【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义（备考基础查清+热点命题悟通）第十二章 数学归纳法 曲线与方程 理 苏教版(1).DOC

第十二章数学归纳法曲线与方程第一节数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0n*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kn*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法1数学归纳法证题时，误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n2)时，初始值n03.2数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：必须利用归纳假设作基础；证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；解题时要搞清从nk到nk1增加了哪些项或减少了哪些项试一试1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于_答案：32已知f(n)，则f(n)中共有_项答案：n2n1明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在nk1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”练一练用数学归纳法证明：“11)”，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项的项数是_解析：当nk时，不等式为1k.则nk1时，左边应为：1则增加的项数为2k112k12k.答案：2k考点一用数学归纳法证明等式1.求证：1(nn*)证明：(1)当n1时，左边1，右边.左边右边(2)假设nk时等式成立，即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立综合(1)，(2)可知，对一切nn*，等式成立2设f(n)1(nn*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nn*)证明：(1)当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立(2)假设nk(k2，kn*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nn*)备课札记 类题通法用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值(2)由nk到nk1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明考点二用数学归纳法证明不等式典例已知数列an，an0，a10，aan11a.求证：当nn*时，anan1.证明(1)当n1时，因为a2是方程aa210的正根，所以a1a2.(2)假设当nk(kn*，k1)时，0ak0，得ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立根据(1)和(2)，可知anan1对任何nn*都成立备课札记 把题设条件中的“an0”改为“当n2时，an1”，其余条件不变，求证：当nn*时，an1a2.(2)假设当nk(kn*，k1)时，ak1ak，aa(ak2ak1)(ak2ak11)，ak10，又ak2ak111(1)11，ak2ak10，ak2ak1，即当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，当nn*时，an1an.类题通法用数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明针对训练用数学归纳法证明：12(nn*，n2)证明：(1)当n2时，12，命题成立(2)假设nk时命题成立，即12.当nk1时，120，f(x)，令a11，an1f(an)，nn*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nn*)(2)证明：易知，n1时，猜想正确假设nk时猜想正确，即ak，则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确由知，对于任何nn*，都有an.备课札记 类题通法“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式针对训练已知数列xn满足x1，xn1，nn*.猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论解：由x1及xn1，得x2，x4，x6，由x2x4x6猜想：数列x2n是递减数列下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，已证命题成立(2)假设当nk时命题成立，即x2kx2k2，易知xk0，那么x2k2x2k40，即x2(k1)x2(k1)2.也就是说，当nk1时命题也成立结合(1)、(2)知，又nn*命题成立课堂练通考点1用数学归纳法证明：1n(nn*)证明：(1)当n1时，左边，右边11，等式成立(2)假设当nk(k1，kn*)时，等式成立，即1k，则当nk1时，1k111.即当nk1时，等式也成立由(1)(2)知，等式对nn*成立2数列an满足sn2nan(nn*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解：(1)当n1时，a1s12a1，a11.当n2时，a1a2s222a2，a2.当n3时，a1a2a3s323a3，a3.当n4时，a1a2a3a4s424a4，a4.由此猜想an(nn*)(2)证明：当n1时，左边a11，右边1，左边右边，结论成立假设nk(k1且kn*)时，结论成立，即ak，那么nk1时，ak1sk1sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak，ak1，这表明nk1时，结论成立，由知猜想an(nn*)成立课下提升考能1设f(n)1(nn*)，那么f(n1)f(n)_.解析：f(n1)1，f(n1)f(n).答案：2凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)与f(n)的关系为_解析：边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n2个顶点连结成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n1条答案：f(n1)f(n)n13用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上的项为_解析：当nk时左端为123k(k1)(k2)k2，则当nk1时，左端为123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加的项为(k21)(k22)(k1)2.答案：(k21)(k22)(k1)24(2014皖南三校一模)设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)_，f(n)_.(n1，nn*)解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，从而f(n)n2n2.答案：4n2n25(2014扬州调研)已知数列an是等差数列，且a1，a2，a3是m展开式的前三项的系数(1)求m展开式的中间项；(2)当n2时，试比较与的大小解：(1)m1cc2.依题意a11，a2m，a3，由2a2a1a3可得m1(舍去)或m8.m展开式的中间项是第五项，为t5c4x4.(2)由(1)知，an3n2，当n2时，；当n3时，.猜测：当n2时，.以下用数学归纳法加以证明：n3时，结论成立，设当nk时，则nk1时，.由k3可知3k27k30，即.综合可得，当n2时，.6.已知点pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nn*)，且点p1的坐标为(1，1)(1)求过点p1，p2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nn*，点pn都在(1)中的直线l上解：(1)由题意得a11，b11，b2，a21，p2.直线l的方程为，即2xy1.(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(k1且kn*)时，2akbk1成立则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，2ak1bk11也成立由知，对于nn*，都有2anbn1，即点pn在直线l上7已知f(n)1，g(n)，nn*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解：(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1,2,3时，不等式显然成立假设当nk(k3，kn*)时不等式成立即1，那么，当nk1时，f(k1)f(k)，因为0，所以f(k1)g(k1)由、可知，对一切nn*，都有f(n)g(n)成立第二节曲线与方程1曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线c(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2曲线的交点设曲线c1的方程为f1(x，y)0，曲线c2的方程为f2(x，y)0，则c1，c2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点1曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)2求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响试一试若点p到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点p的轨迹为_解析：依题意知，点p到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点p的轨迹是抛物线答案：抛物线1求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系；(2)设点设轨迹上的任一点p(x，y)；(3)列式列出动点p所满足的关系式；(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程2求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系或f(x，y)0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点p(x，y)依赖于另一动点q(x0，y0)的变化而变化，并且q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程练一练(2014中山模拟)平面上有三个点a(2，y)，b，c(x，y)，若abbc，则动点c的轨迹方程为_解析：，由，得0，即2x0，动点c的轨迹方程为y28x.答案：y28x考点一直接法求轨迹方程1.已知点o(0,0)，a(1,2)，动点p满足|2，则p点的轨迹方程是_解析：设p点的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x1，y2)，(2x1,2y2)所以(2x1)2(2y2)24，整理得4x24y24x8y10.答案：4x24y24x8y102(2014深圳调研)已知点f(0,1)，直线l：y1，p为平面上的动点，过点p作直线l的垂线，垂足为q，且，则动点p的轨迹c的方程为_解析：设点p(x，y)，则q(x，1)，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，动点p的轨迹c的方程为x24y.答案：x24y备课札记 类题通法由曲线方程讨论曲线类型的关键是确定参数的分段值、参数分段的确定标准，一般有两类：(1)二次项系数为0的值(2)二次项系数相等的值考点二定义法求轨迹方程典例(2013新课标卷)已知圆m：(x1)2y21，圆n：(x1)2y29，动圆p与圆m外切并且与圆n内切，圆心p的轨迹为曲线c.(1)求c的方程；(2)l是与圆p，圆m都相切的一条直线，l与曲线c交于a，b两点，当圆p的半径最长时，求|ab|.解由已知得圆m的圆心为m(1,0)，半径r11；圆n的圆心为n(1,0)，半径r23.设圆p的圆心为p(x，y)，半径为r.(1)因为圆p与圆m外切并且与圆n内切，所以|pm|pn|(rr1)(r2r)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线c是以m，n为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线c上任意一点p(x，y)，由于|pm|pn|2r22，所以r2，当且仅当圆p的圆心为(2,0)时，r2.所以当圆p的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|ab|2.若l的倾斜角不为90，由r1r知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为q，则，可求得q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆m相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|ab| |x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|ab|.综上，|ab|2或|ab|.备课札记 本例中圆m，n方程分别变为“圆m：(x4)2y22；圆n：(x4)2y22”其余条件不变，求c的方程.解：设动圆p的半径为r，|pm|r，|pn|r.|pm|pn|2，又m(4,0)，n(4,0)，|mn|8.2|mn|.由双曲线定义知，p点轨迹是以m、n为焦点的双曲线的右支a，c4，b2c2a214.方程为1.类题通法1运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程2定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况利用条件把待定系数求出来，使问题得解针对训练已知a(0,7)，b(0，7)，c(12,2)，以c为一个焦点的椭圆经过a，b两点，则椭圆的另一个焦点f的轨迹方程是_解析：由题意知|ac|13，|bc|15，|ab|14，又|af|ac|bf|bc|，|af|bf|bc|ac|2，故点f的轨迹是以a，b为焦点，实轴长为2的双曲线的下支又c7，a1，b248，点f的轨迹方程为y21(y1)答案：y21(y1)考点三代入法求轨迹方程典例已知椭圆1上任一点p，由点p向x轴作垂线pq，垂足为q，设点m在pq上，且2，点m的轨迹为c.(1)求曲线c的方程；(2)过点d(0，2)作直线l与曲线c交于a，b两点，设n是过点且平行于x轴的直线上一动点，满足(o为原点)，问是否存在这样的直线l，使得四边形oanb为矩形，若存在，求出直线l的方程；若不存在说明理由解(1)设m(x，y)是曲线c上任意一点，因为pmx轴，2，所以点p的坐标为(x,3y)又点p在椭圆1上，所以1，因此曲线c的方程是y21.(2)当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件，所以设直线l的方程为ykx2，直线l与椭圆交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，由得(14k2)x216kx120，故x1x2，x1x2.由162k248(14k2)0得k2，即k或k.因为，所以四边形oanb为平行四边形假设平行四边形oanb是矩形，则0， 即x1x2y1y2x1x2k2x1x22k(x1x2)4(1k2)x1x22k(x1x2)40，所以(1k2)2k40，k24，k2.设n(x0，y0)，由得y0y1y2k(x1x2)44，即n点在直线y上，故存在四边形oanb为矩形，直线l的方程为y2x2.备课札记 类题通法代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征是：点p的运动与点q的运动相关，且点q的运动有规律(有方程)，只需将p的坐标转移到q的方程中，整理即可得p的轨迹方程针对训练p是椭圆1上的任意一点，f1，f2是它的两个焦点，o为坐标原点，则动点q的轨迹方程是_解析：由，又22，设q(x，y)，则(x，y)，即p点坐标为，又p在椭圆上，则有1，即1.答案：1课堂练通考点1(2014洛阳模拟) 设过点p(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a，b两点，点q与点p关于y轴对称，o为坐标原点若2,，且1，则点p的轨迹方程是_解析：设a(a,0)，b(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，即ax0，b3y0.点q(x，y)，故由1，得(x，y)(a，b)1，即axby1.将a，b代入axby1得所求的轨迹方程为x23y21(x0，y0)答案：x23y21(x0，y0)2. (2014合肥模拟)如图所示，a是圆o内一定点，b是圆周上一个动点，ab的中垂线cd与ob交于e，则点e的轨迹是_解析：由题意知，|ea|eo|eb|eo|r(r为圆的半径)且r|oa|，故e的轨迹为以o，a为焦点的椭圆. 答案：椭圆3(2014佛山模拟) 在abc中，a为动点，b，c为定点，b，c(a0)，且满足条件sin csin bsin a，则动点a的轨迹方程是_解析：由正弦定理：，即|ab|ac|bc|，故动点a是以b，c为焦点，为实轴长的双曲线右支答案：1(x0且y0)4直线1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是_解析：直线1与x，y轴的交点为a(a,0)，b(0，2a)，设ab的中点为m(x，y)，则x，y1，消去a，得xy1.a0且a2，x0且x1.答案：xy1(x0且x1)5. 已知定点f(0,1)和直线l1：y1，过定点f与直线l1相切的动圆的圆心为点c.(1)求动点c的轨迹方程；(2)过点f的直线l2交轨迹于p，q两点，交直线l1于点r，求的最小值解：(1)由题设知点c到点f的距离等于它到l1的距离，点c的轨迹是以f为焦点，l1为准线的抛物线，动点c的轨迹方程为x24y.(2)由题意知，直线l2的方程可设为ykx1(k0)，与抛物线方程联立消去y，得x24kx40.设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.又易得点r的坐标为(，1)，(x1，y11)(x2，y21)(x1)(x2)(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(2k)(x1x2)44(1k2)4k(2k)44(k2)8.k22，当且仅当k21时取等号，42816，即的最小值为16.课下提升考能第组：全员必做题1. 长为3的线段ab的端点a，b分别在x轴，y轴上移动，2，则点c的轨迹方程是_解析：设c(x，y)，a(a,0)，b(0，b)，则a2b29又2，所以(xa，y)2(x，by)，即代入式整理可得：x21.答案：x212. 已知定点a(2,0)，它与抛物线y2x上的动点p连线的中点m的轨迹方程为_解析：设p(x0，y0)，m(x，y)，则所以由于yx0，所以4y22x2.即y2(x1)答案：y2(x1)3(2014长春模拟) 设圆(x1)2y225的圆心为c，a(1，0)是圆内一定点，q为圆周上任一点线段aq的垂直平分线与cq的连线交于点m，则m的轨迹方程为_解析：m为aq垂直平分线上一点，则|am|mq|，|mc|ma|mc|mq|cq|5，故m的轨迹为椭圆a，c1，则b2a2c2，椭圆的标准方程为1.答案：14(2014银川模拟)已知点p是直线2xy30上的一个动点，定点m(1,2)，q是线段pm延长线上的一点，且|pm|mq|，则q点的轨迹方程是_解析：设q(x，y)，则p为(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.答案：2xy505(2014焦作模拟)设点a为圆(x1)2y21上的动点，pa是圆的切线，且|pa|1，则p点的轨迹方程为_解析：如图，设p(x，y)，圆心为m(1,0)连结ma，则mapa，且|ma|1，又|pa|1，|pm|，即|pm|22，(x1)2y22.答案：(x1)2y226已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点a(1,0)，b(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_解析：设抛物线焦点为f，过a，b，o作准线的垂线aa1，bb1，oo1，则|aa1|bb1|2|oo1|4，由抛物线定义得|aa1|bb1|fa|fb|，|fa|fb|4，故f点的轨迹是以a，b为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)答案：1(y0)7abc的顶点a(5,0)，b(5,0)，abc的内切圆圆心在直线x3上，则顶点c的轨迹方程是_解析：如图，|ad|ae|8，|bf|be|2，|cd|cf|，所以|ca|cb|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以a，b为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)答案：1(x3)8(2014武汉调研)动点p到点f(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则动点p的轨迹方程为_解析：由抛物线定义知点p的轨迹是以f(2,0)为焦点的抛物线，设抛物线的方程为y22px，从而可知p4，所以动点p的轨迹方程为y28x.答案：y28x9(2014锦州模拟) 设a，b分别是直线yx和yx上的动点，且|ab|，设o为坐标原点，动点p满足.(1)求点p的轨迹方