【三维设计】高考数学一轮复习 （基础知识+高频考点+解题训练）空间向量与空间角教学案.doc

空间向量与空间角知识能否忆起利用向量求空间角1两条异面直线所成的角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)2直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.3求二面角的大小(1)如图1，ab、cd是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图2、3，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小n1，n2(或n1，n2)小题能否全取1(教材习题改编)已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()a30b60c120 d150解析：选a由于cosm，n，m，n120.所以直线l与所成的角为30.2(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()a45 b135c45或135 d90解析：选ccosm，n，即m，n45，其补角为135，两平面所成的二面角为45或135.3.在如图所示的正方体a1b1c1d1abcd中，e是c1d1的中点，则异面直线de与ac夹角的余弦值为()a bc. d.解析：选d如图建立直角坐标系dxyz，设da1，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e.则(1,1,0)，若异面直线de与ac所成的角为，cos |cos，|.4已知点e、f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则平面aef与平面abc所成的二面角的正切值为_解析：如图，建立直角坐标系dxyz，设da1由已知条件a(1,0,0)，e，f，设平面aef的法向量为n(x，y，z)，面aef与面abc所成的二面角为，由得令y1，z3，x1，则n(1,1，3)设平面abc的法向量为m(0,0，1)，则cos cosn，m，tan .答案：5(教材习题改编)如图，在长方体abcda1b1c1d1中，已知dadc4，dd13，则异面直线a1b与b1c所成角的余弦值_解析：建立如图所示直角坐标系，则a1(4,0,3)，b(4,4,0)，b1(4,4,3)，c(0,4,0)，(0,4，3)，(4,0，3)设异面直线a1b与b1c所成角为，则cos |cos，|.答案： (1)利用向量求空间角，一定要注意将向量夹角与所求角区别开来，在将向量夹角转化为各空间角时注意空间各角的取值范围，异面直线所成角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，(2)利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点异面直线所成的角典题导入例1(2012陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()a.b.c. d.自主解答不妨令cb1，则cacc12.可得o(0,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，a(2,0,0)，b1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，cos，0.与的夹角即为直线bc1与直线ab1的夹角，直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为.答案a本例条件下，在线段ob上，是否存在一点m，使c1m与ab1所成角的余弦为？若存在，求出m点；不存在，说明理由解：不妨令cb1，cacc12，建系如本例题图，假设存在符合条件的点m，设m(0,0，a)，则(0，2，a)，又(2,2,1)，|cos，|.|a4|，a28a16a24.8a12，a.又cb1，a1.故不存在符合条件的点m.由题悟法利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角以题试法1(2012安徽模拟)如图所示，在多面体abcda1b1c1d1中，上、下两个底面a1b1c1d1和abcd互相平行，且都是正方形，dd1底面abcd，ab2a1b12dd12a.(1)求异面直线ab1与dd1所成角的余弦值；(2)已知f是ad的中点，求证：fb1平面bcc1b1.解：以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(2a,0,0)，b(2a,2a,0)，c(0,2a,0)，d1(0,0，a)，f(a,0,0)，b1(a，a，a)，c1(0，a，a)(1)(a，a，a)，(0,0，a)，cos，所以异面直线ab1与dd1所成角的余弦值为.(2)证明：(a，a，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)，fb1bb1，fb1bc.bb1bcb，fb1平面bcc1b1.直线与平面所成角典题导入 例2(2012大纲全国卷)如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，pa底面abcd，ac2，pa2，e是pc上的一点，pe2ec.(1)证明：pc平面bed；(2)设二面角apbc为90，求pd与平面pbc所成角的大小自主解答(1)证明：以a为坐标原点，射线ac为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则c(2，0,0)设d(，b,0)，其中b0，则p(0,0,2)，e，b(，b,0)于是(2，0，2)，从而0，0，故pcbe，pcde.又bedee，所以pc平面bed.(2) (0,0,2)，(，b,0)设m(x，y，z)为平面pab的法向量，则m0，m0，即2z0且xby0，令xb，则m(b，0)设n(p，q，r)为平面pbc的法向量，则n0，n0，即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，n.因为二面角apbc为90，所以面pab面pbc，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，所以cosn，所以n，60.因为pd与平面pbc所成角和n，互余，故pd与平面pbc所成的角为30.由题悟法利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角(如例2)以题试法2.(2012宝鸡模拟)如图，已知pa平面abc，且pa，等腰直角三角形abc中，abbc1，abbc，adpb于d，aepc于e.(1)求证：pc平面ade；(2)求直线ab与平面ade所成角的大小解：(1)证明：因为pa平面abc，所以pabc，又abbc，且paaba，所以bc平面pab，从而bcad.又adpb，bcpbb，所以ad平面pbc，得pcad，又pcae，aeada，所以pc平面ade.(2)如图所示，建立空间直角坐标系bxyz.则a(1,0,0)，c(0,1,0)，p(1,0，)，因为pc平面ade，所以(1,1，)是平面ade的一个法向量设直线ab与平面ade所成的角为，则sin ，则直线ab与平面ade所成的角为30.二面角典题导入例3(2012江西高考)在三棱柱abca1b1c1中，已知abacaa1，bc4，点a1在底面abc的投影是线段bc的中点o.(1)证明在侧棱aa1上存在一点e，使得oe平面bb1c1c，并求出ae的长；(2)求平面a1b1c与平面bb1c1c夹角的余弦值自主解答(1)证明：连接ao，在aoa1中，作oeaa1于点e，因为aa1bb1，得oebb1，因为a1o平面abc，所以a1obc.因为abac，oboc，得aobc，所以bc平面aa1o，所以bcoe，所以oe平面bb1c1c.又ao1，aa1，得ae.(2)如图，分别以oa，ob，oa1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，b(0,2,0)，c(0，2,0)，a1(0,0,2)，b1(1,2,2)，由得点e的坐标是，由(1)得平面bb1c1c的法向量是，设平面a1b1c的法向量n(x，y，z)，由得令y1，得x2，z1，即n(2,1，1)，所以cos，n，即平面a1b1c与平面bb1c1c夹角的余弦值是.由题悟法求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角以题试法3(2012山西模拟)如图，四棱锥sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sdada，点e是sd上的点，且dea(00)，则有b(1,0,0)，b1(1,0，h)，c1(0,1，h)，a1(0,0，h)，(1,1,0)，(0,1,0)，(1,0，h)(1)因为异面直线a1b与b1c1所成的角为60，所以cos60，即，得，解得h1.(2)由d是bb1的中点，得d，于是.设平面a1bc1的法向量为n(x，y，z)，于是由n，n可得即可取n(h,0,1)，故sin |cos，n|，而|cos，n|.令f(h)，因为h2929，当且仅当h2，即h时，等号成立所以f(h)，故当h时，sin 的最大值为.立 体 几 何(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1(2012重庆模拟)若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()a平行b异面c相交 d平行、异面或相交解析：选d经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现2(2012福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()a球 b三棱锥c正方体 d圆柱解析：选d球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项a和c.对于如图所示三棱锥oabc，当oa、ob、oc两两垂直且oaoboc时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项b.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同3(2012安徽模拟)在空间，下列命题正确的是()a若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面b若直线m与平面内的一条直线平行，则mc若平面，且l，则过内一点p与l垂直的直线垂直于平面d若直线ab，且直线la，则lb解析：选d三条直线两两相交，可确定一个平面或三个平面，故a错；m与平面内一条直线平行，m也可在内，故b错；若平面，且l，当pl时，过p点与l垂直的直线可在外，也可在内，故c错由等角定理知d正确4(2012新课标全国卷)平面截球o的球面所得圆的半径为1，球心o到平面的距离为，则此球的体积为()a. b4c4 d6解析：选b设球的半径为r，由球的截面性质得r，所以球的体积vr34.5(2012北京海淀二模)某几何体的正视图与俯视图如图所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是()a. b.c6 d4解析：选a由三视图知，该几何体是正方体挖去一个以正方体的中心为顶点、以正方体的上底面为底面的四棱锥后的剩余部分，其体积是23221.6(2013安徽模拟)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选b由三视图的相关知识易知选b.7正方体abcda1b1c1d1中，与体对角线ac1异面的棱有()a3条 b4条c6条 d8条解析：选c从定义出发，同时考虑到正方体的体对角线ac1与正方体的6条棱有公共点a和c1，而正方体有12条棱，所以与ac1异面的棱有6条8.(2012衡阳模拟)如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为()a. b.c. d.解析：选b此几何体是底面半径为，母线长为1的圆锥，其侧面积srl1.9如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是bc1，cd1的中点，则下列判断错误的是()amn与cc1垂直bmn与ac垂直cmn与bd平行dmn与a1b1平行解析：选d由于c1d1与a1b1平行，mn与c1d1是异面直线，所以mn与a1b1是异面直线，故选项d错误10(2012皖南八校三联)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的体积为()a18 cm3 b15 cm3c12 cm3 d9 cm3解析：选b由三视图可知，该几何体是一个上下均为长方体的组合体如图所示，由图中数据可得该几何体体积为33112315(cm3)11在正四面体abcd中，棱长为4，m是bc的中点，p在线段am上运动(p不与a、m重合)，过点p作直线l平面abc，l与平面bcd交于点q，给出下列命题：bc面amd；q点一定在直线dm上；vcamd4.其中正确的是()a bc d解析：选aabcd是正四面体，m为bc中点，ambc，dmbc，且amdmm，bc面amd.正确vcamdsamdcm(bc面amd，cm为四面体camd的高)如图，在amd中，amdm2，mn2，samdadmn424，vcamd42，故不正确由排除法知选a.12(2012浙江高考)已知矩形abcd，ab1，bc.将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折，在翻折过程中，()a存在某个位置，使得直线ac与直线bd垂直b存在某个位置，使得直线ab与直线cd垂直c存在某个位置，使得直线ad与直线bc垂直d对任意位置，三对直线“ac与bd”，“ab与cd”，“ad与bc”均不垂直解析：选b对于abcd，因为bccd，可得cd平面acb，因此有cdac.因为ab1，bc，cd1，所以ac1，所以存在某个位置，使得abcd.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13(2012肇庆二模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_，_.解析：由三视图可知，该几何体的下部是一底边长为2，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长所以长方体的表面积为s122242440，长方体的体积为v122416，球的表面积和体积分别为s24124，v213，故该几何体的表面积为ss1s2404，该几何体的体积为vv1v216.答案：4041614 (2012北京怀柔模拟)p为abc所在平面外一点，且pa、pb、pc两两垂直，则下列命题：pabc；pbac；pcab；abbc.其中正确的个数是_解析：如图所示papc，papb，pcpbp，pa平面pbc.又bc平面pbc，pabc.同理pbac，pcab.但ab不一定垂直于bc.共3个答案：315.已知正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于_解析：如图，三棱柱的外接球球心为o，其中d为上底面三角形外接圆的圆心，其中ad62，又od3，故在rtoad中可得r|oa|，故球的表面积为4()284.答案：8416(2012长春名校联考)如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点mab1，nbc1，且ambn，有以下四个命题：aa1mn；a1c1mn；mn平面a1b1c1d1；mn与a1c1是异面直线其中正确命题的序号是_(注：把你认为正确命题的序号都填上)解析：过n作npbb1于点p，连接mp，可证aa1平面mnp，aa1mn，正确；过m、n分别作mra1b1、nsb1c1于点r、s，则当m不是ab1的中点，n不是bc1的中点时，直线a1c1与直线rs相交；当m、n分别是ab1、bc1的中点时，a1c1rs，a1c1与mn可以异面，也可以平行，故错误由正确知，aa1平面mnp，而aa1平面a1b1c1d1，平面mnp平面a1b1c1d1，故对综上所述，其中正确命题的序号是.答案：三、解答题(本大题有6小题，共70分)17(本小题满分10分)(2012陕西高考)在直三棱柱abca1b1c1中，abaa1，cab.(1)证明：cb1ba1；(2)已知ab2，bc，求三棱锥c1aba1的体积解：(1)证明：如图所示，连接ab1，abca1b1c1是直三棱柱，cab，ac平面abb1a1，故acba1.又abaa1，四边形abb1a1是正方形，ba1ab1，又caab1a，ba1平面cab1，故cb1ba1.(2)abaa12，bc，aca1c11，由(1)知，a1c1平面aba1，vc1aba1saba1a1c121.18(本小题满分12分) (12分)如图所示，四棱锥pabcd的底面是边长为a的正方形，侧棱pa底面abcd，侧面pbc内有bepc于e，且bea，试在ab上找一点f，使ef平面pad.解：在平面pcd内，过e作egcd交pd于g，连接ag，在ab上取点f，使afeg，则f即为所求作的点egcdaf，egaf，四边形fega为平行四边形，feag.又ag平面pad，fe平面pad，ef平面pad.又在rtbce中，ce a.在rtpbc中，bc2cecp，cpa，又，egcda，afega.点f为ab靠近点b的一个三等分点19(本小题满分12分) (12分)(2012新课标全国卷)如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱垂直底面，acb90，acbcaa1，d是棱aa1的中点(1)证明：平面bdc1平面bdc；(2)平面bdc1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比解：(1)证明：由题设知bccc1，bcac，cc1acc，所以bc平面acc1a1.又dc1平面acc1a1，所以dc1bc.由题设知a1dc1adc45，所以cdc190，即dc1dc.又dcbcc，所以dc1平面bdc.又dc1平面bdc1，故平面bdc1平面bdc.(2)设棱锥bdacc1的体积为v1，ac1.由题意得v111.又三棱柱abca1b1c1的体积v1，所以(vv1)v111.故平面bdc1分此棱柱所得两部分体积的比为11.20(本小题满分12分) (12分)(2012安徽高考)如图，长方体abcda1b1c1d1中，底面a1b1c1d1是正方形，o是bd的中点，e是棱aa1上任意一点(1)证明：bdec1；(2)如果ab2，ae，oeec1，求aa1的长解：(1)证明：连接ac，a1c1.由底面是正方形知，bdac.因为aa1平面abcd，bd平面abcd，所以aa1bd.又aa1aca，所以bd平面aa1c1c.由ec1平面aa1c1c知，bdec1.(2)法一：设aa1的长为h，连接oc1.在rtoae中，ae，ao，故oe2()2()24.故rtea1c1中，a1eh，a1c12，故ec(h)2(2)2.在rtocc1中，oc，cc1h，och2()2.因为oeec1，所以oe2ecoc，即4(h)2(2)2h2()2，解得h3，所以aa1的长为3.法二：oeec1，aeoa1ec190.又a1c1ea1ec190，aeoa1c1e.又oaec1a1e90，oaeea1c1，即，a1e2，aa1aea1e3.21(本小题满分12分) (12分)(2012郑州一模)如图，在四棱锥sabcd中，abad，abcd，cd3ab3，平面sa