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例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： （1）；（2）；（3）+.3已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析：连接BA1，因为CD1BA1，所以A1BE即为异面直线BE与CD1所成的角，令AA12AB2，则EB，A1E1，A1B，故由余弦定理得cosA1BE，即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为.答案：C4已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析：由于是正三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是，故侧棱与底面所成角的余弦值为.答案：D6.在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为4，侧棱垂直于底面，点D是棱AB的中点，则AC与平面DCA1所成角的正弦值是()图4A. B. C. D.解析：由题易知CDAB，CD侧面ABB1A1，平面A1CD侧面ABB1A1，作AEA1D，则AE平面DCA1，连接CE，则ACE为AC与平面DCA1所成的角，ACAA14，AD2，易得AE，图5sinACE，故选A.9(2012吉林长春联考)如图是一副直角三角板现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD，则下列叙述正确的是_图90；平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直；异面直线BC与AD所成的角为60；四面体ABCD有外接球；直线DC与平面ABC所成的角为30.解析：依题意得，BD平面ABC，又AC平面ABC，因此有BDAC，所以0，正确由于平面BCD与平面ACD不垂直，因此平面BCD的法向量与平面ACD的法向量不垂直，不正确对于，作AEBC于E，设ABAC2a，直线BC与AD所成的角为，则BC2a，BD.以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,0)，A(0,0，a)，B(0，a,0)，C(0，a,0)，D，图10则(0,2a,0)，所以cos|cos|，因此直线BC与AD所成的角不是60，不正确对于，依题意得，BD平面ABC，直线DC与平面ABC所成的角是BCD30，又易知BDAC，ABAC，则AC平面ABD，于是有ACAD，记CD的中点是F，连接BF，则有AFCDBF，因此点F到A，B，C，D的距离相等，故四面体ABCD有外接球，所以正确综上所述，其中叙述正确的是.答案：1.（2013山东卷理4）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为 5.如图，已知四棱锥，底面为菱形，PBECDFAyzx平面，分别是的中点（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值（2）方法：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为分别为的中点，所以，所以设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，所以平面，故为平面的一法向量又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为35.（2013浙江卷理20）如图，在四面体中，平面,.是的中点，是的中点，点在线段上，且.（1） 证明：平面;（2） 若二面角的大小为，求的大小. ABCDPMQ解：(1)证明：如图所示，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0，0)，因为3，所以Qx0，y0，.因为M为AD的中点，故M(0，1)又P为BM的中点，故P0，0，.所以x0，y0，0.又平面BCD的一个法向量为n(0，0，1)，故n0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.(2)设m(x，y，z)为平面BMC的一个法向量由(x0，y0，1)，(0，2 ，1)，知取y1，得m，1，2 .又平面BDM的一个法向量为n(1，0，0)，于是|cosm，n|，即23.又BCCD，所以0，故(x0，y0，0)(x0，y0，0)0，即xy2.联立，解得(舍去)或所以tanBDC.又BDC是锐角，所以BDC60.练2：如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，（I） 设是的中点，证明：平面；（II） 求斜线与平面所成的角；（III） 求面与面PBO所成的锐二面角.13、如图，在四棱锥P-ABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD， ABCD，AB= 2AD =2CD =2E是PB的中点 （I）求证：平面EAC平面PBC;ABEP （II）若二面角P-