十三届初一中环杯决赛答案.pdf

第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 1 7 第十三届第十三届 中环杯中环杯 中小学生思维能力训练活动中小学生思维能力训练活动 七七年级决赛答案年级决赛答案 一 填空题一 填空题 1 答 22 11a baabb 22 11111ab abab ababab ababab 设1abx 则 2 2 111111a b a ba b a ba b xa b xa xb x 所以 2 111111ab abab ababa abb ab 2 答 14次 易知每次操作正方形面积变为原来的两倍 需要扩大10000倍 容易知道 13 2 8192 14 2 16384 因此需要操作14次 3 答 13153 相当于求 六进制中的x是十进制中的2013 容易计算出13153x 4 答 3793 易知0abbcca 所以 2 222222 222abcabcabbccaabc 所以 222 3793abcabc 5 答 164 分类讨论 1 如果是三位 中环数 那么对于每个数字 都有9个 中环数 比如说 101 121 191 所以一共有9 981 个 中环数 2 如果是四位 中环数 并且以2为首位数字 那么只有2个 中环数 2002 2012 3 如果是四位 中环数 并且以1为首位数字 那么这样的数就是11AB的形 式 其中 A B只要不取1即可 根据乘法原理 一共有9 981 个 综上所述 一共有81281164 个 中环数 6 答 3 由轮换对称多项式的因式分解我们知道 222 abcbcacababbcca 第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 2 7 所以 0abbcca 而题目告诉我们 2 22 233ababab 所 以ab 根据 0abbcca 我们知道ac 或bc 当ac 时 则 2222 222 1 3 2 abcabbccaabbccaab 当bc 时 则 2222 222 1 3 2 abcabbccaabbccaab 7 答 5 由已知得 1 1 2 x axx 即整理得1 1 x ax a x x 1 1 从而得 633 33 33 23 2 2 3 2 3 2 11 11 1 1 13 113 32 xa x xa xx xxa xx axa x aaa a 由 于a为3的 倍 数 所 以 2 32a 除 以9的 余 数 为7 所 以 2012 20122012201257 mod9 n n 个 所以n的最小值是5 8 答 1 2 由于 111 212 222 ababab 只要 a b中有一个数是 1 2 那么结果就 是 1 2 由于原来的数据库中是有 1 2 那么最终的结果就是 1 2 9 答 1 4 或 1 12 第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 3 7 由于方程的左边是两个绝对值相加 所以 3 00 x x 而我们知道对于0 x 我 们可以推出 2 2 14 2 4xx xx 所以 22 22 1411314113 112 44 xxxx xxxxxx 所以 2 2 2 24112232321 2000 4422 xxxxxx xxxxxx 所以 23 2 x x 或 1 2 我们要求的是 2 212 66 x x xx 所以答案为 1 4 或 1 12 10 答 2 由于 22 4444mnmnmnmn 而显然我们有 2 4mnmn 所 以 2 444mnmnmn 由于 2 mn 是一个完全平方数 而完全平方数除以 4的余数只有0 1两种 所以 2 4mnmn 或41mn 或44mn 1 若 2 4mnmnmn 与已知矛盾 2 若 2 41mnmn 由于 2 4441 44mnmnmnmn 而 443 1 4141 mn mnmn 显然413mn 所以此时不可能为整数 也就 是说不可能出现41 44mnmn 这种情况 若 2 44mnmn 此时显然满足 2 44mnmn 所以2mn 二 动手动脑题 二 动手动脑题 第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 4 7 1 证明 设 1 2 3ax bxcxdx 则 23 23 232 32 322 2 2 2 12 216128 7159 341239 34333 343 13 abcxxx xxxxxx xxx xxxxx xxx xx xxx xx 所以 2 2 3dx 是 23 abc 的因数 2 证明 设 1 0 1011 101010 nn nnn Aa aaaaaa 则 1 10110 101010 nn nnnn Ba aaaaaa 所以 01220 012 01220 012 1010101010101010 1010101010101010 nnnn n nnnn n ABaaaa ABaaaa 1 当n为奇数时 101011mod11 n ii n ii 由于n为奇数 而 niin 所以 ni i 这两个数肯定一奇一偶 这样都导致了 1010110 mod11 n ii n ii 所以此时11 AB 2 当n为偶数时 101011mod11 n ii n ii 由于n为偶数 而 niin 所以 ni i 这 两个数肯定同奇偶 这样都导致了 1010110 mod11 n ii n ii 所以此 时11 AB 综上所述 无论n是奇数还是偶数 AB AB 这两个数中至少有一个数是11的 倍数 3 证明 首先由角平分线性质我们有IDIEIF 设其为x 然后我们要求出 这个x 容易证明BDI BFI CDI CEI AEI AFI 所以 BFBD CDCE AEAF 从而我们有 第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 5 7 2CDCEBCCAABxabc 所以 2 abc x 接下来我们要证明 39332 3 21021055 abcabc xaaabcaabc 然后用反 证法 假设 22222 244 5255 abcaabbcab 所以 2 42120 52521 abaab 而已知告诉我们ab 所以矛盾找到了 命题得证 4 证明 首先猜测 12 111 n ppp 的最大值为 111 1 23 421 2nn 如果 这个猜测正确 那么 12 1111111111 11 1 23 421 21 22 311 n pppnnn nn 接下来就证明这个猜测了 假设1 2k都符合我们前面描述的方法 1 2一组 3 4一组 21 2kk 一组 而21 22kk 没有放在一组 那么我们有 21 22 kakb 这 两 组 其 中 22abk 我 们 只 要 证 明 1111 212221 22kakbkkab 那么我们就得到 21 22 kakb 这样的组合不如 21 22 kka b 来得大 我们就可以调 整 为 21 22 kka b 然 后 不 断 地 对 后 面 进 行 调 整 从 而 得 F D E I CA B 第十三届 中环杯 中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 6 7 12 111111 1 23 421 2 n pppnn 对于 1111 21222122kakbkkab 的证明 通分后分组分解就可以了 很简单 这里不多说了 5 1 2 当090 且18 22 5 45 时 有三个等腰三角形 3 当18 时 有四个等腰三角形 4 当22 5 或45 时 有五个等腰三角形 解 答 首 先 很 容 易 证 明 C AB 为 等 腰 三 角 形 其 次 由 于 C MCMBMMC B 为等腰三角形 CCNM BCNM CCBC 由于 MC B 为等腰三角形 很容易证明 C FM 也是等腰三角形 所以这个图形中至少有 三 个 等 腰 三 角 形 接 下 来 开 始 导 角 设 BAC 则 9 0A CPB CPCA EM B CM CB 2C MBFC M 902AECEC FD EN 最后就是讨论 当 P