 解析 由得到 即 应为 an 是递增的等差数列 4 2 23 aa4 1 21 2 dd4 2 d 所以 故 2 d12 nan 三 解答题 15 2012 高考江苏 20 1616 分 分 已知各项均为正数的两个数列和满足 n a n b 22 1 nn nn n ba ba a nn 1 设 求证 数列是等差数列 n n n a b b 1 1 nn 2 n n b a 2 设 且是等比数列 求和的值 n n n a b b 2 1 nn n a 1 a 1 b 答案答案 解 1 n n n a b b 1 1 1 1 222 1 nnn n nn n n abb a ab b a 2 1 1 1 nn nn bb aa 2 2222 1 1 11 nnnn nnnn bbbb nn aaaa 数列是以 1 为公差的等差数列 2 n n b a 6 2 00 nn a b 2 2 22 2 nn nnnn ab ab ab 1 22 12 nn n nn ab 0q 1q 若则 当时 与 矛盾 1 q 2 12 2 a a a 11 2 n n aa q 若则 当时 与 矛盾 01 qa q 1 1 logqn a 11 1 n n aa q 综上所述 1q 1 n aann 1 12 a 123 b b b 又由即 得 22 1 nn nn n ba ba a 1 1 22 1 n n ab a ab 22 111 2 1 2 1 n aaa b a 中至少有两项相同 与矛盾 123 bbb且且 123 b b b 1 2 a 22 2 2222 2 21 n b 12 2ab 考点考点 等差数列和等比数列的基本性质 基本不等式 反证法 解析解析 1 根据题设和 求出 从而 22 1 nn nn n ba ba a n n n a b b 1 1 2 1 1 1 nn nn bb aa 证明而得证 22 1 1 1 nn nn bb aa 2 根据基本不等式得到 用反证法证明等比数列 1 22 12 nn n nn ab 0 即 222 1 rn rn aaa 1 2 3 1rn 上面不等式对r从 1 到1n 求和得 2 2222 2 1 1 n rn aaana 由此得 2 2222 1 11 2 nn n aaaa 综上 当 2 1a 且 2 0a 时 有 1 2 nn n saa 当且仅当1 2n 或 2 1a 时等号成立 20 2012 高考江西理 16 本小题满分 12 分 已知数列 an 的前 n 项和 且 sn的最大值为 8 knnsn 2 2 1 nk 1 确定常数 k 求 an 2 求数列的前 n 项和 tn 2 29 n n a 答案 解 1 当nkn 时 2 1 2 n snkn 取最大值 即 222 11 8 22 kkk 故4k 从而 1 9 2 2 nnn assn n 又 11 7 2 as 所以 9 2 n an 1 因为 1 92 22 n n nn an b 12 221 231 1 2222 nn nn nn tbbb 所以 21211 1112 22 144 222222 nnn nnnnn nnn ttt 点评点评 本题考查数列的通项 递推 错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用 利 用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一 要注意 1 1 1 n nn s n a ss n a n s 不能用来求解首项 首项一般通过来求解 运用错位相减法求数列 1nnn ass 1 a 1 a 11 as 的前n项和适用的情况 当数列通项由两项的乘积组成 其中一项是等差数列 另一项是等 比数列 21 2012 高考湖南理 19 本小题满分 12 分 11 已知数列 an 的各项均为正数 记a n a1 a2 an b n a2 a3 an 1 c n a3 a4 an 2 n 1 2 1 若a1 1 a2 5 且对任意n n 三个数a n b n c n 组成等差数列 求 数列 an 的通项公式 2 证明 数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是 对任意 三个nn 数a n b n c n 组成公比为q的等比数列 答案 解 对任意 三个数是等差数列 所以nn a n b n c n b na nc nb n 即亦即 112 nn aaa 2121 4 nn aaaa 故数列是首项为 公差为 的等差数列 于是 n a1 1 443 n ann 必要性 若数列是公比为 的等比数列 则对任意 有 n ann 由知 均大于 于是 1 nnq aa 0 n a a n b n c n 12 231 1212 n n nn q aaa aaab n q a naaaaaa 231 342 231231 n n nn q aaa aaac n q b naaaaaa 即 所以三个数组成公比为的等比数列 b n a n c n b n q a n b n c nq 充分性 若对于任意 三个数组成公比为的等比数列 nn a n b n c nq 则 b nqa n c nqb n 于是得即 c nb nq b na n 2211 nn aaq aa 2121 nn aqaaa 由有即 从而 1n 1 1 bqa 21 aqa 21 0 nn aqa 因为 所以 故数列是首项为 公比为的等比数列 0 n a 22 11 n n aa q aa n a 1 aq 综上所述 数列是公比为的等比数列的充分必要条件是 对任意 n n 三个数 n aq 12 组成公比为的等比数列 a n b n c nq 点评 本题考查等差数列 等比数列的定义 性质及充要条件的证明 第一问由等差数列 定义可得 第二问要从充分性 必要性两方面来证明 利用等比数列的定义及性质易得证 22 2012 高考山东理 20 本小题满分 12 分 在等差数列中 n a 3459 84 73aaaa 求数列的通项公式 n a 对任意 将数列中落入区间内的项的个数记为 求数列 mn n a 2 9 9 mm m b 的前项和 m bm m s 答案 解 解 因为 n a是一个等差数列 所以 3454 384aaaa 即 4 28a 所以 数列 n a的公差 947328 9 945 aa d 所以 4 4 289 4 98 n aandnnn n 对 m n 若 2 99 mm n a 则 2 98998 mm n 因此 121 919 mm n 故得 21 99 mm m b lb ylfx 于是 123 mm sbbbb 352121 21 999 9 1 99 9 9 1 81 1 9 1 811 9 910 91 80 mm m m mm 20112011 年高考题年高考题 一 选择题 1 天津理 4 已知 n a 为等差数列 其公差为 2 且 7 a 是 3 a 与 9 a 的等比中项 n s 为 n a 的前n项和 nn 则 10 s 的值为 a 110 b 90 c 90 d 110 答案 d 2 四川理 8 数列 n a 的首项为3 n b 为等差数列且 1 nnn baa nn 若则 3 2b 10 12b 则 8 a a 0 b 3 c 8 d 11 答案 b 13 解析 由已知知 1 28 28 nnn bnaan 由叠加法 21328781 642024603aaaaaaaa 3 全国大纲理 4 设 n s 为等差数列 n a 的前n项和 若 1 1a 公差 2d 2 24 kk ss 则k a 8 b 7 c 6 d 5 答案 d 4 江西理 5 已知数列 n a 的前 n 项和 n s 满足 nmn m sss 且 1 a 1 那么 10 a a 1 b 9 c 10 d 55 答案 a 二 填空题 5 湖南理 12 设 n s 是等差数列 n a nn 的前n项和 且 14 1 7aa 则 9 s 答案 25 6 重庆理 11 在等差数列 n a 中 37 37aa 则 2468 aaaa 答案 74 7 北京理 11 在等比数列 an 中 a1 1 2 a4 4 则公比 q 12 n aaa 2 答案 2 1 2 1 n 8 广东理 11 等差数列 n a 前 9 项的和等于前 4 项的和 若 14 1 0 k aaa 则 k 答案 10 9 江苏 13 设 721 1aaa 其中 7531 aaaa 成公比为 q 的等比数列 642 aaa 成公差为 1 的等差数列 则 q 的最小值是 答案 3 3 三 解答题 10 江苏 20 设 部分为正整数组成的集合 数列 1 1 aan的首项 前 n 项和为 n s 已 14 知对任意整数 k m 当整数 2 knknkn sssskn 时 都成立 1 设 52 2 1 aam求 的值 2 设 4 3 n am求数列 的通项公式 本小题考查数列的通项与前n项和的关系 等差数列的基本性质等基础知识 考查考生分析 探究及逻辑推理的能力 满分 16 分 解 1 由题设知 当 111 2 2 nnn nssss 时 即 111 2 nnnn sssss 从而 1122 22 2 2 2 2 22 nnn aaaanaann 又故当时 所以 5 a 的值为 8 2 由题设知 当 3 4 22 n kn knk kmnksss 且时 s 111 22 nknknk ssss 且 两式相减得 1111111 2 nknknnknknnk aaaaaaa 即 所以当 6336 8 nnnnn naaaaa 时 成等差数列 且 6226 nnnn aaaa 也成等差数 列 从而当 8n 时 3366 2 nnnnn aaaaa 且 662222 8 2 nnnnnnn aaaanaaa 所以当时 即 223113 9 nnnnnnnn aaaanaaaa 于是当时 成等差数列 从而 3311nnnn aaaa 故由 式知 1111 2 nnnnnnn aaaaaaa 即 当 9n 时 设 1 nn daa 当2 8 68mm 时 从而由 式知 612 2 mmm aaa 故 7113 2 mmm aaa 从而 7611312 2 mmmmmm aaaaaa 于是 1 2 mm aaddd 因此 1nn aad 对任意 2n 都成立 又由 22 3 4 n kn kkk ssssk 可 15 知 34 2 92162 n knnn kk sssssdsds 故且 解得 421 73 222 d adad a 从而 因此 数列 n a 为等差数列 由 1 12 ad 知 所以数列 n a 的通项公式为 21 n an 11 北京理 20 若数列 12 2 nn aa aa n 满足 11 1 1 2 1 n aakn 数列 n a 为e数列 记 n s a 12 n aaa 写出一个满足 1 0 s aa 且 s s a 0 的e数列 n a 若 1 12a n 2000 证明 e 数列 n a 是递增数列的充要条件是 n a 2011 对任意给定的整数 n n 2 是否存在首项为 0 的 e 数列 n a 使得 n s a 0 如果存在 写出一个满足条件的 e 数列 n a 如果不存在 说明理由 解 0 1 2 1 0 是一具满足条件的 e 数列 a5 答案不唯一 0 1 0 1 0 也是一个满足条件的 e 的数列 a5 必要性 因为 e 数列 a5 是递增数列 所以 1999 2 1 1 1 kaa kk 所以 a5 是首项为 12 公差为 1 的等差数列 所以 a2000 12 2000 1 1 2011 充分性 由于 a2000 a1000 1 a2000 a1000 1 a2 a1 1 所以 a2000 a 19999 即 a2000 a1 1999 又因为 a1 12 a2000 2011 所以 a2000 a1 1999 故 nnn akaa即 1999 2 1 01 1 是递增数列 综上 结论得证 令 1 1 2 1 01 1 akkk cnkaac则 因为 2111112 ccaacaa 16 1211 nn cccaa 所以 13211 3 2 1 nn ccncncnnaas 1 2 1 1 1 2 1 121 n cncnc nn 因为 1 1 1 1 nkcc kk 为偶数所以 所以 1 2 1 1 1 21n cncnc 为偶数 所以要使 2 1 0 nn as n 必须使 为偶数 即 4 整除 144 1 nmmnmnnn 或亦即 当 1 0 14 241414 kkkn aaaaenmmn的项满足数列时1 4 k a 2 1 mk 时 有 0 0 1 n asa 0 0 0 2 1 1 1144 nkk asaamka有时 当 n aenmmn数列时 14 的项满足 1 0 243314 kkk aaa 当 1 3424 mnnmmnmn时或 不能被 4 整除 此时不存在 e 数列 an 使得 0 0 1 n asa 12 广东理 20 设 b 0 数列 n a 满足 a1 b 1 1 2 22 n n n nba an an 1 求数列 n a 的通项公式 2 证明 对于一切正整数 n 1 1 1 2 n n n b a 解 1 由 1 1 11 121 0 0 22 n n nnn nbann aba anabb a 知 令 1 1 n n n aa ab 17 当 1 12 2 nn naa bb 时 21 1 211 1222 nn nn a bbbb 21 21 1222 nn nn bbbb 当 2b 时 12 1 2 2 2 1 n nn n n bbb a bb b 当 2 2 n n ba 时 2 2 2 2 2 n nn n nbb b a b b 2 当 2b 时 欲证 11 11 2 2 1 1 2222 nnnnn n n nnnn nbbbbb anb bb 只需证 1111121 2 2 2 22 2 nn nnnnnnn b bbbb b 1122222111 22222 nnnnnnnnn bbbbb 21 21 222 2 222 nnn nn nnn bbb b bbb 1 2 222 222 nnnnnn bnbnb 1 1 2 1 22 nn n nnn nbbb a b 当 1 1 2 21 2 n n n b ba 时 综上所述 1 1 1 2 n n n b a 18 13 湖北理 19 已知数列 na 的前n项和为 ns 且满足 1aa 0 a 1nnars n n 1 rr r 求数列 na 的通项公式 若存在k n 使得 1ks ks 2ks 成等差数列 是判断 对于任意的m n 且 2m 1ma ma 2ma 是否成等差数列 并证明你的结论 本小题主要考查等差数列 等比数列等基础知识 同时考查推理论证能力 以及特殊与一般 的思想 满分 13 分 解 i 由已知 1 nn ars 可得 21nn ars 两式相减可得 2111 nnnnn aar ssra 即 21 1 nn ara 又 21 arara 所以 r 0 时 数列 n a 为 a 0 0 当 0 1rr 时 由已知 0 0 n aa 所以 nn 于是由 21 1 nn ara 可得 2 1 1 n n a rnn a 23 n a aa 成等比数列 当n2时 2 1 n n ar ra 综上 数列 n a 的通项公式为 2 1 1 2 n n n an a r ra n ii 对于任意的 mn 且 12 2 mmm maaa 成等差数列 证明如下 当 r 0 时 由 i 知 1 0 2 m a n a n 对于任意的 mn 且 12 2 mmm maaa 成等差数列 当 0r 1r 时 21211 kkkkkk ssaasa 19 若存在 kn 使得 112 kk ss s 成等差数列 则 12 2 kkk sss 1221 222 2 kkkkkk saasaa 即 由 i 知 23 m a aa 的公比 12r 于是 对于任意的 mn 且 12 2 2 4 mmmm maaaa 从而 1212 2 mmmmmm aaaaaa 即 成等差数列 综上 对于任意的 mn 且 12 2 mmm maaa 成等差数列 14 辽宁理 17 已知等差数列 an 满足 a2 0 a6 a8 10 i 求数列 an 的通项公式 ii 求数列 1 2n n a 的前 n 项和 解 i 设等差数列 n a 的公差为 d 由已知条件可得 1 1 0 21210 ad ad 解得 1 1 1 a d 故数列 n a 的通项公式为 2 n an 5 分 ii 设数列 1 2 n n n a ns 的前项和为 即 2 11 1 1 22 n n n aa sas 故 12 2242 nn n saaa 所以 当 1n 时 121 1 1 1 1 2222 1112 1 2422 12 1 1 22 nnnn nn nn nn saaaaa a n n 20 2n n 所以 1 2 n n n s 综上 数列 11 22 n n nn an ns 的前项和 12 分 15 全国大纲理 20 设数列 n a 满足 1 0a 且 1 11 1 11 nn aa 求 n a 的通项公式 设 1 1 1 1 n n nnkn k a bbs n 记s证明 解 i 由题设 1 11 1 11 nn aa 即 1 1 n a 是公差为 1 的等差数列 又 1 11 1 11 n n aa 故 所以 1 1 n a n ii 由 i 得 1 1 1 1 11 1 n n a b n nn nn nn 8 分 11 111 11 11 nn nk kk sb kkn 12 分 16 山东理 20 等比数列 n a 中 123 a a a 分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且 123 a a a 中的任何 21 两个数不在下表的同一列 第一列第二列第三列 第一行 3210 第二行 6414 第三行 9818 求数列 n a 的通项公式 若数列 n b 满足 1 ln nnn baa 求数列 n b 的前 n 项和 n s 解 i 当 1 3a 时 不合题意 当 1 2a 时 当且仅当 23 6 18aa 时 符合题意 当 1 10a 时 不合题意 因此 123 2 6 18 aaa 所以公式 q 3 故 1 2 3 n n a ii 因为 1 ln n nnn baa 11 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 ln2 1 ln3 2 3 1 ln2ln3 1 ln3 nnn nn nnn n n 所以 212 2 2 1 33 1 1 1 1 ln2ln3 125 1 ln3 nnn n sn 所以 当 n 为偶数时 1 3 2ln3 1 32 n n n s 3ln3 1 2 n n 当 n 为奇数时 1 31 2 ln2ln3 ln3 1 32 n n n sn 1 3ln3ln2 1 2 n n 综上所述 22 3ln3 1 2 1 2 n n n n n s n 为偶数 3 l n3 l n2 1 n为奇数 17 上海理 22 已知数列 n a 和 n b 的通项公式分别为 36 n an 27 n bn nn 将集合 nn x xa nnx xb nn 中的元素从小到大依次排列 构成数列 123 n c c cc 1 求 1234 c c c c 2 求证 在数列 n c 中 但不在数列 n b 中的项恰为 242 n a aa 3 求数列 n c 的通项公式 解 1234 9 11 12 13cccc 任意 nn 设 21 3 21 66327 nk annbk 则 32kn 即 2132nn ab 假设 2 6627 nk anbk 1 3 2 knn 矛盾 2 nn ab 在数列 n c 中 但不在数列 n b 中的项恰为 242 n a aa 3221 2 32 763 kk bkka 31 65 k bk 2 66 k ak 3 67 k bk 6 3656667kkkk 当 1k 时 依次有 111222334 bac bc ac bc 63 43 65 42 66 41 67 4 n knk knk ckn knk knk 18 天津理 20 23 已知数列 n a 与 n b 满足 112 3 1 0 2 n nnnnnn b aabab n n 且 12 2 4aa 求 345 a a a 的值 设 2121 nnn caann 证明 n c 是等比数列 iii 设 242 kk saaakn 证明 4 1 7 6 n k k k s nn a 本小题主要考查等比数列的定义 数列求和等基础知识 考查运算能力 推理论证能力 综 合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 i 解 由 3 1 2 n n bnn 可得 1 n n b 为奇数 2 n为偶数 又 112 0 nnnnn b aaba 123123 2344 3454 3 5 4 当n 1时 a a 2a 0 由a 2 a 4 可得a 当n 2时 2a a a 0 可得a 当n 3时 a a 2a 0 可得a ii 证明 对任意 nn 21221 20 nnn aaa 22122 20 nnn aaa 212223 20 nnn aaa 得 223 nn aa 将 代入 可得 21232121 nnnn aaaa 即 1 nn cc nn 又 113 1 0 n caa 故c 因此 1 1 n n n c c c 所以 是等比数列 24 iii 证明 由 ii 可得 2121 1 k kk aa 于是 对任意 2knk 且 有 13 35 57 2321 1 1 1 1 1 k kk aa aa aa aa 将以上各式相加 得 121 1 1 k k aak 即 1 21 1 1 k k ak 此式当 k 1 时也成立 由 式得 1 2 1 3 k k ak 从而 22468424 kkk saaaaaak 2124 3 kkk ssak 所以 对任意 2nnn 4 4342414 11 4342414 nn kmmmm km kmmmm sssss aaaaa 1 2221232 2222123 n m mmmm mmmm 1 23 2 21 22 22 n m mmmm 2 253 2 32 21 22 23 n m mmnn 2 153 3 21 21 22 23 n m mmnn 151111113 3235572121 22 23 nnnn 15513 362 21 22 23 7 6 nnn 25 对于 n 1 不等式显然成立 所以 对任意 nn 21212 12212 nn nn ssss aaaa 3212124 1234212 nn nn ssssss aaaaaa 222 11121 1 1 1 41244 41 4 41 nn n 222 11121 41244 41 44 41 nnn n n 111 4123 nn 19 浙江理 19 已知公差不为 0 的等差数列 n a 的首项 1 a 为 a a r 设数列的前 n 项 和为 n s 且 1 1 a 2 1 a 4 1 a 成等比数列 1 求数列 n a 的通项公式及 n s 2 记 123 1111 n n a ssss 2 12 22 1111 n n b aaaa 当 2n 时 试比较 n a 与 n b 的大小 本题主要考查等差数列 等比数列 求和公式 不等式等基础知识 同时考查分类讨论思想 满分 14 分 i 解 设等差数列 n a 的公差为 d 由 2 214 111 aaa 得 2 111 3 ada ad 因为 0d 所以d a 所以 1 1 2 nn an n ana s ii 解 因为 12 11 1 n sa nn 所以 123 111121 1 1 n n a ssssan 26 因为 1 1 2 2 n n aa 所以 21 12 22 1 1 1111121 2 1 1 2 1 2 n n n n b aaaaaa 当 012 2 21 nn nnnn nccccn 时 即 11 11 12nn 所以 当 0 nn aab 时 当 0 nn aab 时 20 重庆理 21 设实数数列 n a 的前 n 项和 n s 满足 11 nnsas nnn i 若 122 2a sa 成等比数列 求 2 s 和 3 a ii 求证 对 1 4 30 3 kk kaa 有 i 解 由题意 2 2212 22 22112 2 2 sa a ss sa sa a 得 由 s2 是等比中项知 22 0 2 ss 因此 由 23332 sasa s 解得 2 3 2 22 1213 s a s ii 证法一 由题设条件有 11 nnnn saas 故 1 11 1 1 1 11 nn nnnn nn sa saas sa 且 从而对 3k 有 27 1 1 2 11211 2 1 11211 1 1 1 111 1 1 k k kkkkk k k kkkkk k k a a sasaa a a sasaa a a 因 222 1111 13 1 00 24 kkkk aaaa 且 由 得 0 k a 要证 4 3 k a 由 只要证 2 1 2 11 4 31 k kk a aa 即证 222 1111 34 1 2 0 kkkk aaaa 即 此式明显成立 因此 4 3 3 k ak 最后证 1 kk aa 若不然 2 1 2 1 k kk kk a aa aa 又因 2 2 0 1 1 0 1 k kk kk a aa aa 故即 矛盾 因此 1 3 kk aak 证法二 由题设知 111nnnnn ssaas 故方程 2 111 0 nnnn xsxssa 有根和 可能相同 因此判别式 2 11 40 nn ss 又由 2 2122121 2 1 1 n nnnnnnn n a ssaasas a 得且 因此 2 222 22 2 22 4 0 340 1 1 nn nn nn aa aa aa 即 解得 2 4 0 3 n a 因此 4 0 3 3 k ak 28 由 1 1 0 3 1 k k k s ak s 得 11 1 2 11 1 2 2 11 1 1 1 11 1 1 0 13 1 24 kkk kkkkk kkkk k kk kk k sss aaaaa sa ss s aa ss s 因此 1 3 kk aak 20102010 年高考题年高考题 一 选择题 1 1 20102010 浙江理 浙江理 3 设 n s为等比数列 n a的前n项和 25 80aa 则 5 2 s s a 11 b 5 c 8 d 11 解析 通过 25 80aa 设公比为q 将该式转化为08 3 22 qaa 解得q 2 带入所 求式可知答案选 d 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 属中档题 2 2 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 4 如果等差数列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa a 14 b 21 c 28 d 35 答案 c 命题意图 本试题主要考查等差数列的基本公式和性质 解析 17 345441274 7 312 4 728 2 aa aaaaaaaaa 3 3 20102010 辽宁文 辽宁文 3 设 n s为等比数列 n a的前n项和 已知 34 32sa 23 32sa 则公比q a 3 b 4 c 5 d 6 答案 b 解析 选 b 两式相减得 343 3aaa 4 43 3 4 4 a aaq a 29 4 4 20102010 辽宁理 辽宁理 6 设 an 是有正数组成的等比数列 n s为其前 n 项和 已知 a2a4 1 3 7s 则 5 s a 15 2 b 31 4 c 33 4 d 17 2 答案 b 命题立意 本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 考查了同学们解决问题的能 力 解析 由 a2a4 1 可得 24 1 1a q 因此 1 2 1 a q 又因为 2 31 1 7saqq 联力两式 有 11 3 2 0 qq 所以 q 1 2 所以 5 5 1 4 1 31 2 1 4 1 2 s 故选 b 5 5 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 6 如果等差数列 n a中 3 a 4 a 5 a 12 那么 1 a 2 a 7 a a 14 b 21 c 28 d 35 答案 c c 解析解析 本题考查了数列的基础知识 本题考查了数列的基础知识 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 728 2 aaaaaa 6 6 20102010 安徽文 安徽文 5 设数列 n a的前 n 项和 2 n sn 则 8 a的值为 a 15 b 16 c 49 d 64 答案 a 解析 887 644915ass 方法技巧 直接根据 1 2 nnn assn 即可得出结论 7 7 20102010 浙江文 浙江文 5 设 n s为等比数列 n a的前n项和 25 80aa 则 5 2 s s a 11 b 8 c 5 d 11 解析 通过 25 80aa 设公比为q 将该式转化为08 3 22 qaa 解得q 2 带入所 30 求式可知答案选 a 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 8 8 20102010 重庆理 重庆理 1 在等比数列 n a中 20102007 8aa 则公比 q 的值为 a 2 b 3 c 4 d 8 答案 a 解析 8 3 2007 2010 q a a 2 q 9 9 20102010 广东理 广东理 4 已知 n a为等比数列 sn是它的前n项和 若 231 2aaa 且 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 则 5 s a 35 b 33 c 31 d 29 答案 c 解析 设 n a 的公比为q 则由等比数列的性质知 23141 2aaa aa 即 4 2a 由 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 知 47 5 22 4 aa 即 74 15151 2 22 24244 aa 3 7 4 1 8 a q a 即 1 2 q 3 411 1 2 8 aa qa 即 1 16a 10 10 20102010 广东文 广东文 11 11 20102010 山东理 山东理 31 12 12 20102010 重庆文 重庆文 2 在等差数列 n a中 19 10aa 则 5 a的值为 a 5 b 6 c 8 d 10 答案 a 解析 由角标性质得 195 2aaa 所以 5 a 5 二 填空题 1 1 20102010 辽宁文 辽宁文 14 设 n s为等差数列 n a的前n项和 若 36 324ss 则 9 a 解析 填 15 31 61 3 2 33 2 6 5 624 2 sad sad 解得 1 1 2 a d 91 815 aad 2 2 20102010 福建理 福建理 11 在等比数列 n a中 若公比q 4 且前 3 项之和等于 21 则该数列的通 项公式 n a 答案 n 1 4 解析 由题意知 111 41621aaa 解得 1 1a 所以通项 n a n 1 4 命题意图 本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用 属基础题 3 20102010 江苏卷 江苏卷 8 函数 y x2 x 0 的图像在点 ak ak2 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak 1 k为正整数 a1 16 则a1 a3 a5 解析 考查函数的切线方程 数列的通项 在点 ak ak2 处的切线方程为 2 2 kkk yaaxa 当0y 时 解得 2 k a x 32 所以 1135 164 121 2 k k a aaaa 三 解答题 1 1 20102010 上海文 上海文 21 21 本题满分本题满分 1414 分分 本题共有本题共有 2 2 个小题 第一个小题满分个小题 第一个小题满分 6 6 分 第分 第 2 2 个小个小 题满分题满分 8 8 分 分 已知数列 n a的前n项和为 n s 且585 nn sna nn 1 证明 1 n a 是等比数列 2 求数列 n s的通项公式 并求出使得 1nn ss 成立的最小正整数n 解析 1 当n 1 时 a1 14 当n 2 时 an sn sn 1 5an 5an 1 1 所以 1 5 1 1 6 nn aa 又a1 1 15 0 所以数列 an 1 是等比数列 2 由 1 知 1 5 115 6 n n a 得 1 5 1 15 6 n n a 从而 1 5 7590 6 n n sn n n n 由sn 1 sn 得 1 52 65 n 5 6 2 log114 9 25 n 最小正整数n 15 2 2 20102010 陕西文 陕西文 16 本小题满分 12 分 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且a1 a3 a9成等比数列 求数列 an 的通项 求数列 2an 的前n项和sn 解 由题设知公差d 0 由a1 1 a1 a3 a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d 解得d 1 d 0 舍去 故 an 的通项an 1 n 1 1 n 由 知2 m a 2n 由等比数列前 n 项和公式得 sm 2 22 23 2n 2 1 2 1 2 n 2n 1 2 3 3 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 18 本小题满分 12 分 已知 n a是各项均为正数的等比数列 且 33 12 12 11 2 aa aa 345 345 111 64 aaa aaa 求 n a的通项公式 设 2 1 nn n ba a 求数列 n b的前n项和 n t 解析解析 本题考查了数列通项 前本题考查了数列通项 前n项和及方程与方程组的基础知识 项和及方程与方程组的基础知识 1 1 设出公比根据条件列出关于 设出公比根据条件列出关于 1 a 与与d的方程求得的方程求得 1 a 与与d 可求得数列的通项公式 可求得数列的通项公式 2 2 由 由 1 1 中求得数列通项公式 可求出 中求得数列通项公式 可求出 bnbn 的通项公式 由其通项公式化可知其和可分的通项公式 由其通项公式化可知其和可分 成两个等比数列分别求和即可求得 成两个等比数列分别求和即可求得 4 4 20102010 江西理 江西理 22 本小题满分 14 分 证明以下命题 1 对任一正整 a 都存在整数 b c b0 由 a2 a7 16 得 1 2716ad 由 36 55 aa 得 11 2 5 55ad ad 由 得 1 2167ad 将其代入 得 163 163 220dd 即 2 2569220d 2 4 0 2 1 1 1 221 n ddd ann 1 又代入得a 2 令 121121 2 n nnnnn n b caccc accc 则有 两式相减得 1111 1 111 1