用弛豫近似法计算气体的输运系数.pdf

1 2卷 第2期 19 93年2 l 大学物理 C OL L EGEPH Y SICS Vol 12 No 2 Feb 1993 用弛豫近似法计算气体的输运系数 武汉大学物理系 武汉 熊吟涛 彭菊村 2 4 30 07 2 2 孝感师范专科学校物理系 湖北孝感 432 1 0 0 摘要 本文 用弛像近似法求解玻耳兹受方程 求 得了非平衡德定态的 分布函数 然后利用此分 布函数 计葬气体的拈带系数 导热率和扩傲系数 并将所得结 果 与初级理论的结 果和较严格的数学理论的结果进行 比较分析 结果表明 弛像近 似是一 种较好的近似 且计葬过程很简单 D D 一 2 几 l 1一 3 凡干不不刃 百丙不元j不寸 丽而而一 一 6 引言 输运过程的初级 理论 主要应用 了自由程的概念 并假设局域麦克斯韦分布可作为第一级近似 基于一 次碰撞同化假设 是初级理论中最主要的假设 及其它 一系列假设 从 而得到输运过程的三个系数 少 户 且 了 妞 了 气 一 合 n 丽 一 合 热传导系数 一 合 n 耐 一 c t 5 式中已应用 了单原子分子的比热 几 3 k左m 若取 更一般的形式 又 切 C 则 的取值为2 5一2 52 2 前 者是麦氏气体情形 取分子排斥能与 r一4 成正比 后 者是冈蛛模型的数值 即 5 式的结论 6 试中 是尸与 n l n 2 有关的数 取值为 一 0 1 3 En skog 和Chapm a n 的结果虽与实验符合得很好 但其计算太繁 如果能用一种简单的方法而又得到较 好的结果 显然是有意义的 我们知道 弛豫近似法对于金属中电子气的输运 过程给出了良好的结果 因此 我们期望应用 弛豫近 似法研究一般气体的输运过程也能取得较好的收效 二 粘滞系数和导热率 扩散系数 D D 1 2二 几l 门 卫舀 远丈 卫尽 3 3Ln 一 nZ 1 非平衡态的分布函数气体在无外力场作用下 处于非平衡态时 其分布函数由玻耳兹曼方程确定 初级理 论的结果只在定性上与实验相符 定量上 误差很大 其原因是 输运过程是非平衡过程 麦氏 分布不适用 因此 要解决输运过程问题 必须从确 定非平衡态的分布函数着手 根据普遍的输运公式进 行计算 即由非平衡状态的分布函数求微观量的统计 平均值 En skog和chapm a n 通过求解线性化玻耳兹 曼方程确定了非平衡态的分布函数 从而求得了输运 系数的以 一卜 结果1 2 1 亏 一 499应 一 粤厕 1 49 6 4 一 一 r 一 3 r 一 一 一 少 1 025 x 7 5 6 4 x 汤n I k 厚 J 上 二 谬 以 1二 J 了了 创萦 v二 瓮 十v y 旗 扮 炭 l考二 7 击 一 叙 一夕 即 一 击 由 c 在弛豫近似下 由分子碰撞所引起的分布函数的碰撞 变化率与对平衡分布f 0 的偏离成正比 斋 c 一 嘿 8 是弛豫时间 粗略地说即是系统恢 复到平衡所需 的时间 一般是速度 v 的函数 如果气体处在非平衡的稳定态 且只在 x 方向具 有不均匀性 则 0 49 9P朴IC x 2 522 5 李 一 享 一 享 一 刀l 即 口z 于是方程 7 简化为 由此得气体的热传导系数为 由此得到 二 斋一书竺 一 斋 一 厂 合 二斌 豁 d 一 5 n 7 三 生 19 在一级近似下 1 0 式右方的f可用f 0 代替 利用下 I万 万 了 百不于轰石 则 r r 立竺 伙 刁 x 9 10 则 1 1 5 一 一 一 一 凡 万 V Z 从叼 kT 加 u 脚 与x 沉 2 粘滞系数粘滞系数在有的统计物理教材中 已讨论过 设气体沿y方向流动 宏观流速与是 x 的 函数 从如下局域平衡的分布函数 3八r f 一 又 碳旨夕 二p 定 一 命 圣 弓一场 子 20 和 l 1 式比较可以看出 此结论 与En sk og 的结果符 合得较好 只是在又 勺 二的关系卜产生了较大的 误 差 住乞3 33 3 这是误差的积累所造成的 三 扩散系数 出发 所得枯滞系数 3 1 李 祈 石 空 k斤 j 12 13 设二元气体处于非平衡稳定态 只在 x 方向有一 浓度梯度 在弛豫近似下 此二 元气体的分布函数由 以 下玻耳兹曼方程确定 其中下表示 的某种 平均 值 应用子 万户 1 17 8 即子 1 17 8 反 2 再令下 下 八则 丝 一 J 刁 X 一 广厂 T1 刁FF 一F 明 叭 不 一爪丁一 2 la 一 告 厕 X 8 由此得到一级近似下的分布函数 14 1 毛 眨 卫百月 夕 这一结论比之初级理论的结果有所改善 严格的理论结果 3 导热率设 x 方向有一温度梯度 布函数为 更接近于较 f f 一 臀 0 一 群 会 局域平衡分 F F 0 一勺叭 刁F 0 叙 F 一勺吸丝竺 业生 了 m 左 f m J 一 戈 丽万 exp 飞 一 习芋 十丐十 了 2 lb 两种气体的分子数密度流 即每秒通过单位面积从负 方输向正方的分子数 分别为 15 l s e w et 产 三片 r 11 式可写成 f 厂 毋 呀 v一 叮 一 a v一 r v 节子 a V 一 二 联 器 16 热流量 即每秒通过单位面积输向 x 正方向的能量 为 r Z一 飞 一 飞 d 一 卜 几 2 口一口二口一J 二以 一 刁F 一 QV 厂 合 Zv x f 17 把 16 式代入 l 7 式并注意到第一项厂0 代入后积分 为零 所以 r l 盯 0 dT q 一J 一二 了泄丐 T 历尸 丽 Q v 8 22 在气体的温度和压强不变的条件F 单纯扩散 两 种气体的总分 子数密度也不变 即n 十 n 2 常数 因 而有r r Z 常数 不随 x 而变 而在只有内部扩散 没有整体流动的情况下有 r TZ 0 23 同时有 鱼互 应生 一 O尤Q工 2 4 结合关系式 I而或石 l石 z 百 可设弛豫时间和两 种分子相互碰位频率成反比 即设 尸 n 内 j 矛 百 l s e f r e e少 左力 飞 Jls e J 由于两种气体分子的质量不 同 扩散过程中总分子数 虽然没有流动 但有质量流动 设质量流动的速度为 娜 则局域平衡分布函数为 丁盆 脚一m 2 2戒T m 一 伪 一阁 p 于 命 几 帐一动 心 屺 众 六 m l处 2兀kT m 一 伙 3左f F 一 n 2 卜 御 e x 咔命 其中a 处为比例系数 在近似处理时 可认为 a a Z a 把 30 式代人 2 9 式得 I 叭 一场 弓 v子 25 把 2 5 式代入 2 2 式 并注意到在球坐标 中帐一 e oss 则得 一 d n kT 八 二 一 二吓 叼 一 一 d n 了k T 八 l 1 2 nZvo一T Z二飞介甩二二一十砂6 刀 l 了 2 2 6 一 击 众 丽聋 黔硕 六 丽粼际万丁 补 万 众矶 抨需票 在常温下 气体分子热运动的平均速率或方均根速率 在10 2 m s一 量级 即 kT m 的值在 10 4 m s一 量级 以氧分 子为例 在 T 30 0K 时 kT m 7 8 x l少 m s一 2 宏观流速 元的平方绝不会大到蜘 2 同数 量级 故对 r r 可作如下简化处理 这与En s kog 的结果一致 只是系数上稍有差别 上面的计算只考虑了不同分子的互碰撞 若同时 考虑相同分子间的自碰搜 则因同种分子的自碰愉颇 率为 一4 n J J平 r 一 1盯 一 丁 鲁 荟 r 一 2 一 砚鲁 餐 那么 一个第一种分子和第二种分子每秒平均碰撞次 数分别为 2 7 一 一 2 由 2 3 式 2 4 式 27 式得 八 11左 1 7 tKJ I乙兀Kl气 刀卜宁刃门 11 今月一听I I 十名月2口万 一 I m 一 一 飞 m 一 处 J n 一 f且 一 五 丛 用 处 dx 0 2 0 22 O 一 2 将这一结果解出鞠代入 2 7 式得 L甲 l左 1 一左 如2砖l 三乙 2n2 子 竺还乙竺五二竺已l 两 一L m lm Z r 一 2一 r三立 二立 粤 2 n 十 2 m m Z dx 由此得到气体的扩散系数为 而于 止红 砚二二纽 0 1 0 2 32 考虑如下两种极端情形 1 设两种分子的线度和质量相近 即m l 二m 2 二 二 2二 则由 29 式和 jZ 式并化简得 一 击 哥 令卜 2 9 根据气体分子的碰撞理论 两种分子相互碰撞频率为 一 kT l 口之 r7 T 气尸 I 1tj j n 宁nZ 丙2 确 二了 m 八虎 一 2二kT m 1流 晰 2 11宁一I7 t 月2听2 刀一 刀2口下 公 曰一 一 月 m Z L m 处 而由 31 式得 了k T 丫 左 D二 一 二二 l ZD 3la 一十n Z 叮了2 兀m 2 对线度和质量都很悬殊的两种粒子 如电子 为第一种卿普通的分子或离子 为第二种 则因为佑 m 处 由 2 9 式和 犯 式并简化处理后得 kT 丫 左 D 二二 二 r e s 二 二一 I 34 2 n l n t 2 m 而由 31 式得 四 结语 一 kT 丫 一 一 U 气目 弋一 百 二 刀叹j lb 乙气n 十n Z 叮了2 兀m一 可见这种情形无需考虑自碰撞 综合 1 2两种情形可知 忽略自碰撞无疑导致 了 子的增加 因而使扩散系数增大 若取计算结果D的系数为 a应 则由所设丁 二a 洲 百 和 关系式于 1 百 可取 a二 l 那么从 3 la 和 3 lb 可 知D 和D 的对 应系数分别为 a 4和 a 应 即可得我 们结论的系数的对应值范围是0 2 5 一 0 5 而 6 式 中系数甲 气一 享 的值的变化范围是 0 38一0 43 一 1一 8 一 一 一 一一 一 一 一 可见我们的结论与En sk og 的结论符合得较好 上接 2 3页 续表 能级 N 简并度数组及其可能 的排列数 从上述分析可见 相对于E n shog 和 Chapm an 的 较严格的理论结果 所求得的三种输运系数还分别存 在一定的差异 其中热传导系数和扩散系数与严格的 理论结果相差很小 粘滞系数的差异较大 其原因可 能是粘滞流体的速度陡度消失而趋向平衡的弛豫过程 机制不 明确 而因弛豫近似法不能给出更好的结果 但作为一种简化处理 存在对理论值的偏离是预期之 中的 相对于初级理论的结果 弛豫近似法在计算近 平衡态的非平衡气体系统的输运系数上 所得结论是 比较好的 这种近似处理方法的最大特点是 既遵循了由非 平衡态的分布函数求微观量的统计平均值的统计原 理 又避开了繁琐的数学处理过程 是一种较严格理论上 的近似 因而在统计物理教学中采用这种方法 是较适 宜的 参 考文献 3 5 6 6 2 2 8 3 l 6 6 3 l 3 8 6 3 4 7 6 l 5 7 6 5 5 5 l 2 6 6 3 2 3 s 6 4 5 6 6 2 5 7 6 一 4 8 6 笼3 6 6 3 4 4 7 3 l 2 王竹溪 统计物理学导论 北京 高等教育出版社 195 6 166 176 3 汪志诚 热力学统 计物理 北京 人民 教育出版社 19 80 325 则能级相应的不同波函数的个数必为 3的倍数 即简 并度为 3 n 如E可写成3护 则E相应的所有数组中 有一组满足 n l 仍 仍 k 该组只相应一个波函数 所以简并度为3 1 十1 的形式 下面两个结论是推测 但在从很大的情况下仍 成立 4 从表中可看到 相邻能级的间隔并不是常数 最小间隔为 最大为30 如能级 3 和6 之间距离就 是3 5 能级为3 Z n 2 n 0 l 2 时 该能级 是无简并的 如3 12 48 192 7 68 3072 等都是 无简并的 关于三维无限深势阱的能级简并度的研究是很有 意义的 还有不少问题值得深入研究 感谢孔令江教授 冯加礼副教授对本文的建议 U伟j介j 工 声 7 07 27 37 47 57 6 口 0 0 了 口 8112 2 当能级可 写为 3尸 时 k 取 1 2 3 二 能级 简并度为