【三维设计】高考数学一轮复习 （基础知识+高频考点+解题训练）圆的方程教学案.doc

圆_的_方_程知识能否忆起1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)圆心：，半径：2点与圆的位置关系点m(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若m(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若m(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若m(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.小题能否全取1(教材习题改编)方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是()a.m1bm或m1cm dm1解析：选b由(4m)2445m0得m或m1.2(教材习题改编)点(1,1)在圆(xa)2(ya)24内，则实数a的取值范围是()a(1,1) b(0,1)c(，1)(1，) d(1，)解析：选a点(1,1)在圆的内部，(1a)2(1a)24，1a1.3圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()ax2(y2)21 bx2(y2)21c(x1)2(y3)21 dx2(y3)21解析：选a设圆心坐标为(0，b)，则由题意知1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21.4(2012潍坊调研)圆x22xy230的圆心到直线xy30的距离为_解析：圆心(1,0)，d1.答案：15(教材习题改编)圆心在原点且与直线xy20相切的圆的方程为_解析：设圆的方程为x2y2a2(a0)a，a，x2y22.答案：x2y221.方程ax2bxycy2dxeyf0表示圆的充要条件是：(1)b0；(2)ac0；(3)d2e24af0.2求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在任一弦的中垂线上(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线圆的方程的求法典题导入例1(1)(2012顺义模拟)已知圆c关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为12，则圆c的方程为()a.2y2b.2y2cx22 dx22(2)已知圆c经过a(5,1)，b(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆c的方程为_自主解答(1)由已知知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，b)，半径为r，则rsin1，rcos|b|，解得r，|b|，即b.故圆的方程为x22.(2)圆c的方程为x2y2dxf0，则解得圆c的方程为x2y24x60.答案(1)c(2)x2y24x60由题悟法1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或d，e，f的方程组2利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用以题试法1(2012浙江五校联考)过圆x2y24外一点p(4,2)作圆的两条切线，切点分别为a，b，则abp的外接圆的方程是()a(x4)2(y2)21bx2(y2)24c(x2)2(y1)25 d(x2)2(y1)25解析：选d易知圆心为坐标原点o，根据圆的切线的性质可知oapa，obpb，因此p，a，o，b四点共圆，pab的外接圆就是以线段op为直径的圆，这个圆的方程是(x2)2(y1)25.与圆有关的最值问题典题导入例2(1)(2012湖北高考)过点p(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()axy20 by10cxy0 dx3y40(2)p(x，y)在圆c：(x1)2(y1)21上移动，则x2y2的最小值为_自主解答(1)当圆心与p的连线和过点p的直线垂直时，符合条件圆心o与p点连线的斜率k1，直线op垂直于xy20.(2)由c(1,1)得|oc|，则|op|min1，即()min1.所以x2y2的最小值为(1)232.答案(1)a(2)32由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法(1)形如u的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题(如a级t9)；(2)形如taxby的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2)；(3)形如(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2)以题试法2(1)(2012东北三校联考)与曲线c：x2y22x2y0相内切，同时又与直线l：y2x相切的半径最小的圆的半径是_(2)已知实数x，y满足(x2)2(y1)21则2xy的最大值为_，最小值为_解析：(1)依题意，曲线c表示的是以点c(1，1)为圆心，为半径的圆，圆心c(1，1)到直线y2x即xy20的距离等于2，易知所求圆的半径等于.(2)令b2xy，则b为直线2xyb在y轴上的截距的相反数，当直线2xyb与圆相切时，b取得最值由1.解得b5，所以2xy的最大值为5，最小值为5.答案：(1)(2)55与圆有关的轨迹问题典题导入例3(2012正定模拟)如图，已知点a(1,0)与点b(1,0)，c是圆x2y21上的动点，连接bc并延长至d，使得|cd|bc|，求ac与od的交点p的轨迹方程自主解答设动点p(x，y)，由题意可知p是abd的重心由a(1,0)，b(1,0)，令动点c(x0，y0)，则d(2x01,2y0)，由重心坐标公式得则代入x2y21，整理得2y2(y0)，故所求轨迹方程为2y2(y0)由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等以题试法3(2012郑州模拟)动点p到点a(8,0)的距离是到点b(2,0)的距离的2倍，则动点p的轨迹方程为()ax2y232bx2y216c(x1)2y216 dx2(y1)216解析：选b设p(x，y)，则由题意可得2，化简整理得x2y216.1圆(x2)2y25关于原点p(0,0)对称的圆的方程为()a(x2)2y25bx2(y2)25c(x2)2(y2)25 dx2(y2)25解析：选a圆上任一点(x，y)关于原点对称点为(x，y)在圆(x2)2y25上，即(x2)2(y)25.即(x2)2y25.2(2012辽宁高考)将圆x2y22x4y10平分的直线是()axy10 bxy30cxy10 dxy30解析：选c要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)a，b，c，d四个选项中，只有c选项中的直线经过圆心3(2012青岛二中期末)若圆c的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()a(x3)221 b(x2)2(y1)21c(x1)2(y3)21 d.2(y1)21解析：选b依题意设圆心c(a,1)(a0)，由圆c与直线4x3y0相切，得1，解得a2，则圆c的标准方程是(x2)2(y1)21.4(2012海淀检测)点p(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()a(x2)2(y1)21 b(x2)2(y1)24c(x4)2(y2)24 d(x2)2(y1)21解析：选a设圆上任一点为q(x0，y0)，pq的中点为m(x，y)，则解得因为点q在圆x2y24上，所以(2x4)2(2y2)24，即(x2)2(y1)21.5(2013杭州模拟)若圆x2y22x6y5a0，关于直线yx2b成轴对称图形，则ab的取值范围是()a(，4) b(，0)c(4，) d(4，)解析：选a将圆的方程变形为(x1)2(y3)2105a，可知，圆心为(1，3)，且105a0，即a2.圆关于直线yx2b对称，圆心在直线yx2b上，即312b，解得b2，ab4.6已知点m是直线3x4y20上的动点，点n为圆(x1)2(y1)21上的动点，则|mn|的最小值是()a. b1c. d.解析：选c圆心(1，1)到点m的距离的最小值为点(1，1)到直线的距离d，故点n到点m的距离的最小值为d1.7如果三角形三个顶点分别是o(0,0)，a(0,15)，b(8,0)，则它的内切圆方程为_解析：因为aob是直角三角形，所以内切圆半径为r3，圆心坐标为(3,3)，故内切圆方程为(x3)2(y3)29.答案：(x3)2(y3)298(2013河南三市调研)已知圆c的圆心与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称，直线4x3y20与圆c相交于a，b两点，且|ab|6，则圆c的方程为_解析：设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)，则圆c的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x3y20的距离d1，则r2d2210，因此圆c的方程是x2(y1)210.答案：x2(y1)2109(2012南京模拟)已知x，y满足x2y21，则的最小值为_解析：表示圆上的点p(x，y)与点q(1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线pq与圆相切时的斜率设直线pq的方程为y2k(x1)即kxy2k0.由1得k，结合图形可知，故最小值为.答案：10过点c(3,4)且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r1，r2，求r1r2.解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限，且在直线yx上，故可设两圆方程为(xa)2(ya)2a2，(xb)2(yb)2b2，且r1a，r2b.由于两圆都过点c，则(3a)2(4a)2a2，(3b)2(4b)2b2即a214a250，b214b250.则a、b是方程x214x250的两个根故r1r2ab25.11已知以点p为圆心的圆经过点a(1,0)和b(3,4)，线段ab的垂直平分线交圆p于点c和d，且|cd|4.(1)求直线cd的方程；(2)求圆p的方程解：(1)直线ab的斜率k1，ab的中点坐标为(1,2)则直线cd的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心p(a，b)，则由p在cd上得ab30.又直径|cd|4，|pa|2，(a1)2b240.由解得或圆心p(3,6)或p(5，2)圆p的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.12(2012吉林摸底)已知关于x，y的方程c：x2y22x4ym0.(1)当m为何值时，方程c表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆c与直线l：x2y40相交于m、n两点，且|mn|，求m的值解：(1)方程c可化为(x1)2(y2)25m，显然只要5m0，即m5时方程c表示圆(2)因为圆c的方程为(x1)2(y2)25m，其中m5，所以圆心c(1,2)，半径r，则圆心c(1,2)到直线l：x2y40的距离为d，因为|mn|，所以|mn|，所以5m22，解得m4.1(2012常州模拟)以双曲线1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是()a(x)2y21 b(x3)2y23c(x)2y23 d(x3)2y29解析：选b双曲线的渐近线方程为xy0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r，所求圆方程为(x3)2y23.2由直线yx2上的点p向圆c：(x4)2(y2)21引切线pt(t为切点)，当|pt|最小时，点p的坐标是()a(1,1) b(0,2)c(2,0) d(1,3)解析：选b根据切线长、圆的半径和圆心到点p的距离的关系，可知|pt|，故|pt|最小时，即|pc|最小，此时pc垂直于直线yx2，则直线pc的方程为y2(x4)，即yx2，联立方程解得点p的坐标为(0,2)3已知圆m过两点c(1，1)，d(1,1)，且圆心m在xy20上(1)求圆m的方程；(2)设p是直线3x4y80上的动点，pa、pb是圆m的两条切线，a，b为切点，求四边形pamb面积的最小值解：(1)设圆m的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)根据题意，得解得ab1，r2，故所求圆m的方程为(x1)2(y1)24.(2)因为四边形pamb的面积sspamspbm|am|pa|bm|pb|，又|am|bm|2，|pa|pb|，所以s2|pa|，而|pa|，即s2.因此要求s的最小值，只需求|pm|的最小值即可，即在直线3x4y80上找一点p，使得|pm|的值最小，所以|pm|min3，所以四边形pamb面积的最小值为s222.1在圆x2y22x6y0内，过点e(0,1)的最长弦和最短弦分别为ac和bd，则四边形abcd的面积为()a5 b10c15 d20解析：选b由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是，且点e(0,1)位于该圆内，故过点e(0,1)的最短弦长|bd|22(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点e(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|ac|2，且acbd，因此四边形abcd的面积等于|ac|bd|2210.2已知两点a(2,0)，b(0,2)，点c是圆x2y22x0上任意一点，则abc面积的最小值是_解析：lab：xy20，圆心(1,0)到l的距离d，则ab边上的高的最小值为1.故abc面积的最小值是23.答案：33(2012抚顺调研)已知圆x2y24上