其它代数系统.doc

4计算机数学基础（上）辅导 (8)其它代数系统本章重点：格与布尔代数概念，布尔代数运算、化简和恒等式证明. 一、重点内容1. 环与域h环，设G是非空集合，在G上定义加法和乘法两种运算，如果满足：(1) (G,+)是交换群(阿贝尔群)；(2) (G,)是半群；(3) 乘法对加法适合左、右分配律，即对a,b,cG,有a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc则代数系统(G,+,)为环.环就是定义了代数运算，其中“”满足交换律，“”满足结合律，对满足左右分配律的代数系统. h交换环，环(G,+,)的乘法满足交换律：ab=ba. 则(G,+,)是交换环. 交换环就是两个代数运算都满足交换律的环. h除环，环(G,+,)的乘法存在单位元；非0元对有逆元的环. h域 设(S,+,)是代数系统，如果满足：(1) (S，)是交换群；(2) (S0，)是交换群；(3) 运算对运算是可分配的. 则(S,+,)为域. 交换除环是域. 环与域关系图h环的同态、同构注意：群是定义了一个代数运算的代数系统；环、域是是定义了两个代数运算的代数系统. 2. 格h格 偏序格，设(L，)是一个偏序集，如果对于a,bL，L的子集a,b在L中都有一个最大下界(记为infa,b)和一个最小上界(记为supa,b),则(L，)是一个偏序格.子集在L中有上确界和下确界的偏序集，就是格. 代数格，在L定义二元运算*，满足：对a,b,cL,有 (1) 交换律 a*b=b*a，ab=ba(2) 结合律 (a*b)*c=a*(b*c) , (ab) c=a (bc)(3) 吸收律 a*(ab)=a， a (a*b)=a则(L,*, )是代数格. 用代数的语言，格就是在非空集合上定义了两个满足结合律、交换律和吸收律的代数系统. 偏序格代数格. h对偶式，由1，0和可以代表格中的任意元素的变量通过，运算连结起来的式子，就是格中的表达式，记作f. 将f中的0换成1，1换成0，换成，换成所得的表达式，就是表达式f的对偶式记作f*. hh对偶原理，若f为真，则f*为真. 3. 特殊格h有界格，设(L，)是格，如果L有最大元素(记为1)和最小元素(记为0)，则(L，)称为有界格，记作(L,1,0)或(L,*, ,0,1). 存在最大和最小元素的格，就是有界格. h有余格，设(L，*，0，1)是有界格，如果L中的每一个元素都至少有一个余元素，则(L，*，0，1)为有余格(或称为有补格). 有最大和最小元素，且存在余元的格.亦即有余元的有界格就是有余格. 它们的关系：格有界格有余格. h分配格， (L，*，)是格，如果对a,b,cL，有a*(boc)=(a*b) (a*c) a (b*c)=(ab)*(ac) 则（L，*,)为分配格. 满足左、右分配律的格就是分配格. h格的运算性质1. (L，)是一个格，a, bL，有aba*b=aab=b2. (L，)是一个格，a, bL，如果bc，有a*ba*c， abac3. (L，)是一个格，a,b,cL，有分配不等式： a (b*c)(ab)*(ac) a*(bc)(a*b) (a*c)4. (L，)是一个格，a,b,cL，有aba (b*c)b*(ac)在格中德摩根律成立：4. 布尔代数h布尔代数，一个有余分配格就是一个布尔代数h布尔代数的公理定义，设B是一个至少含有两个元素的集合，是定义在B上的两种运算，如果对a,b,cB，满足下列公理：H1：ab=ba a+b=b+a (交换律)H2：a(b+c)=ab+ac a+(bc)=(a+b)(a+c) (分配律)H3：B中有元素0和1，对aB,有a1=a a+0=a (有最大元、最小元)H4：对aB,有aB，满足aa=0 a+a=1 (有余元)则(B， ，0，1)是一个布尔代数h记住布尔代数运算的10条算律. 二、实例例8.1 证明是环，其中Z是整数集，运算定义如下：证明 (1)证(Z,)是交换群. ， 显然有又，即1是运算的单位元. 对，即2a是运算的逆元. 从而得到(Z,)是交换群. (2)证 (Z，)是半群. ，所以运算是可结合的. 那么(Z，)是半群. (3) 证运算对适合分配律. ，故，运算对适合分配律. 总之，()能构成环. 例8.2 试判别()和()是不是域. 其中 解 根据环的定义，不难验证(Z3,3，3)和(Z4,4，4)是环(即验证(Z3,3)是交换群；(Z3,3)是半群；运算3对3有分配律). 对于(Z3,3，3)和(Z4,4，4)，我们只需验证它们满足以下条件：(1) 运算3和4是否可交换；(2) 运算3和4是否具有单位元；(3)Z3和Z4中的每一个非0元素分别对于3和4是否具有逆元. （注：满足(1)表示(Z3,3，3)和(Z4,4，4)是交换环，满足(2)和(3)，表示(Z3,3，3)和(Z4,4，4)是除环，）为此我们先列出3和4的运算表. 表81 3的运算表 表82 4的运算表 3012 40123 0000 00000 1012 10123 2021 20202 30321由表81可知，运算3是可交换的，1是3的单位元(因为kZ3，k=0,1,2，,k31=k=13k). 非0元素关于3存在有逆元，111，212(从表看出13111311(单位元)，23212321(单位元). 因此，(Z3,3，3)是域. 从表82可知，运算4是可交