抛物型方程.doc

前言抛物型方程解的估计及其应用1 前言数学物理方程主要指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程属于数学物理方程的范围它以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，因此，无论在历史上还是在今天的现实生活中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要大的作用微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究早在18世纪初，人们已经将弦线振动问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中许多特定问题的解答，随着计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也可以计算出足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化(如气象预报)和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用在研究数学物理方程的同时，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多、越来越深入，形成数学中的一门重要分支偏微分方程理论它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之间引进许多有力的解决问题的工具因此，数学物理方程又是纯粹数学的许多分支和自然科学各部门及工程技术等领域之间的一个重要的桥梁2 选题背景2.1 题目类型及来源题目类型：研究论文题目来源：专题研究2.2 研究目的和意义 数学物理方程将数学与物理紧密地结合在一起，用精微的数学思想和方法应用 于实际的物理研究中，通过物理过程建立数学模型（偏微分方程），通过求解和分析模型，对实际物理过程进一步深入理解，提出解决实际问题的途径和方法而抛物型方程是偏微分方程中的一类，且在研究热传导、扩散等物理现象时都会遇到，具有巨大的理论价值，同时，抛物型方程的概念和性质也决定了它在工程数学，物理等方向的巨大实用价值研究抛物型方程解的估计及其应用，有助于我们更好的理解和掌握偏微分方程理论，并在认识和了解抛物型方程广泛的使用价值的基础上，能够探索抛物型方程更广泛的应用随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛从数学自身的角度看，抛物型方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展2.3 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向自18世纪以来，偏微分方程理论在得到广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展，如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等，并从它们之中引进许多有力的解决问题的方法关于抛物型方程的解，有经典解、广义解、数值解等方面的研究经典解在求解区域中具有方程中所出现的连续偏导数，并按通常意义满足方程与定解条件，也就是 第 29 页 (共 30 页)热传导方程的一些知识说，将解代入方程及定解条件后即可使其化为恒等式求经典解的方法有分离变量法、Fourier变换法经典解容易理解，且应用方便，但实际求解抛物型方程的定解问题热传导方程的一些知识时，往往不一定能得到经典解于是就提出了广义解1的理论，即先寻求一个正则性较低的函数（广义解），它按较弱的意义满足方程与定解条件，然后再进一步证明这个函数实际上就是原来问题的经典解广义解可按逼近过程来定义，也可按分部积分的方法来定义由于抛物型方程的广义解是在“较差”的函数类中寻求相应定解问题按拓广意义下的解，因而又提出了广义函数的概念、性质、应用等方面的研究在实际求解抛物型方程的定解条件时，除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外，在一般的情况下，当方程或定解条件具有比较复杂的形式，或求解区域具有比较复杂的形状时，往往求不到或不易求到其精确解，我们就只得去寻求抛物型方程定解问题的近似解，特别是数值近似解，于是就有了抛物型方程数值解的理论研究求抛物型数值解的方法主要有：有限差分法、有限元素法随着社会文明的发展，我国与其它国家的文化交流沟通很全面，偏微分方程的研究方向基本上也是一致的在微分方程定性理论中有着重要应用的时滞积分不等式以及在差分方程定性理论中有重要应用的时滞离散不等式和关于时间尺度的动力方程理论，在研究了抛物型方程及抛物型方程系统、双曲型方程及双曲型方程系统的强迫振动性理论以及某些时滞脉冲偏微分方程在特定边值条件下解的振动的若干充要条件和多时滞脉冲抛物型微分方程系统解的强迫振动性，推广了已有的结果，建立了若干新定理，促进了偏泛函微分方程理论的发展，并主要创新提出并建立了偏泛函微分方程系统的强迫振动性理论以及具有连续分布变元的双曲型偏泛函微分方程系统和抛物型偏泛函微分方程系统的振动性理论；获得了变系数抛物型偏泛函微分方程解的振动的若干充分必要条件和时滞脉冲抛物型微分方程解的振动的若干充分必要条件和多时滞脉冲抛物型微分系统解的强迫振动性；研究了时滞积分不等式理论和关于时间尺度的动力不等式理论这些理论的建立，为偏泛函微分方程理论和积分不等式理论的进一步发展起到了非常大的促进作用3 热传导方程的一些知识3.1 热传导方程的导出若物体内各点的温度不相同，则其热量就会从温度较高的地方向温度较低的地方传递，这就是常说的热传导现象由于热量的传递，所以物体内温度随时间和点的位置不同而不同，因此热传导问题可归结为研究物体内部的温度分布情况下面我们考察一个均匀的、各向同性的物体在内部的温度变化规律设以表示物体在内任一点处在时刻的温度在内任取一小块区域，使，并且其边界是光滑的闭曲面，上面积元素的单位外法向量记作根据传热学中的傅里叶实验定律2，物体在无穷小时段内，从内经过流出的热量与时间，流经面积以及温度沿的外法向量的方向导数成正比，即 其中是物体的热传导系数，上式中的负号表示热流的方向与温度梯度的方向相反（因为热量总是由温度高处流向温度低处），因此从时刻到时刻经过流入内的全部热量 若物体内有热源，且热源强度为（即在时刻点处的单位面积在单位时间内发出的热量），则在内，从热源上吸收的热量为 另一方面，在内，内温度从升高到所需吸收的热量为 其中为物体的比热，为物体的密度根据能量守恒，有 定解问题的求解若关于具有二阶连续偏导数，则由高斯公式得 这里 是laplace算子，若关于具有一阶连续偏导数，则由Newton-Leibniz公式有 因此有 由于时间段及区域是任意取定的，并且被积函数是连续的，则 其中，并且当时，表示内有热源；当时，表示内有冷源（即热汇）在适当情况下，方程中描述空间坐标的独立变量的数目还可以减少例如当物体是均匀细杆时，假如它的侧面是绝热的，也就是说不产生热交换，又假定温度的分布在同一截面是相同的，则温度函数仅与坐标及时间有关，我们就得到一维热传导方程同样，如考虑薄片的热传导，薄片的侧面绝热，可得二维热传导方程 3.2 定解问题的提法方程描述的是同类物理现象的共性，但是每一具体的物理现象都是处在各自特定条件之下的，这就需要我们把它所处的特定条件也用数学形式表达出来，我们称这些特定条件为定解条件定解条件分为初始条件和边界条件初始条件是说明初始状态的条件，边界条件是描述边界状态的条件，边界条件可分为三类，第一类边界条件（又称Dirichlet边界条件）是直接给出未知函数在研究区域的边界上的值；第二类边界条件（又称Neumann边界条件）是在上给出未知函数沿沿外法方向的方向导数；第三类边界条件（又称为Robin条件）是在边界上给出未知函数及其沿的外法方向导数的某种线性组合的值从物理学角度来看，如果知道了物体在边界上的温度状况（或热交换状况）和物体在初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后时刻的温度因此热传导方程最自然的一个定解问题就是在已给的初始条件与边界条件下求解问题的解初始条件的提法显然为其中为已知函数，表示物体在时的温度分布第一边界条件：在中的有界区域的导热问题中，若的边界处于恒温的环境下，则边界条件为 若边界温度按已知规律变化，则 第二边界条件：若热量在边界曲面各点的流速为，则由Fourier定律，边界条件可写成 其中，若，则，此时称之为绝热边界条件第三边界条件：如果物体内部与周围的介质通过边界有热量交换，物体外介质的温度为，物体表面的温度为，内外两种介质间的热交换系数为，根据Newton定律，从物体内部流到外部的热量与两介质间的温度差成正比，即有 另一方面，由Fourier定律3，在时间间隔内从边界曲面上面积元流出的热量为 从而有 即定解问题的求解 其中 ， 4 定解问题的求解4.1 初值问题的求解我们可以利用傅里叶变换来求解热传导问题的初值问题其思想是把原函数变换到另一类函数中去，经过变换，使热传导方程变为常微分方程，从而可以找出一个解，再经过Fourier的逆变换，得到原热传导方程的解 （1）视为参数，先求解齐次热传导方程的初值问题 （2）对进行Fourier变换，记，在（1）式两边关于进行Fourier变换，原问题变为 （3）（2）式是带参数的常微分方程的柯西问题，它的解为 （4）函数的Fourier逆变换4为 令解得 又 则有定解问题的求解由（4）可得初值问题（2）的解为 （5）再求解非齐次热传导方程具有齐次初始条件的柯西问题 （6）由齐次化原理5，此柯西问题的解可写为 而为下述柯西问题的解： 于是，利用（5）式，易知柯西问题（6）的解为 （7）由叠加原理6，由（5）及（7）就得到柯西问题（1）的解为 在上面的推导中，由于预先不知道是否满足进行傅里叶变换及有关计算的条件，所得的解还只是形式解为证明上式确实是柯西问题（1）的解，还得进行验证4.2 初边值问题的求解热传导方程的初边值问题 （8） （9） （10）令 （11）并要求它满足齐次边界条件（9），这里及分别表示仅与有关及仅与有关的特定函数将（11）代入方程（8）中，得到 （12）将上式分离变量，有 （13）由于在（13）式中，左边仅是的函数，右边仅是的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能记次常数为（其值待定），就得到 （14） （15）这样方程（13）就被分离为两个常微分方程，其中一个含有自变量，另一个仅含有自变量，我们可以通过求解这两个方程来决定及，从而得到方程（8）的特解（11）为了使此解是满足齐次边界条件（9）的非平凡解，就必须找到方程（8）满足边界条件 （16）的非平凡解方程（15）的通解随，以及而不同，下面分三种情况讨论：抛物型方程解的估计及其应用情形1 当时，方程（15）的通解可写成 要使它满足边界条件（16），就必须 由于 只能故在的情况得不到非平凡解情形2 当时，方程（15）的通解可以写成 要满足边界条件（16），也只能恒等于零情形3 当时，方程（15）的通解具有如下形式： 由边界条件知，再由 可知，为了使，就必须于是 这样就找到了一族非零解 将固有值代入方程（14）中，可得到其通解为 这样就得到方程（8）的满足齐次边界（9）的下列分离变量形式的特解： 现在我们设法作这种特解的适当的线性组合，以得出初边值问题的解，也就是说，要决定常数使 （17）满足初始条件（10）故由初始条件（10）应有 由于 在上正交，因此，是在区间中正弦展开的傅里叶级数的系数，即 （18）故 （19）是用级数形式表示的初边值问题的形式解为了考察由分离变量法得到的形式解是否是混合问题的经典解，还得进行验证当，且，是有界函数，（18）式确定的函数是混合问题的解分析：在求解过程中，级数（17）中的每一项都满足方程（8），因此只要证明级数（17）可以逐项求导两次就好了也就是说，如果证明了级数（17）求导两次后仍是一致收敛的，那么它一定满足方程（8），此时边界条件（9）和初始条件（10）的满足也是显然的推论了证明：由于式（19）中含有因子，因此对于任意，当时，对任意的，级数均是一致收敛的，而由是有界函数的假设（），可得故（19）式中列举的所有级数是一致收敛的，因而，由式（19）表示的级数，当时，关于及是无穷次可导的，并且求导与求和可以交换由于级数的每一项都满足方程（8）及边界条件(9)、(10)，从而式（19）式表示的级数在时确实满足方程及边界条件当加上条件时，当时，对任意，由式（19）抛物型方程解的估计及其应用给出的级数趋于初值，即得到式（19）给出的级数确实是初边值问题（8）（10）的经典解5 抛物型方程解的估计及其应用先验估计是偏微分方程理论研究中的一个常用的方法其特点是在假设定解问题解存在的前提下导出解所应当满足的估计，而常用的估计有最大模估计7，能量估计8等等一般地，我们可以根据先验估计得到定解问题解的唯一性和稳定性，并且可结合其他一些分析方法推导出解的存在性，此外，作为对解的一种估计，先验估计还可能提供关于解的某种性态（如有界性等）方面的信息5.1 极值原理考虑热传导方程 其中，的侧边和底边统称为的抛物边界，记作，即在热传导过程中，如果物体内部无热源，则热量总是由温度高处向其它地方扩散，而温度最低处的温度会逐渐上升因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到这就是热传导方程的“极值原理”定理 1（弱极值原理） 设函数满足（1） 若，则在上的最大值必在抛物边界上达到，即 （2） 若，则 （3） 若，则 ， 同时成立，这里表示在内关于二次连续可微，且关于一次连续可微的函数全体证明：（1）不妨先考虑情形反设存在点，使得 则在该点处，（如果，则；如果，则）因此 ，这与的假设相矛盾故不能在内达到最大值，从而有 当 时，设法将其转化为前面的情形为此构造辅助函数 其中是任意小的正数因为 所以 于是 令，得 （2）若，则对应用情形（1）的结论即可（3）结合前面两种情况，若，则在的上的最大值与最小值都在抛物边界上达到下面我们将弱极值原理推广到稍一般的热传导方程 定理 2 函数满足，则在上的正最大值必在抛物边界上达到，即 由于其证明与定理1的证明方式类似，这里不再赘述定理3 设，其中为正常数若函数满足，且，则必有 证明 令，则满足方程 由于，根据定理2，得 因此结论得证利用定理3，不难得到下列推论：推论1（比较原理） 设，又设，且，则对任意的，有 5.2 初边值问题解的最大模估计设是中的有界开集，记，这里的称为的抛物边界我们先在中研究抛物型方程 记 考察第一初边值问题 （20）定理4 设是问题（20）的解，则其中，证明 令，与作比较因为 ， ， ， 由比较原理知，即 推论2 第一初边值问题（20）的解在函数类中是唯一的，且连续地依赖于，和证明 当时，对应的解满足，故，从而解是唯一的假设是对应于的解，则是对应于的解于是 所以当与充分接近时，与也充分接近，这说明问题（20）的解连续地依赖于，和现在考察第一初边值问题 （21）定理5 设，是问题（21）的解，则 其中，证明 不妨认为，令，与作比较因为 ， ， 由比较原理知，即5.3 初值问题解的最大模估计记，考察初值问题 (22)设连续，和有界，记 ， 如果是初值问题（22）的解，则 证明 令，则满足 （23）其中，由于解得先验估计方法不能直接用于初值问题，我们希望借助于一个有界区域上的初边值问题进行讨论，任意取定较大的常数，记因为解有界，所以存在正常数使得在上成立，在有界区域上考虑辅助函数直接计算知，在上满足利用比较原理知，在上成立对于内的任一点，取充分大使得，于是 即令得从而由的任意性知，估计式（23）成立推论3 初值问题（23）的解在函数类中是唯一的，且连续地依赖于，由于其证明与推论3的证明方式类似，这里不再赘述.5.4 初边值问题的能量估计设是中的一个光滑区域，在上考察第一初边值问题 （24）定理6 设是问题（23）的解，则存在正常数使得 （25）证明 问题（24的方程两边乘以并在上积分，得 （26）对（26）式左端第一项中关于的积分利用分部积分以及初值条件，可知 （27）对（26）式左端第二项关于的积分利用散度定理以及边界条件，推出 （28）将（27）式和（28）式代入（26）式，得 （29）利用不等式可知 将上式代入（29）式，得 （30）记 ，那么不等式蕴含 利用Gronwall不等式9推出 将上式代入（30）式知此式两边关于在上取上确界，就得到估计式（25）.下面我们将讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题设为中的有界区域，且有光滑边界，在区域中讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题 （31） （32） （33）解的性质式中，为区域的侧边界；为方便讨论，作如下假设：（1） 系数、及右端项都是上的连续函数，并且在上还具有一阶连续偏导数（2） 对一切；且存在正常数，使得对一切及任意给定的实向量，有：成立对于初边值问题的解，定义能量函数： （34）定理7 若为初边值问题（31）（33）的解，能量函数按式（34）定义，则能量估计式： （35）成立其中，为一个不依赖于的正常数证明 用乘以式(31)，并在上关于积分，就得到： (36)式左端的第一项可以写成；当时，记为侧边界法向量的方向角，为广义面积微元令，固定，让，利用高维高斯公式10，并注意边界条件（它隐含着），边界积分项为零，可得 故对固定的，有： (37)成立，对式(37)关于从到求和式（36）左端的第二项可以写成： （38）将上式的第二项，连同式右端的第三、四项移至等式右边，并将其和记为则有 则由于系数的可微性假设（1）可得，对一切成立 （39）其中为一个不依赖于的正常数，但与无关对任意给定的，有 （40）取，由式（40）就得到 （41）其中，将式（41）代入式（36），容易得到 （42）再注意到由假设（2）有就可得到 （43）其中在式（43）两边乘以再对积分，并放大被积函数，即可得 定理证毕5.5 能量不等式的应用5.5.1 初边值问题解的唯一性热传导方程是抛物型方程的典型代表下面考虑二维热传导方程的初边值问题 （44） （45） （46）这里，表示的边界，应用能量不等式可得如下定理定理8若热传导方程的初边值问题的解存在，则其解唯一证明设，是该定解问题的两个解，则其差满足相应的齐次方程及齐次初始条件和齐次边界条件此时的齐次方程满足假设（1）、（2），有（34）式定义的能量函数知，在初始时刻有，故由能量不等式（35）得：即，从而可推出又由于在初始时刻，故得即这样就证明了初边值问题（44）（46）解的唯一性5.5.2 初边值问题解的稳定性为了记号简单起见,对于定义在区域上的函数和定义在区域上的函数,常以和分别表示和定理9热传导方程的初边值问题：的解，在下述意义下关于初始值与方程右端项是稳定的：对任何给定的，一定可以找到仅依赖于和的，只要 (47)那么以为初值、为右端项的解与以为初值、为右端项的解之差在上满足 （48） 证明记，则满足 （49） （50） （51）方程（49）满足假设（1）、（2），从而利用能量不等式（35），可得： （52）式中，为一个仅依赖于的正常数记 则 用乘上式两端得再从到积分，并放大被积函数，利用式（52），就得 （53）解的渐进性估计式中，为一个仅依赖于的正常数结合式（52）与式（53），就得到 （54）式中，为一个仅依赖于的正常数对任何给定，取，则仅依赖于和由式（54），只要式（49）成立，就有即类似地可证明其他情况6 解的渐进性估计6.1 初边值问题解的渐进性态先讨论初边值问题（8）（10）由4.2节的讨论，当初始函数满足，且，我们用分离变量法得到了一个用级数表示的经典解 （55）其中 （56） （57）定理10 假设初始函数满足，且则当趋于无穷时，问题（8）（10）的唯一经典解指数衰减地趋于零，确切地说，当时，对一切 （58）其中为一个与解无关的正常数证明 由前面的讨论，唯一的经典解由（56）式给出由（57）式可知，对一切， （59）其中为仅与的最大模有关的常数由（57）知，当时，故有另一方面，由指数函数的性质可知，当，对一切成立 其中为一个与无关的正常数于是当时，对一切，成立 证毕6.2 初值问题解的渐进性态由4.1节的讨论可知，当为有界连续函数时，热传导方程的初值问题 （60） （61）的唯一解由下列积分给出 （62