【中考12年】天津市2001中考数学试题分类解析 专题3 方程（组）和不等式（组）.doc

2001-2012年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题3：方程（组）和不等式（组）1、 选择题1. （2001天津市3分）若ab，则下列不等式一定成立的是【 】a1 b1 cab dab0【答案】d。【考点】不等式的性质。【分析】根据不等式的性质逐一作出判断：当a=1，b=2时，满足ab，但1不成立；当a=2 ，b=1时，满足ab，但1不成立；当0ab时，满足ab，但ab不成立；由ab根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变两边同时减去b得到：ab0。故选d。2.（2001天津市3分）甲、乙两人骑自行车同时从相距65km的两地相向而行，2h相遇，若甲比乙每小时多骑2.5km，则乙的速度是每小时【 】a12.5km b15km c17.5km d20km【答案】b。【考点】二元一次方程组的应用。【分析】设甲的速度是每小时x千米，乙的速度是每小时y千米，根据等量关系：甲速度=乙速度+2.5；2甲速度+2乙速度=65，得，解得。乙的速度是每小时15千米。故选b。3. （天津市2002年3分）制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本【 】（a）8.5% （b）9% （c）9.5% （d）10%【答案】d。【考点】一元二次方程的应用。【分析】设平均每次降低的百分率为x，则降低一次后的成本为100（1x）元，降低两次后的成本为100（1x）2元，而此时成本又是81元，根据这个等量关系列出方程： 100（1x）2=81， 解得：x=0.1，x=1.9（舍去）。故选d。4.（天津市2002年3分）若两个分式与的和等于它们的积，则实数的值为【 】（a）6 （b）6 （c）（d）【答案】a。【考点】解分式方程，公式法解一元二次方程。【分析】因为方程的最简公分母为：（3）（3）。故方程两边乘以（3）（3），化为整式方程后求解： 方程两边同乘以（3）（3），得（3）+6（3）=6， 整理，得， 解得=3或=6。 经检验：=6是原方程的解。故选a。5.（天津市2004年3分）为适应国民经济持续协调的发展，自2004年4月18日起，全国铁路第五次提速，提速后，火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1326千米，提速前火车的平均速度为千米/小时，提速后火车的平均速度为千米/时，则、应满足的关系式是【 】（a） (b) (c) (d) 【答案】c。【考点】由实际问题抽象出方程。【分析】由实际问题抽象出方程解题关键是找出关键描述语和等量关系，列出方程。本题关键描述语是：“由天津到上海的时间缩短了7.42小时”，等量关系为：提速前所用的时间提速后所用的时间=7.42小时 =7.42。故选c。6.（天津市2005年3分）不等式组的解集为 【 】（a）2x8 (b) 2x8(c) x8 (d) x2【答案】b。【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此 解第一个不等式得，x8，解第一个不等式得，x2。所以不等式组的解集为2x8故选b。7.（天津市2005年3分）若关于x的一元二次方程2x22x3m10的两个实数根x1，x2，且x1x2x1x24，则实数m的取值范围是【 】（a）m (b) m (c) m (d) m【答案】d。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解不等式。【分析】关于x的一元二次方程2x22x3m10的两个实数根x1，x2，根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后将其代入x1x2x1x24可得关于m的不等式；同时一元二次方程2x22x3m10的有两个实数根，有=b24ac0，也得到关于m的不等式，解不等式组即可求出m的取值范围：依题意得，而x1x2x1x24，3，解得m。又一元二次方程2x22x3m10的有两个实数根，=b24ac=442（3m1）0，解得m。m。故选d。8.（天津市2007年3分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是【 】 a. b. c. 且d. 且【答案】c。【考点】一元二次方程根的判别式.【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足=b24ac0：根据题意列出方程组，解之得且。故选c。9. （2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x2）（x3）=m有实数根x1,x2，且x1x2，有下列结论：x1=2，x2=3；二次函数y=（xx1）（xx2）m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）其中，正确结论的个数是【 】（a）0 （b）1 （c）2 （d）3 【答案】c。【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】一元二次方程实数根分别为x1、x2，x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论错误。一元二次方程（x2）（x3）=m化为一般形式得：x25x6m=0，方程有两个不相等的实数根x1、x2，=b24ac=（5）24（6m）=4m10，解得：。故结论正确。一元二次方程x25x6m=0实数根分别为x1、x2，x1x2=5，x1x2=6m。二次函数y=（xx1）（xx2）+m=x2（x1x2）xx1x2m=x25x（6m）m=x25x6=（x2）（x3）。令y=0，即（x2）（x3）=0，解得：x=2或3。 抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论正确。综上所述，正确的结论有2个：。故选c。二、填空题1. （2001天津市3分）不等式 的解集是 。【答案】x4。【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，解不等式，得x4；解不等式，得x5。所以不等式组的解集为：x4。2.（天津市2002年3分）若关于的方程的一个根是2，则它的另一个根是 .【答案】6。【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】根据根与系数的关系建立另一根和的方程，然后解方程求出另一根： 设方程的两根为=2，由题意知， 解得：。 另一根为6。3.（天津市2003年3分）不等式组的解集是 。【答案】41。【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。由第一个不等式得：4；由第二个不等式得：141。4.（天津市2003年3分）如果为互不相等的实数，且满足关系式与，那么的取值范围是 。【答案】。【考点】不等式的应用。【分析】根据已知条件和基本不等式可以得到含有的不等式，解这个关于的不等式就可以求出的范围：为互不相等的实数，即。将与代入，得，解得，。5.（天津市2004年3分）不等式 5x 93（x1）的解集是 .【答案】x6。【考点】解一元一次不等式。【分析】解不等式首先要去括号，然后移项合并同类项即可求得不等式的解集：不等式去括号，得5x93x3，移项合并同类项，得2x12，系数化1，得x6不等式5x 93（x1）的解集是x6。8.（天津市2006年3分）已知关于x的方程x2（a2）xa2b0的判别式等于0，且x是方程的根，则ab的值为 【答案】。【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解。【分析】由题意可得：=（a2）24（a2b）=0，即a28b4=0， 将x=代入原方程得：2a8b3=0， 二者联立得：，两方程相加可得a22a1=0，解得a=1。 把a=1代入2a8b3=0中，得。 则。9.（天津市2007年3分）不等式组的解集是 。【答案】6x1。【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。 由第一个不等式得，x6， 由第二个不等式得，x1， 所以不等式组解集是：6x1。10.（天津市2007年3分）方程的整数解是 。【答案】x=2。【考点】换元法解分式方程，因式分解法解一元二次方程。【分析】当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化，可设y=，则原方程可化为，即y25y6=0，解得y=2或3。=2或=3，解得x=2或x=1.5。经检验：x=2或1.5是原方程的解，但整数解是：x=2。11.（天津市2008年3分）不等式组的解集为 【答案】4x3。【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。 由第一个不等式得，x4， 由第二个不等式得，x3， 所以不等式组解集是：4x3。12.（天津市2011年3分）若分式的值为0，则的值等于 。【答案】1。【考点】解分式方程。【分析】由。三、解答题1. （2001天津市6分）解方程。 2.（2001天津市8分）某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有a，b两组检验员，其中a组有8名检验员他们先用两天将第一、二两个车间的成品检验完毕后，再去检验第三、四两个车间所有成品，又用去了三天时间；同时，用这五天时间，b组检验员也检验完余下的五个车间的成品，如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品。（1）用a，b表示b组检验员检验的成品总数；（2）求b组检验员的人数。【答案】解：（1）b组检验员检验的成品总数为5a+25b。 （2）每个检验员的检验速度一样，解得a=4b。每个检验员速度为：。b组检验员人数为：（人）。答： b组检验员的人数为12人。【考点】分式方程的应用。【分析】（1）b组检验员检验的成品总数=余下五个车间原有的成品+这5天新生产的成品。（2）工作效率=工作总量检验的人数，根据“每个检验员的检验速度一样快”，可用这个等量关系来列方程。3.（天津市2002年8分）解方程【答案】解：原方程可化为，设，则原方程可化为解得。当时，有，即，0，此方程无实根。当时，有，即，解得。经检验，是原方程的根。原方程的根是。【考点】换元法解分式方程，解一元二次方程。【分析】整理可知，方程的两个分式具备平方关系，设，则原方程化为。先求，再求注意检验。4.（天津市2002年8分）甲、乙两名职工接受相同数量的生产任务，开始时，乙比甲每天少做4件，乙比甲多用2天时间，这样甲、乙两人各剩624件，随后，乙改进了生产技术，每天比原来多件6件，而甲每天的工作量不变，结果两人完成全部生产任务所用的时间相同。求原来甲、乙两人每天各做多少件？每人的全部生产任务是多少？【答案】解：设原来甲每天做件，则乙每天做(4)件，改进技术后，乙每天做(4)6=(2)件。由题意，得，化简得 ，解得 x1=24,x2=-26,经检验，=24 ，=26都是原方程的根，=26不合题意，舍去。原来甲每天生产24件，乙每天生产20件。若设每人的全部生产任务为件，则，解得，。答：原来甲每天做24件，乙每天做20件，每人的全部生产任务是864件。【考点】分式方程和一次方程的应用，解一元二次方程。【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： 甲做624件用时乙改进生产技术做624件用时=2天 =2。 乙原来做624件用时甲原来做624件用时=2天 =2。5.（天津市2003年8分）解方程。【答案】解：设，则原方程可化为。解得，。当时，有，即，此方程无实根；当时，有，即，解得。经检验均是原方程的根。原方程的根是。【考点】换元法解分式方程，因式分解法解一元二次方程。【分析】如果设那么，原方程可化为，去分母，可以把分式方程转化为整式方程：。6.（天津市2003年8分）甲、乙两人分别从相距27千米的a、b两地同时出发相向而行，3小时后相遇，相遇后两人按原来的速度继续前进，甲到达b地比乙到达a地早1小时21分，求两人的速度。 （1）设甲的速度是千米/小时，乙的速度是千米/小时，根据题意，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表（要求适当的代数式，完成表格）：速度（千米/时）所用时间（时）所走的路程（千米）相遇时甲3乙3走完全程时甲27乙27（2）列出方程（组），并求出问题的解。【答案】解：（1） 速度（千米/时）所用时间（时）所走的路程（千米）相遇时甲33乙33走完全程时甲27乙27（2）根据题意得，解这个方程组得。经检验均为原方程组的解，而不合题意，舍去。为所求。答：甲每小时走5千米，乙每小时走4千米。【考点】二元一次方程组的应用。【分析】（1）可根据等量关系：路程=速度时间，来将表格填写完整。（2）本题的等量关系为：相遇时，甲的路程+乙的路程=ab之间的距离即27千米；走完全程时，乙用的时间甲用的时间=1小时21分，据此可列出方程组求解。7.（天津市2004年8分）解方程 .8.（天津市2005年6分）解方程组 【答案】解：根据一元二次方程根与系数的关系，这个方程组中的x，y恰好是方程z27z+12=0的两个根， 解z27z+12=0得z1=3，z2=4。 原方程组的解为：，。【考点】解二元二次方程组，一元二次方程根与系数的关系。【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，这个方程组中的x，y恰好是方程z27z+12=0的两个根，所以解z27z+12=0即可得到原方程组的解。 本题也可用代入法求解。9.（天津市2005年8分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答；也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答。李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书。解题方案设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示：（）李明原计划读完这本书需用_天；（）改变计划时，已读了_页，还剩_页；（）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需_天；（）根据问题中的相等关系，列出相应方程_;（）李明原计划平均每天读书_页（用数字作答）【答案】解：（）；（）5x，（200-5x）；（）；（）；（）20。【考点】分式方程的应用。【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：原计划天数 实际用的天数 =1。10.（天津市2006年8分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答；也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答。某农场开挖一条长960米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？解题方案设原计划每天挖x米，（）用含x的代数式表示：开工后实际每天挖_米，完成任务原计划用_天，实际用_天；（）根据题意，列出相应方程_;（）解这个方程，得_；（）检验：_;（）答：原计划每天挖_米（用数字作答）。11.（天津市2007年8分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程。如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可。甲乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时。问二人每小时各走几千米？（1）设乙每小时走千米，根据题意，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表。（要求：填上适当的代数式，完成表格）（2）列出方程（组），并求出问题的解。12.（天津市2007年10分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，。（1）试证明；（2）证明；（3）对于二次函数，若自变量取值为，其对应的函数值为，则当时，试比较与的大小。【答案】解：（1）证明将已知的一元二次方程化为一般形式是该方程的两个实数根，。又， 。 。（2） ， 。，即。（3）当时，有。证明如下：，。， 。又，。 ， 。， 。由于， ，即。 当时，有。【考点】一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，求出与两根之和、两根之积的关系式，利用已知条件就可以证明题目结论。（2）利用完全平方公式得出即可证明。（3）把，分别代入方程得出关于，与的代数式，再用作差法比较大小。13.（天津市2008年6分）解二元一次方程组【答案】解： 由得， 将代入，得，解得。代入，得。原方程组的解为【考点】解二元一次方程组。【分析】通过观察本题用代入法较简单，把变成的形式，直接代入，进行解答即可。14.（天津市2008年8分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可天津市奥林匹克中心体育场“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度（）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表（要求：填上适当的代数式，完成表格）速度（千米时）所用时间（时）所走的路程（千米）骑自行车10乘汽车10（）列出方程（组），并求出问题的解【答案】解：（）速度（千米时）所用时间（时）所走的路程（千米）骑自行车10乘汽车10（）根据题意，列方程得。解这个方程，得。经检验，是原方程的根。 所以，。 答：骑车同学的速度为每小时15千米。【考点】分式方程的应用【分析】（）根据关系式：时间=路程速度；速度=路程时间填表。（）等量关系为：骑自行车同学所用时间=坐汽车同学所用时间+。15.（天津市2009年6分）解不等式组【答案】解：由得，由得， 。原不等式组的解集为。【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。16.（天津市2009年8分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为23，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为23，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图的情况，得到矩形结合以上分析完成填空：如图，用含的代数式表示：=_cm；=_cm；矩形的面积为_cm；列出方程并完成本题解答【答案】解：（1）。（2）根据题意，得，整理，得，解得（不合题意，舍去）。则。答：每个横、竖彩条的宽度分别为cm，cm。【考点】一元二次方程的应用。【分析】因为每个竖彩条的宽为3x，图中有两个竖条，所以得到ab=2023x=206x；又每个横彩条的宽为2x，图中有两个横条，所以bc=3022x=304x，然后用abbc即为矩形abcd的面积，从题中已知可知矩形abcd的面积等于总体面积的，根据题中的等量关系：矩形abcd的面积=，列出方程求解，再根据条件取值。17.（天津市2010年6分）解不等式组。【答案】解： 解不等式，得，解不等式，得， 原不等式组的解集为。【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。18.（天津市2010年8分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答青山村种的水稻2007年平均每公顷产8 000 kg，2009年平均每公顷产9 680 kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率.解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为.（）用含的代数式表示： 2008年种的水稻平均每公顷的产量为 ； 2009年种的水稻平均每公顷的产量为 ；（）根据题意，列出相应方程 ；（）解这个方程，得 ；（）检验： ；（）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %.【答案】解：（）；（）； （），；（），都是原方程的根，但不符合题意，所以只取；（）10。【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。【分析】解此类题时，先将所求问题设为，根据增长后的产值=增长前的产值（1+增长率），即可用含的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解。19.（天津市2011年6分）解不等式组【答案】解： 解不等式，得。 解不等式，得。 原不等式组的解集为。【考点】解一元一次不等式组。【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。20.（天津市2011年8分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可 某商品现在的售价为每件35元每天可卖出50件市场调查反映：如果调整价格每降价1元，每天可多卖出2件请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?设每件商品降价元每天的销售额为元(i) 分析：根据问题中的数量关系用含的式子填表： () (由以上分析，用含的式子表示，并求出问题的解) 【答案】解：（） （）根据题意，每天的销售额 整理配方，得。 当=5时，取得最大值1800。 答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元。【考点】列函数关系式，二次函数的应用。【分析】（）根据题意，可分析出结果。 （）列函数关系式是找出等量关系： 每天的销售额=每件售价每天销量 求每件商品降价多少元时的