正方形中线段关系的探究.docx

九年级数学导学案 设计 储爱鸿 使用日期：20170531 正方形中线段关系的探究教学设计 教学目标：1掌握正方形形的概念、性质和判定2运用正方形有关的性质定理及判定定理，去解决有关线段平行、垂直或相等问题和有关角相等及计算问题3体会在证明过程中，所运用的归纳、转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法重点、难点：解决此类题的关键是作出辅助线，证明三角形全等【引入】：如图ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请证明你的猜想(人教版八年级下册第68页第8题)【分析】由DE=CF可得AE=DFDAFABE，然后根据全等三角形的对应角相等可得出BE与AF的关系【预习案】1如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，DAE=30，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ=AE，则AP等于_cm【分析】根据题意画出图形，过P作PNBC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，DAE=NPQ=30，再由PN与DC平行，得到PFA=DEA=60，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP的长即可2如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将BCF沿BF对折，得到BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）AE=BF；AEBF；sinBQP=；S四边形ECFG=2SBGEA4 B3C2 D1【分析】首先证明ABEBCF，再利用角的关系求得BGE=90，即可得到AE=BF；AEBF；BCF沿BF对折，得到BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证BGE与BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解【探究案 】如图，四边形ABCD为正方形在边AD上取一点E，连接BE，使AEB=60（1）利用尺规作图补全图形；（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）（2）取BE中点M，过点M的直线交边AB，CD于点P，Q当PQBE时，求证：BP=2AP；当PQ=BE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由【分析】（1）如图，分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E； （2）连接PE，先证明PQ垂直平分BE得到PB=PE，再证明APE=60，得到AEP=30，利用在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半，即可解答；（3）NQ=2MQ或NQ=MQ，分两种情况讨论 作出辅助线，证明ABEFQP，即可解答【训练案】1如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PMCD交BC于M点，PNBC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：ABEBCF；AE=BF；AEBF；CF2=PEBF；线段MN的最小值为.其中正确的结论有（）A2个B3个C4个D5个【分析】由正方形的性质及条件可判断出ABEBCF，即可判断出AE=BF，BAE=CBF，再根据BAE+BEA=90，可得CBF+BEA=90，可得出APB=90，即可判断，由BPEBCF，利用相似三角形的性质，结合CF=BE可判断；然后根据点P在运动中保持APB=90，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在RtBCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值，可判断2如图 ,若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为_【分析】分两种情况进行分析，当BF如图位置时，当BF为BG位置时；根据相似三角形的性质即可求得BM的长3如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0t2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QEAB于点E，过M作MFBC于点F（1）当t1时，求证：PEQNFM；（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值【分析】（1）由四边形ABCD是正方形得到A=B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而证得；（2）分