双曲线(答案).doc

双曲线一、教学目标：1、掌握双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲线的几何性质，了解双曲线的初步应用。2、了解双曲线的参数方程，能根据方程讨论双曲线的性质，掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。二、知识要点分析：（一）双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两定点F1，F2距离的差的绝对值等于定长2a（小于|FF|）的点的轨迹叫双曲线，即|PF|PF|2a（2a|FF|）。此定义中，“绝对值”与2a|FF|，不可忽视。若2a|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若2a|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。（二）双曲线的标准方程及几何性质1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的双曲线方程中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形顶 点对称轴轴，轴；虚轴为，实轴为焦 点焦 距 离心率（离心率越大，开口越大）准 线渐近线焦准距2、判断椭圆方程中焦点位置的不同，是通过比较x，y系数的大小，而双曲线是看x，y的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”3、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。1与1互为共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线。（2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距。（3）与1具有相同渐近线的双曲线系方程为k（k0）4、如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.5、等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率。6、弦长公式：（1）过焦点的弦长：|AB|e（dd），（2）一般的弦长公式：类似于椭圆，x，x分别为弦PQ的横坐标，弦PQ所在的直线方程为ykxb，代入双曲线方程整理得AxBxC0，则，若y，y分别为弦PQ的纵坐标，则。三、例题例1. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：（3）双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（4）与双曲线x22y22有共同的渐近线，且经过点（2，2）（5）过点P（2，1），渐近线方程是y3x. 解：（1）设双曲线方程为mx2ny21， 于是，设所求双曲线方程为 或 把代入，得与k0矛盾，无解；把代入，得k=9，故所求双曲线方程为。说明：本例解法是待定系数法：（1）中设法叫“统设”，由此可知，统设方程mx2ny21可以代表椭圆、双曲线这两种标准方程；（2）中设法叫“分设”，因由离心率的条件不能区分实轴在x轴上还是在y轴上，故分别设出两种方程. （3）设双曲线方程为 由已知得故双曲线C的方程为（4）设所求双曲线方程为x22y2k，由于双曲线过点（2，2），将（2，2）代入，得k222（2）24. 故所求双曲线方程为x22y24，即2y2x24. 说明：容易证明，因此，如果已知上述各种形式的渐近线方程，则可统设双曲线方程为，其中k的符号调节实轴位置，k调节轴长。（5）分析：首先要确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P（2，1）在渐近线y3x的上方还是下方？如图所示，x2与y3x交点为Q（2，6），P（2，1）在Q（2，6）的上方，所以焦点在x轴上. 方法一：设双曲线方程为. 依题意，得解得 所求双曲线方程为方法二：由渐近线方程3xy0，可设所求双曲线方程为 （0） （*）将点P（2，1）的坐标代入（*），得35所求的双曲线方程为例2. 直线L：与曲线有两个不同的交点，（1）求a的取值范围（2）设交点为A，B，若以AB为直径的圆恰过原点，求a的值。解：（1）由方程组可得，依题意，方程有两个实根，则即解得故a 的取值范围是（2）设A（），B（），由题意可得OAOB（O是坐标原点），则有而，由（1）可知代入上式可得解得，且满足（1）的条件，故a的值为。反思：直线和曲线的交点问题即是由它们的方程组成的方程组的解的问题，而方程组的解往往转化为一元二次方程的解，因此讨论一元二次方程的根的方法要非常熟练。其基本步骤应为：观察二次项系数，看是否需要讨论；分析判别式，看是否有根；应用韦达定理，虽不解方程却能观察根的情况。解题时要始终遵循以上原则，养成良好的思维习惯，为后面解决直线与圆锥曲线位置关系的问题打下坚实的基础，同时要逐步培养含字母的解析式的运算能力。例3. 设双曲线的顶点是椭圆的焦点，该双曲线又与直线交于A，B两点，且OAOB（O为坐标原点）（1）求此双曲线的方程；（2）求|AB|. 解：（1）已知椭圆的焦点为（0，1），即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为y2 mx21（m0）， A（x1，y1）、B（x2，y2）是方程、组成的方程组的两个解. 由、消去常数项，得（2）设AB的中点为M（x0，y0），则在RtABO中，可知|AB|2|OM|两式相减，得即得说明：本题的常规解法是“根系关系法”，即由方程、组成的方程组，消去y得到x 的二次方程，由根与系数的关系得到，再解OAOB，即可解决问题（1）；再由弦长公式求得AB.但计算量较大，因此我们给出了上面的解法：在（1）中构造了以kOA、kOB为二根的二次方程，轻巧地求得了待定系数m；在（2）中用了“斜率关系法”（即），也省去了麻烦的计算. 例4. 已知直线与曲线恰有一个公共点，求实数的值。解：联立方程（1）当=0时，此方程恰有一组解为：（2）0时，消去x，得y2y1=0。若=0，即=1，方程变为一元一次方程：y1=0，方程组恰有一组解：若0，即1，令=0得：1+4=0，可得=，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.综上所述知，当=0、1、时，直线与曲线恰有一个公共点。例5. 已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（）。（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围。解析：（1）设双曲线方程为，由已知得。故所求双曲线方程为。（2）将代入，可得，由直线l与双曲线交于不同的两点A，B得，故设，则，由，而，于是解此不等式得由得。点评：在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去或，得到关于或的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形。例6 曲线P在M上，A（1，2），B（3，8），求最小值。与AB平行的曲线的切线： 依图 例7 如图，双曲线的离心率为，F1，F2分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且。（1）求双曲线的方程；（2）设A（m，0）和是x轴上的两点。过点A作斜率不为0的直线，使得交双曲线于C，D两点，作直线BC交双曲线于另一点E。证明直线DE垂直于x轴。解