【三维设计】高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第七章 几何概型教学案（含解析）新人教A版.doc

几_何_概_型知识能否忆起1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2几何概型的概率公式在几何概型中，事件a的概率的计算公式如下：p(a).小题能否全取1(教材习题改编)设a(0,0)，b(4,0)，在线段ab上任投一点p，则|pa|1的概率为()a.b.c. d.解析：选c满足|pa|1的区间长度为1，故所求其概率为.2(2012衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析：选a中奖的概率依次为p(a)，p(b)，p(c)，p(d).3.分别以正方形abcd的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()a. b.c. d.解析：选b设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为2，则阴影区域的面积为24，所以所求概率为p.4有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是_解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故p0.05.答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线ot落在30角的终边上，任作一条射线oa，则射线oa落在yot内的概率为_解析：如题图，因为射线oa在坐标系内是等可能分布的，则oa落在yot内的概率为.答案：1.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关2几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果与长度、角度有关的几何概型典题导入例1(2011湖南高考)已知圆c：x2y212，直线l：4x3y25.(1)圆c的圆心到直线l的距离为_；(2)圆c上任意一点a到直线l的距离小于2的概率为_自主解答(1)根据点到直线的距离公式得d5；(2)设直线4x3yc到圆心的距离为3，则3，取c15，则直线4x3y15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是2，则可得直线4x3y15截得的圆弧所对的圆心角为60，故所求的概率是.答案5本例条件变为：“已知圆c：x2y212，设m为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点n，连接mn.”求弦mn的长超过2的概率解：如图，在图上过圆心o作om直径cd.则mdmc2.当n点不在半圆弧cm上时，mn2.所以p(a).由题悟法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解确定点的边界位置是解题的关键以题试法1(1)(2012福建四校联考)已知a是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点a，则aa的长度小于半径的概率为_(2)在rtabc中，bac90，ab1，bc2.在bc边上任取一点m，则amb90的概率为_解析：(1)如图，满足aa的长度小于半径的点a位于劣弧ba上，其中abo和aco为等边三角形，可知boc，故所求事件的概率p.(2)如图，在rtabc中，作adbc，d为垂足，由题意可得bd，且点m在bd上时，满足amb90，故所求概率p.答案：(1)(2)与面积有关的几何概型典题导入例2(1)(2012湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形oab中，分别以oa，ob为直径作两个半圆在扇形oab内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()a1b.c. d.(2)已知不等式组表示平面区域m，若点p(x，y)在所给的平面区域m内，则点p落在m的内切圆内的概率为()a. b(32)c(22) d.自主解答(1)法一：设分别以oa，ob为直径的两个半圆交于点c，oa的中点为d，如图，连接oc，dc.不妨令oaob2，则oddadc1.在以oa为直径的半圆中，空白部分面积s1111，所以整体图形中空白部分面积s22.又因为s扇形oab22，所以阴影部分面积为s32.所以p1.法二：连接ab，设分别以oa，ob为直径的两个半圆交于点c，令oa2.由题意知cab且s弓形acs弓形b cs弓形o c，所以s空白soab222.又因为s扇形oab22，所以s阴影2.所以p1.(2)由题知平面区域m为一个三角形，且其面积为sa2.设m的内切圆的半径为r，则(2a2a)ra2，解得r(1)a.所以内切圆的面积s内切圆r2(1)a2(32)a2.故所求概率p(32).答案(1)a(2)b由题悟法求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率这类问题常与线性规划(理)定积分知识联系在一起以题试法2(2012湖南联考)点p在边长为1的正方形abcd内运动，则动点p到顶点a的距离|pa|1的概率为()a. b.c. d解析：选c如图，满足|pa|1的点p在如图所示阴影部分运动，则动点p到顶点a的距离|pa|1的概率为.与体积有关的几何概型典题导入例3(1)(2012烟台模拟)在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，点o为底面abcd的中心，在正方体abcda1b1c1d1内随机取一点p，则点p到点o的距离大于1的概率为()a.b1c. d1(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为()a. b.c. d.自主解答(1)点p到点o的距离大于1的点位于以o为球心，以1为半径的半球的外部记点p到点o的距离大于1为事件a，则p(a)1.(2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为.答案(1)b(2)c由题悟法与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域以题试法3(2012黑龙江五校联考)在体积为v的三棱锥sabc的棱ab上任取一点p，则三棱锥sapc的体积大于的概率是_解析：如图，三棱锥sabc的高与三棱锥sapc的高相同作pmac于m，bnac于n，则pm、bn分别为apc与abc的高，所以，又，所以时，满足条件设，则p在bd上，所求的概率p.答案：1(2012北京模拟)在区间上随机取一个x，sin x的值介于与之间的概率为()a.b.c. d.解析：选a由sin x，x，得x.所求概率为.2(2012辽宁高考)在长为12 cm的线段ab上任取一点c.现作一矩形，邻边长分别等于线段ac，cb的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()a. b.c. d.解析：选c设acx cm，cb(12x)cm,0x12，所以矩形面积小于32 cm2即为x(12x)320x4或8x12，故所求概率为.3(2013滨州模拟)在区间0,1上任取两个数a，b，则函数f(x)x2axb2无零点的概率为()a. b.c. d.解析：选c要使该函数无零点，只需a24b20，即(a2b)(a2b)0.a，b0,1，a2b0，a2b0.作出的可行域，易得该函数无零点的概率p.4(2012北京西城二模)已知函数f(x)kx1，其中实数k随机选自区间2,1x0,1，f(x)0的概率是()a. b.c. d.解析：选c由x0,1，f(x)0得有1k1，所以所求概率为.5(2012盐城摸底)在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为()a. b.c. d.解析：选a如图，线段ab长为5米，线段ac、bd长均为2米，线段cd长为1米，满足题意的悬挂点e在线段cd上，故所求事件的概率p.6(2012沈阳四校联考)一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为()a. b.c. d.解析：选a记昆虫所在三角形区域为abc，且ab6，bc8，ca10，则有ab2bc2ca2，abbc，该三角形是一个直角三角形，其面积等于6824.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于22222，因此所求的概率等于.7(2012郑州模拟)若不等式组表示的平面区域为m，x2y21所表示的平面区域为n，现随机向区域m内抛一粒豆子，则豆子落在区域n内的概率为_解析：yx与yx互相垂直，m的面积为3，而n的面积为，所以概率为.答案：8(2012孝感统考)如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形abcd是边长为1的正方形若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是_解析：设题图1长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率p，解得h3或h(舍去)，故长方体的体积为1133.答案：39.(2012宜春模拟)投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为米的小方块试验是向板中投镖，事件a表示投中阴影部分，则事件a发生的概率为_解析：事件a所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应由几何概型的概率公式得p(a).答案：10已知|x|2，|y|2，点p的坐标为(x，y)，求当x，yr时，p满足(x2)2(y2)24的概率解：如图，点p所在的区域为正方形abcd的内部(含边界)，满足(x2)2(y2)24的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)故所求的概率p1.11已知集合a2,2，b1,1，设m(x，y)|xa，yb，在集合m内随机取出一个元素(x，y)(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2y21内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线xy0的距离不大于的概率解：(1)集合m内的点形成的区域面积s8.因x2y21的面积s1，故所求概率为p1.(2)由题意即1xy1，形成的区域如图中阴影部分，面积s24，所求概率为p.12(2012长沙模拟)已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636个；由ab1有2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6；满足ab0的基本事件的结果为a(x，y)|1x6,1y6，且2xy0；画出图形，矩形的面积为s矩形25，阴影部分的面积为s阴影252421，故满足ab0的概率为.1在区间0，上随机取一个数x，则事件“sin xcos x1”发生的概率为()a. b.c. d.解析：选c由sin xcos x1得2sin1，即sin.由于x0，故x，因此当sin时，x，于是x.由几何概型公式知事件“sin xcos x1”发生的概率为p.2有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点o为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点p，则点p到点o的距离大于1的概率为_解析：先求点p到点o的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积v圆柱1222，以o为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积v半球13.则点p到点o的距离小于或等于1的概率为，故点p到点o的距离大于1的概率为1.答案：3(2012晋中模拟)设ab6，在线段ab上任取两点(端点a、b除外)，将线段ab分成了三条线段(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为p.(2)设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6xy，故全部试验结果所构成的区域为即所表示的平面区域为oab.若三条线段x，y,6xy能构成三角形，则还要满足即为所表示的平面区域为def，由几何概型知，所求概率为p.1.如图，矩形abcd中，点e为边cd的中点，若在矩形abcd内部随机取一个点q，则点q取自abe内部的概率等于()a. b.c. d.解析：选c由题意知，可设事件a为“点q落在abe内”，构成试验的全部结果为矩形abcd内所有点，事件a为abe内的所有点，又因为e是cd的中点，所以sabeadab，s矩形abcdadab，所以p(a).2在区间0,1上任取两个数a，b，则关于x的方程x22axb20有实数根的概率为_解析：由题意得4a24b20，a，b0,1，ab