电势计算方法.doc

6.4.5 电势的计算方法一般说来，计算电势的方法有两种。第一种方法是由电势的定义式通过场强的线积分来计算；另一种方法是下面马上就要介绍的电势叠加原理。对不同的带电体系，本质上讲上述两种方法都能够计算出电势，但是选择不同的方法计算的难易程度是大不相同的。通过后面内容的学习，大家要注意对不同的带电体系选择不同的计算方法。下面我们介绍电势迭加原理。1、点电荷电场的电势如右图所示，一个点电荷q处于O点处。在q所产生的电场中，距离O点为r处P点的电势，可以根据电势的定义式计算得到。选无穷远处作为电势零点，积分路径沿OP方向由P点延伸到无穷远。由于积分方向选取得与场强的方向相同，P点电势可以很容易地计算出来点电荷的电势此式给出点电荷电场中任意一点的电势大小，称作点电荷电势公式。公式中视q的正负，电势V可正可负。在正点电荷的电场中，各点电势均为正值，离电荷越远的点，电势越低，与r成反比。在负点电荷的电场中，各点的电势均为负，离电荷越远的点，电势越高，无穷远处电势为零。容易看出，在以点电荷为心的任意球面上电势都是相等的，这些球面都是等势面。2、电势的叠加原理在前面的知识点中，大家学习了场强叠加原理。该原理告诉我们，任意一个静电场都可以看成是多个或无限多个点电荷电场的叠加，即有其中E表示总电场，E1，E2，为单个点电荷产生的电场。根据电势的定义式，并应用场强叠加原理，电场中a点的电势可表示为上式最后面一个等号右侧被求和的每一个积分分别为各个点电荷单独存时在a点的电势。即有式中Vai是第i个点电荷单独存在时在a点产生的电势。显然，如果我们将带电体系分成若干部分（不一定是点电荷），上述结论仍然是正确的。即，任意一个电荷体系的电场中任意一点的电势，等于带电体系各部分单独存在时在该点产生电势的代数和。这个结论叫做电势叠加原理。若一个电荷体系是由点电荷组成的，则每个点电荷的电势可以按上式进行计算，而总的电势可由电势叠加原理得到，即式中ri是从点电荷qi到a点的距离。（应用这个公式时，电势零点取在处）。对一个电荷连续分布的带电体系，可以设想它由许多元电荷dq所组成。将每个元电荷都当成点电荷，就可以由叠加原理得到求电势的积分公式式中r是从元电荷dq到a点的距离。（电势零点在处）。3、计算电势的一般方法计算电势一般有两种方法：根据已知电场强度计算电势和应用叠加原理计算电势。现分别介绍如下。如果一个电场的场强为已知，应用电势的定义式，可以根据已知的场强直接计算电势。用这种方法计算电势时，电势零点可以任意选定。如果电荷分布可以分解为几个分布，而每个分布在考察点的电势为已知，则可应用叠加原理来计算电势。【例1】一个电偶极子电量为q，相距l。点电荷q0沿半径为R的半圆路径L从左端A点运动到右端B点，如图所示，试求q0所受的电场力所做的功。【解】求解电场力做功，一般应该先求电势、电势差，再通过电势差求做功。首先，根据电势叠加原理和点电荷产生电势的公式，我们分别可得电偶极子在A、B两点的电势为电偶极子电势电势差为所以，点电荷q0沿半径为R的路径L从左端A点运动到右端B点电场力所做的功为若Rl并利用电矩的定义，则上式可以写成： 。【例2】有一长度为L，电荷线密度为的均匀带电直线段（如下图所示），求其延长线上距离近端为R的P点的场强和电势。【解】如图建立坐标系，将带电直线微分，则有元电荷，它在P点处产生的场强和电势分别为：直线段外的场强和电势根据场强和电势的叠加原理，并考虑到场强方向都朝x轴方向，则有P点处的场强和电势分别为：本题的电势也可以通过所求出的场强来计算。方法是先选择从P点沿x轴到无限远的一条路径，然后对场强进行积分。在积分时考虑到距离R是一个变量，可以用x替换R，沿x进行积分 。这个结果表明，用不同方法计算的电势是一样的。可以看出，用电势的叠加原理的计算过程要简单一些。【例3】一半径为R的均匀带电细圆环，所带电量为q，求在圆环轴线上任意点P的电势。带电圆环轴线上的电势【解】本题也可以用两种方法求解。我们先用叠加原理求电势的方法来解。在上图中以x表示从环心到P点的距离，以dq表示在圆环上任一元电荷。由电势迭加原理可得P点的电势为当P点位于环心O处时，x=0，则另一种求解方法是根据已知场强求电势的方法。由前面的例题可知圆环在轴线上任意一点的场强为： 如果我们在x轴上选择一条从x到无穷远的路径，则P点处的电势由已知场强计算电势的公式可得：可以看出，两种计算方法所得到的结果是完全相同的。【例4】求均匀带电球面的电场中的电势分布。球面半径为R，总带电量为q。【解】均匀带电球面的场强分布很有规律性，本题适宜用电势的定义式通过对场强的积分来求电势。以无限远为电势零点。若场点P在球面外，由于在球面外直到无限远处场强的分布都和电荷集中到球心处的一个点电荷的场强分布一样，因此，把场强从P点积分到无穷远的计算结果应与点电荷电场中的计算结果相同，即球面外任一点的电势应为（rR）若P点在球面内（rR），由于球面内、外场强的分布不同，所以定义式中的积分要分两段进行，即由于在球面内各点场强为零，而球面外场强为点电荷的场强 ,所以电势为 这说明均匀带电球面内各点电势相等，都等于球面上的电势。电势随r的变化曲线（曲线）如上图所示。和场强分布曲线相比，可看出，在球面处（r=R），场强不连续，而电势是连续的。在经典物理学中，能量始终是连续的。【例5】下图表示两个同心的均匀带电球面，半径分别为RA=5cm，RB=10cm，分别带有电量，求距离球心距离为r1=15cm，r2=6cm，r3=2cm处的电势。带电同心球面的电势分布【解】 这一带电系统的电场的电势分布可以由两个带电球面的电势相加求得。每一个带电球面的电势分布已在例4中求出。由此可知在外球外侧r=r1处，在两球面之间r=r2处， 在内球内侧r=r3处， 【例6】求电荷线密度为的无限长均匀带电直线电场中的电势分布。【解】 无限长均匀带电直线周围的场强的大小为 方向垂直于带电直线。如果仍选无限远处作为电势零点，则由积分的结果可知各点电势都将为无限大而失去意义。这时我们可选距离带电直线为的点（如图）为电势零点，则距带电直线为r的P点的电势为式中积分路径段与带电直线平行，而段与带电直线垂直。由于段与电场方向垂直，所以上式等号右侧第一项积分为零。于是这一结果可以一般地表示为式中C为与电势零点的位置有关的常数。由此例看出，当电荷的分布扩展到无限远时，电势零点不能再选在无限远处。【例7】求电偶极子的电场中的电势分布。已知电偶极子中两点电荷间的距离为。【解】 设场点P离和的距离分别为和，P点距离电偶极子中点O的距离为r（如图）。电偶极子的电势分布根据电势叠加原理，P点的电势为对于离电偶极子比较远的点，即时，应有 r+r-r2,r-r+lcos 为OP与l之间夹角，将这些关系代入上式，可得 式中是电偶极子的电矩，r为从O点到场点P的矢径。【例8】求电矩的电偶极子（如图）在均匀外电场