面对高考案例：二次函数y=ax2+bx+c在给定区间上的最大(小)值问题.doc

案例：二次函数y=ax2+bx+c在给定区间上的最大（小）值问题深圳市南山外国语学校：郭建华教学目的：使学生通过对知识的运用加深对知识的理解与掌握。在问题解决的过程中渗透数形结合的思想方法和运动、变化的观点。引导学生挖掘知识的作用，提高运用知识分析问题和解决问题的能力。重点难点：二次函数在闭区间上的最值的探求教 具：多媒体教学背景函数的单调性是高中数学函数一章中一节相当重要的内容。因为研究一个函数的性质往往离不开它的单调性。而且利用函数的单调性，可以解决许多的问题，尤其是求函数在某区间上的最值问题。学生在初中阶段接触最多，而且他们觉得比较难以理解的函数便是二次函数。在初中阶段，学生熟记二次函数的最值计算公式，可以较快地求出二次函数在定义域R上的最大值或最小值。但是当函数的定义域改变之后，学生往往对此熟视无睹，不知道定义域发生变化之后对值域会带到什么样的变化。这说明学生对所背的公式并没有真正意义上的理解，从本质上讲是缺乏一种数形结合的思考问题的方法。为了培养学生的数形结合的解题意识，也为了学生更好地理解函数单调性的作用，我在上完函数的单调性之后，补充了这样一节探究性的课。一方面起到扩充知识的作用，提高学生对知识的应用意识；另一方面重在培养学生的探究意识，培养学生数形结合的思维方法。案例一、复习函数单调性的概念复述函数单调性的概念（学生完成）画图并结合你所画出的图象分别说明在某一个闭区间a、b（ba）上单调的函数其图象变化的趋势。（分别画出在某一区间a、b上递增（减）的函数图象，指出图象的变化趋势）结合图象，请指出函数值变化的趋势，你能从中得到一些你认为有价值的结论吗？从图（1），f(x)在a,b上是增函数，则 。从图（2），g(x)在a,b上是减函数，则 。注：从图（1），f(x)在a,b上是增函数，则 f(a)g(b) 。注：从图（1）可知f(x)在区间a,b上的最大值为f(b),最小值为f(a); 从图（2）可知g(x)在区间a,b上的最大值为g(a),最小值为g(b)所以，学习函数的单调性可以研究函数在某区间上的最大值和最小值。设计意图：温故而知新。在复习旧知识的同时，引导学生思考并发现所学的知识函数单调性的意义和作用，提高学生的求知欲望和知识的应用意识。二、复习二次函数y=ax2+bx+c在R上的最值三、数学的应用例1、求函数y=2x2-3x+5在-2，2上的最大值和最小值。分析：该问题表述的函数一定区间一定，引导学生数形结合解决解:函数y=2x2-3x+5的对称轴x=在区间-2 ,2 内且靠近区 间的右端点,所以:当x=时函数有最小值Ymin= 当x= -2时函数有最大值Ymax=19例2、求函数y= -x2-4x+1在-1 , 3上的最大值和最小值。分析：该问题表述的函数一定区间一定，引导学生数形结合解决解：函数y=-x2-4x+1的对称轴x=-2在区间 -1 ，3的左侧。因此：函数在-1，3上是单调减函数。所以：当x=-1时函数取最大值4，当x=3时取最小值-20例3、求函数y=x2+t x (-1的最小值解题分析：函数的解析式中含有参数t，而函数图象的对称轴是x= - t/2，对称轴相对于区间 -1, 1位置不定，因此应对t的不同取值进行讨论。解: 函数y= x2 + tx 的对称轴是 x= - (1) 当对称轴x= -在区间 -1 , 1 的左侧时, 则 - 2时， 函数在区间 -1 , 1 上是增函数。所以，当x= -1 时 y= 1 t (2) 当对称轴x= -在区间 -1 , 1 上时, 则 -1-1 即 -2 t2时，所以，当x= - 时 y= -当对称轴x= -在区间 -1 , 1 的右 侧时, 则 - 1 即t 此时函数y= 2x2 + x-1在区间 t , t+2 上是增函数。 所以，当x= t 时 y= 2t2 + t-1（2） 当对称轴x=在区间 t , t+2 上时, 则 tt+2 即 t时，所以，当x=时 y= (3) 当对称轴x=在区间 t , t+2 的右侧时, 则 t+2 即t 时， 函数在区间 t , t+2 上是减函数。所以，当x=t+2 时 y=2t2 +9t+9 设计意图：在这个环节设计了两种变化，一种是区间变化，函数图象不变（即对称轴不变）第二种是区间不变，函数图象变化（即对称轴变化）的最值问题。一开始学生对这两种变化可能无从着手，一下子找不到解题的突破口。在此我结合现代教育媒体，利用几何画板软件，将这两种变化清晰地反应出来，以启发学生的思考。最后，在解答完毕之时，就是要让学生意识到这样一点,二次函数在某区间(不管区间是静止也好，变化的区间也好)上的单调性是由它相对于对称轴的位置决定的。按例点评几何画板能动态地保持图形内在的、恒定不变的关系和规律，在这节课中发挥了很大的作用，我将含参变量a的二次函数用几何画板画出它的图象，给出需要观察的区间，并用移动、跟踪轨迹等功能演示不同a值下的函数图象的连续变化，图象的直观性丰富了学生的想象，通过演示图形的变化得到分类的方法就顺理成章了。使用计算机辅助教学，因其形象、运算快、图形准确，使传统教学极难突破的教学难点显得轻而易举。再将问题引申、提高，给学生留下思维的空间，由他们独立解决，也就不难了。（后附几何画板制作二次函数图象说明）教学研究 利用几何画板画二次函数的图象-1.新建一个绘图，选择菜单栏里的“图表”，鼠标单击“建立坐标轴”。 -2.选择工具栏里的“画点”工具，鼠标指针变成十字形，在坐标轴的横轴上点击一下，画出一个点，确保该点处在被选中状态，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“C”）。确保C点处于被选中状态，选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“坐标”，得到C点的坐标。 -3.选择工具栏里的“选择&平移”工具，鼠标单击C点的坐标，使它处于被选中状态，再选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“计算”，出现“计算器”窗口，用鼠标单击“数值”按钮，把鼠标放在“点C”上，选择x，然后用鼠标单击“计算器”窗口里“确定”按钮，这样我们就得到了C点的横坐标的度量值。如果用鼠标拖动点C的话，你会发现它的横坐标的度量值在随之变化。 -4.下面我们把界面稍微整理一下，用鼠标单击C点的坐标，使它处于被选中状态，然后同时按下Ctrl和H键，把C点的坐标隐藏掉。再选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，用鼠标双击C点横坐标的度量值，在出现的“度量值格式”窗口里选择“文本格式”，出现两个文本框，将左面文本框内的“XC=”改成“x=”，按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。经过上面的工作，我们已经把二次函数的自变量构造出来了，下面我们再来构造二次函数的系数a、b、c。系数a、b、c的构造过程是完全一样的，故我们只详细介绍系数a的构造过程。 -5.选择工具栏里的“画点”工具，在坐标轴的横轴上画一个点，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“D”）。然后选择工具栏里的“选择&平移”按钮，按住Shift键，鼠标单击坐标轴的横轴，使D点和坐标轴的横轴同时处于选中状态（如果要选择多个对象，要先按住Shift键，再用鼠标进行选择。若要取消对某个对象的选择，只需用鼠标再次单击该对象即可），选择菜单栏里的“作图”，鼠标单击“垂线”，这时一条垂直于坐标轴横轴且过D点的直线便被画了出来。在这条直线上画出一个点，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“E”），鼠标双击该点标签（字母“E”）,在出现的“重设标签”窗口里，将“E”改为“a”，按下“重设标签”窗口的“确定”按钮。再选择工具栏里的“选择&平移” 工具，鼠标单击刚画出的那条直线，然后同时按下Ctrl和H键，把直线隐藏掉。选中a点，选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“坐标”，得到a点的坐标。选中a点的坐标，选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“计算”，出现“计算器”窗口，用鼠标单击“数值”按钮，把鼠标放在“点a”上，选择y，然后用鼠标单击“计算器”窗口里的“确定”按钮，这样我们就得到了a点的纵坐标的度量值，我们用它作为二次函数的系数a。 -6.下面我们把界面稍微整理一下，把a点的坐标隐藏掉，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，用鼠标双击a点的纵坐标的度量值，在出现的“度量值格式”窗口里选择文本格式，出现两个文本框，将左面文本框内的“Ya=”改成“a=”，按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。然后选择工具栏里的“选择&平移”按钮，按住Shift键，鼠标单击a点和D点，使a、D点同时处于选中状态，选择菜单栏里的“作图”，鼠标单击“线段”。 -7.重复5、6步我们可以把系数b、c构造出来。 -8.选择工具栏里的“选择&平移”按钮，按住Shift键，鼠标单击度量值x、a、b、c(确保别的对象不处于选中状态)，选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“计算”，在出现的“计算器”窗口里，鼠标单击“数值”按钮，选择“a”，鼠标单击“*”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“x”， 鼠标单击“”号按钮，鼠标单击“2”按钮，鼠标单击“+”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“b”，鼠标单击“*”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“x”，鼠标单击“+”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“c”，最后按下确定按钮，得到一个新的度量值。选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，用鼠标双击刚刚得到的度量值，出现“度量值格式”窗口，将左面文本框内的“a*x2+b*x+c=”改成“y=”，按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。 -9.选择工具栏里的“选择&平移”工具，按住Shift键，鼠标单击度量值x、y（注意顺序），选择菜单栏里的“图表”，鼠标单击“绘出（x,y）”，这样构造出一个新的点（如果该点没有出现在屏幕上，可以通过改变C点、a点、b点、c点的位置使它可见），选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，用鼠标单击刚构造出的点，将显示出它的标签（假设为“J”）。按住Shift键，选中J点和C点，选择菜单栏里的“作图”，鼠标单击“轨迹”后，二次函数的图象便会出现在屏幕上，可以试着拖动a点、b点、c点，观察一下二次函数的图象的变化情况。如果图象不是很光滑的话，你可以选择菜单栏里的“显示”，然后鼠标单击“参数设置”，在出现的“对象参数选择”窗口里，鼠标单击“其他”按钮，出现“高级参数选择”窗口，设置“轨迹上的样点数目”为100（最大值为999。值越大，图象越光滑，但计算机的速度将变慢），按下“高级参数选择”窗口里的“继续”按钮，再按下“对象参数选择”窗口里的“确定”按钮，然后再重新构造轨迹。 -10.下面我们再把界面稍微美化一下，你可以把C点、J点隐藏掉，把D、F、H的标签也隐藏掉。再选中二次函数的图象，单击鼠标右键，设置它的“线型”为“粗线”，“颜色”为“红色”。最后你可以用一个画图软件（如Winxp带的“画图”）为你的几何画板程序设计一个标题和操作提示，用剪切板把它们贴到你的几何画板程序中去。完成的课件如下图所示： In the modern time, mainly in small and medium-sized enterprises, Foshan steel i