北一女中数学挑战甄选试题(.pdf

北 一 女 中 數 學 挑 戰 甄 選 試 題 第二期 90 10 12 1 證明 任意正整數 n 如果 3n 1 與 4n 1 都是完全平方數 則 n 是 56的倍數 2 設函數 f 為定義於 0 1 區間上的實值函數 即 f A R A x 0 x 1 若 f 滿足下列兩條件 1 f 1 1 且 f x 均為非負實數 2 任意0 0 ba 且1ba 不等式 bfafbaf 恆成立 試證 xxf2 CFBEAD 為三高 而 D E F 分別為 ABCABC 上的垂足 且 M 為 AB邊上的中點 又 AB與ED兩直線的交點為 G 若圓 1 O 圓 2 O分別為CDE 與DFG 的外接圓 證明 1 MD是圓 1 O與圓 2 O的公切線 2 CMGH 其中 H 為ABC 的垂心 4 已知ABC 的三條角平分線CFBEAD 分別交ABCABC 三邊於 D E F 求DEF 與ABC 的面積比之最大值 並求有最大值時之條件 5 任意三角形 ABC 以ACAB 兩邊為邊各自向外作一正方形 若P Q兩點分別是 兩正方形的中心 且 R 為BC的中點 則PQR 為等腰直角三角形 試證明之 註 請於 11 月 5 日前將書面報告交至數學挑戰甄選研發小組信箱 北一女 挑戰甄選 第二期 參考答案 1 只要能證明 n 被 7 8 整除即可 A 先證 n 是 8 的倍數 因為 4n 1 3n 1 均為完全平方數 令 4n 1 a2 3n 1 b2 Zba 我們可知當 a2 4n 1 時 8 mod1 2 a 因此 8 4n 即可知 n 為偶數 可由 b2 3n 1 可知 b 為奇數 且 8 mod1 2 b 再者 ba n 22 可得 8 n B 再證 n 是 7 的倍數 由 A 中 可得 4n a 1 a 1 亦可得 a 1 a 1 均為偶數 令 a 1 2c 則 1 2 1 ac為整數 可得 1 1 2 1 1 2 1 ccaan 1 另一方面 3n b 1 b 1 可知 b 1 與 b 1 中至少有一個為 3 的倍數 i 若 b 1 3k Zk 則可得 n k 3k 2 2 由 1 與 2 得 n c c 1 k 3k 2 亦即 4c c 1 4k 3k 2 181214 4 22 k k c c 16 12 12 2 kkc 又 2k 1 6k 1 的最大公因數為 1 即兩者互質 所以 2k 1 與 6k 1 必均為 完全平方數 ii 若 k 1 3k Zk 同 i 可推得 2k 1 與 6k 1 均為完全平方數 但我們可知 6k 1 不可能為完全平方數 所以 ii 是不可能的 亦即 i 的情況必成立 亦即 2k 1 與 6k 1 必均為 完全平方數 檢驗 k 被 7 除的餘數 可得到7 mod0 k或7 mod4 k 對這兩種情況而言 7 mod0 23 kk亦即 n 必為 7 的倍數 由 A B 的證明可知 n 必為 56 的倍數 2 由已知 1 2 可得 2 1 2 2 1 2 1 1 1fff 即 2 1 2 1 f 利用歸納法易得 任意正整數 n 2 1 2 1 nn f 接著當ba 時 bfbfbafbbafaf 所以可知 f 為增函數 因此 當任意實數 1 0 x 我們可找到 一個自然數 n 使 2 1 2 1 1nn x 則可得xfxf nn 2 2 1 2 1 此命題得證 3 證 1 設 H 為 ABC 的垂心 易知 C D H E 四點共圓 此圓即圓 O1 又 ADB 為 直 角 三 角 形 且 M 為 中 點 所 以DMAM 即 ABCDAMADM 度90 因此BCFADM 所以MD為圓 O1的切線 以 D 為切點 又另一方面FDBMDBMDF 又MBMD 所以MBDMDB 而且BDGCDE 且FDBCABCDE 因為FBDABCCDE 相似 所以 MBDFDBMBDMDFBGDBDG 而MGDBDG 因此MGDMDF 所以DFGMD 為的外接圓的切線 即為MD為圓 O2的切線 亦即為MDO1 O2兩圓的公切線 2 設 O1與CM交於 L 由圓冪定理可知MGMFMDMCML 2 亦即 F G C L 四點共圓 因此度90 CFGCLG 所以CMCL 又 L 在圓 C1上且CH為圓 C1直徑 所以CMHL 亦即為HLGH 同一直線 因此CMGH E A B F M D H G C 4 令bCAaBCcAB 對而言AEF ba b AB AF ca c AC AE 所以 baca bc ABC AEF 同理可得 cbab ca ABC BDF acbc ab ABC CDE 因此可得 1 accb ab cbba ca acba bc ABC DEF 1 accbba baabaccacbbc 2 accbba abc 又由算幾不等式可得 abba2 bccb2 caac2 即abcaccbba8 所以 4 1 2 accbba abc 即 4 1 最大值 ABC DEF 又當 a b c 時 等號成立 即為正三角形ABC 時 有最大面積DEF A C D B E F 5 證明 利用幾何變換證明 設rx表示以 X 為中心逆時針旋轉 90 度的變換 則可推得 rr yxo 是以線段XY的 中點為中心的反射變換 因此 如上圖 rr Qpo 將點 A 變換到 C 然後再變換 到 B 的合成變換 所以 rr