高中数学 第一讲 线性变换与二阶矩阵（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用课件 新人教A版选修42.ppt

二 一些重要线性变换对单位正方形区域的作用 内容 线性空间的一般概念重点 空间结构和其中的数量关系线性变换重点 其中的矩阵处理方法特点 研究代数结构 具有线性运算的集合 看重的不是研究对象本身 而是对象之间的结构关系 研究的关注点 对象之间数量关系的矩阵处理 学习特点 具有抽象性和一般性 一 集合与映射集合集合 作为整体看的一堆东西 集合的元素 组成集合的事物 设s表示集合 a表示s的元素 记为a s读为a属于s 用记号a s表示a不属于s 集合的表示 1 列举法 2 1 1线性空间 linearspaces 例如空集合 不包含任何元素的集合 记为子集合 设表示两个集合 如果集合都是集合的元素 即由 那么就称的子集合 记为 相等 即 2 特征性质法 3 集合的交 集合的并 集合的和 例如 数域数域 是一个含0和1 且对加 减 乘 除 0不为除数 封闭的数集 4 例如 有理数域q 实数域r 复数域c 映射映射 设s与s 是两个集合 一个法则 规则 它使s中的每个元素a都有s 中一个确定的元素a 与之对应 记为称为集合s到s 的映射 a 称为a在映射下的象 而a称为a 在映射 下的一个原象 5 变换 s到s自身的映射 例如 将方阵映射为数将数映射为矩阵可看成变换 其中相等 设都是集合s到的映射 如果对于都有 则称相等 记为 6 乘法 设依次是集合s到 的映射 乘积定义如下是s到的一个映射 注 是的映射 二 线性空间的概念线性空间 集合 两种运算 所成完美集合 exampler3 x x1 x2 x3 t xi r 空间中所有向量 定义向量的加法 数与向量的乘积 运算封闭八条运算律成立 线性空间 集合 两种运算 所成完美集合 definition 线性空间或向量空间 要点 集合v与数域f向量的加法和数乘向量运算 运算之后的结果跑不出去 八条运算律 能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美 常见的线性空间 fn x x1 x2 xn t x f 运算 向量加法和数乘向量fm n a aij m n aij f 运算 矩阵的加法和数乘矩阵rm n cm n f t n f x a0 a1x a2x2 an 1xn 1 ai r 运算 多项式的加法和数乘c a b f x f x 在 a b 上连续 运算 函数的加法和数乘example v r f r a b ab a a f r或c 不是线性空间的集合 v x x1 x2 1 t xi r 运算 向量加法和数乘向量要证明一个集合不是线性空间 定义中有很多漏洞可以攻击 线性空间的一般性的观点 线性空间的简单性质 共性 1 v中的零元素是惟一的 2 v中任何元素的负元素是惟一的 3 数零和零元素的性质 0 0 k0 0 k 0 0或k 0 4 1 数0 向量0 三 向量组的探讨 review 向量的线性相关与线性无关 向量 可由 1 2 s线性表示 其工作可由多人合力完成 向量组 1 2 s线性无关任何一个向量不能由其余向量线性表示要使k1 1 k2 2 ks s 0 只有系数都为0向量组 1 2 s线性相关其中一个向量可以由其余向量线性表示要使k1 1 k2 2 ks s 0 必须有非零系数 三 向量组的探讨 review 向量组的极大线性无关组 1 2 s为向量组a的一个部分组 精英组合 满足向量组 1 2 s线性无关 彼此工作不可替代 任意a的向量可以由 1 2 s线性表示 公司的任何人的工作可由精英组合完成 向量组的秩 rank 最大无关组中向量的个数 四 线性空间的基和维数 抽象的线性空间的元素称之为向量 vector 所有的线性空间中的向量的线性相关性定义和rn一样 定义形式和向量空间rn中的定义一样 有关性质与定理和rn中的结果一样 因此 要研究线性空间 只需要研究它的最大线性无关组 即为基 basis 四 线性空间的基和维数 基 basis 线性空间的极大无关组 维数 dimension 基中向量的个数 常见线性空间的基与维数 fn 自然基 e1 e2 en dimfn nrm n 自然基 eij dimrm n m n f t 3 自然基 1 t t2 dimf t 3 3c a b 1 x x2 x3 xn 1 c a b dimc a b 约定 本书主要研究有限维线性空间 五 坐标 坐标的来历 设 1 2 n 是空间v的一组基 v 可以由基 1 2 n唯一线性表示 x1 1 x2 2 xn n则x1 x2 xn是 在基 i 下的坐标 例1 求r2 2中向量在基 eij 下的坐标 要点 坐标与基有关坐标的表达形式 例2设空间f x 4的两组基为 1 x x2 x3 和 1 x 1 1 x 1 2 x 1 3 求f x 2 3x 4x2 x3在这两组基下的坐标 归纳 有了基 就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个实际的元素对应起来 从而将抽象具体化进行研究 例3设r2 2中向量组 ai 1讨论 ai 的线性相关性 2求向量组的秩和极大线性无关组 3把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合 六 基变换和坐标变换 讨论 不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系1基变换公式设空间中有两组基 过渡矩阵c的性质 c为可逆矩阵c的第i列是 i在基 i 下的坐标 则 过渡矩阵 2坐标变换公式 已知空间中两组基 满足 讨论x和y的关系 x cy 例已知空间r中两组基 i eij ii 求从基 i 到基 ii 的过渡矩阵c 求向量在基 ii 的坐标y 例1 1 8p8 线性空间v与fn的同构 坐标关系vfnv的基 1 2 n 由此建立一个一一对应关系 v x fn x 1 2 1 2 k k 在关系 下 线性空间v和fn同构 同构的性质 定理1 3 v中向量 1 2 n 线性相关 它们的坐标 x1 x2 xn 在fn中线性相关 同构保持线性关系不变 应用 借助于空间fn中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系 1 2子空间 概述 线性空间v中 向量集合v可以有集合的运算和关系 wi v w1 w2 w1 w2 问题 这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间 1 子空间的概念 定义 设非空集合w v w 如果w中的元素关于v中的线性运算为线性空间 则称w是v的子空间 判别方法 importanttheoremw是子空间 w对v的线性运算封闭 子空间本身就是线性空间 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法 子空间和非子空间的例子 v x x1 x2 0 r3 v x x1 x2 1 r3 矩阵a rm n 齐次线性方程组ax 0的解集合 s x ax 0 rn 非齐次线性方程的解集合 m x ax b rn 重要的子空间 生成子空间设向量组 1 2 m v 由它们的一切线性组合生成的子空间 span 1 2 m l 1 2 m k1 1 k2 2 km m ki 生成子空间的重要的性质 1 如果 1 2 m线性无关 则其为生成子空间span 1 2 m 的一组基 2 如果 1 2 r是向量组 1 2 m的最大线性无关组 则 span 1 2 m 1 2 r是span 1 2 m 的一组基 2 子空间的 交空间 与 和空间 讨论 设w1 v w2 v 且都是子空间 则w1 w2和w1 w2是否仍然是子空间 1 交空间交集 w1 w2 w1而且 w2 vn f w1 w2是子空间 被称为 交空间 2 和空间和的集合 w1 w2 x1 x2 x1 w1 x2 w2 w1 w2 w1 w2 w1 w2是子空间 被称为 和空间 w1 w2不一定是子空间 w1 w2 w1 w2 例设r3中的子空间w1 l e1 w2 l e2 求和空间w1 w2 比较 集合w1 w2和集合w1 w2 如果w1 span 1 2 m w2 span 1 2 k 则w1 w2 span 1 2 m 1 2 k 3 维数公式 子空间的包含关系 dimw1 w2 dimwi dimw1 w2 dimvn f 维数定理 dimw1 dimw2 dim w1 w2 dim w1 w2 证明 4 子空间的直和 分析 如果dim w1 w2 0 则dim w1 w2 dimw1 dimw2所以 dim w1 w2 dimw1 dimw2 dim w1 w2 0 w1 w2 0 直和的定义 若dim w1 w2 0 则和为直和w w1 w2 w1 w2 子空间的 和 为 直和 的充要 条件 theorem设w w1 w2 则下列各条等价 1 w w1 w2 2 x w x x1 x2的表是惟一的 3 w中零向量的表示是惟一的 4 dimw dimw1 dimw2 例p131 2 6 例设在rn n中 子空间w1 a at a w2 b bt b 证明rn n w1 w2 1 3线性变换 lineartransformations 一 线性变换的概念线性变换的来历 definition i t是v上的映射 t v v ii t具有线性性 t t t 保持加法的三角形法则 t k kt 保持比例关系 2线性变换的性质 i t 0 0 ii t t iii 3线性变换的象空间和零空间设线性变换t v v 象空间im t v t 零空间ker t v t 0 定义 t的秩 dimr t t的零度 dimn t 线性变换保持线性相关性不变 例 p018 rn中的变换t 设a rn n是一个给定的矩阵 x rn t x ax 1 t是线性变换 2 ker t 是ax 0的解空间 3 im t span a1 a2 an 其中a1是矩阵a的列向量 4 dimker t dimim t n 4线性变换的运算设t1 t2都是空间v中的线性变换 常见的用它们构成的新的变换 i t1 t2 v t1 t2 t1 t2 ii t1t2 v t1t2 t1 t2 iii kt v kt k t iv 若t 1是可逆变换 t 1 t 1 当且仅当t 定义 二 线性变换的矩阵 1线性变换的矩阵与变换的坐标式purpose 将抽象的线性变换与矩阵对应起来 t的矩阵 二 线性变换的矩阵 1线性变换的矩阵与变换的坐标式v上线性变换的特点分析 定义变换t 确定基中向量的象t i 定义t i 确定它在基下 i 的坐标ai 定义变换t 确定矩阵a a1 a2 an 例已知定义映射t 1 证明t是v上的线性变换 2 求v的一组基 并求t在这组基下的矩阵 2线性变换运算的矩阵对应 设v上的线性变换t1 t2 它们在同一组基下的矩阵 t1 a1 t2 a2 i t1 t2 a1 a2 ii t1t2 a1a2 iii kt ka iv t 1 a 1 3不同基下的变换矩阵两组基 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n ct 1 2 n 1 2 n at 1 2 n 1 2 n b 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的 b c 1ac 1 2 3 例 p025 例1 4 6 例设单位向量u 2 3 2 3 1 3 定r3上的线性变换p x x x u u 求p在自然基 e1 e2 e3 下的变换矩阵 求p在标准正交基 u u2 u3 下的变换矩阵 2 1内积与欧氏空间innerproduct euclidianspaces 内积的作用 研究高维空间中的几何问题 1example r3上的内积定义2内积的公理化定义definition 要点 内积 是二元运算 v v r 的公理性质 是任何满足定义的运算 讨论 1 2 k 3常见的内积空间 rn remark 对于同一个线性空间 可以定义不同的内积成为不同的欧氏空间rm n 4向量的长度定义 5欧氏空间中向量的夹角 定义 0 0 夹角 定义为 cos 性质 k k 三角不等式 cauchy不等式 v 和 正交 0 6线性空间的内积及其计算 设 1 2 n 是内积空间v的基 v 则有 x1 1 x2 2 xn n 1 2 n x y1 1 y2 2 yn n 1 2 n y yhax 定义内积 在一个基 1 2 n 中定义内积 定义一个度量矩阵a 度量矩阵a 度量矩阵的性质 2 2标准正交基orthogonalbasis 1正交的向量组 定义 1 2 n 为正交组 i j 0性质 不含零向量的正交向量组线性无关 2标准正交基基 1 2 n 是标准正交基 i j 要点 是基 两两正交 每一个向量是单位向量 标准正交基的优点 度量矩阵是单位矩阵 即a i 1 2 n x 1 2 n y yhx x1 1 x2 2 xn n xi i 和 正交 其坐标x和y正交 坐标空间fn的内积 标准正交基的存在性 求标准正交基的步骤 schmidt正交化标准化 例已知 1 证明 x y 是v上的内积 2 求w的一组标准正交基 2 4正交补 定义 设w u是实内积空间v的子空间 1 a v 若 b w 都有 a b 0 则称a与w正交 记作a w 2 若 a w b u 都有 a b 0 则称w与u正交 记作w u 3 若w u 并且w u v 则称u为w的正交补 注意 若w u 则w与u的和必是直和 52 正交补的存在唯一性 定理 设w是实内积空间v的子空间 则w的正交补 存在且唯一 记该正交补为 并且 53 定理 设w是实内积空间v的有限维子空间 则 向量的正投影 定义 设w是实内积空间v的子空间 则称向量b为向量a在w上的正投影 称向量长度 g 为向量a到w的距离 垂线最短定理 定理 设w是实内积空间v的子空间 a v b为a在w 上的正投影 则