常微分方程教学大纲.doc

常微分方程教学大纲 陇南师专数学教育专业常微分方程教学大纲说明课程性质常微分方程是数学教育专业的一门重要的必修课程，在第三学期开设。分析数学研究的基本对象是函数（泛函、算子）和方程。在大量的实际问题中遇到比较复杂的运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却比较容易建立这些量和它们的导数（或微分）间的关系式，即微分方程。从数学发展史看，微分方程不仅是分析数学联系实际问题的重要桥梁，而且是体现分析数学的众多重要思想的窗口。微分方程研究的主要内容是如何求解微分方程和解的适定性问题（各种属性），它是数学系列课程以及数学教育专业其它后继课程的重要基础。教学目的掌握微分方程的基本概念、基本理论和基本方法；初步具有分析问题和解决问题（包括可化为微分方程问题的数学理论问题和以微分方程为模型的应用问题）的能力；为分析数学的后继课程备好必要的基础知识。教学内容共分6部分：（1）微分方程的基本概念和初等积分法；（2）微分方程的基本理论；（3）线性微分方程的一般理论和关于常系数线性微分方程的特征根法、比较系数法、常数变易法及Laplace变换；（4）一阶线性方程组的一般理论和常系数线性微分方程组的解法，主要是特征根法和常数变易法；（5）定性理论和稳定性理论的初步知识；（6）一阶偏微分方程简介，重点介绍首次积分法。教学时数总学时72学时。教学方式讲授、组织讨论等方式。第一章 一阶常微分方程教学要点 1、 微分方程、阶、解与隐式解、通解与特解、积分曲线与方向场、定解问题，建立微分方程求解应用问题的基本方法。2、变量分离方程、可化为变量分离方程的方程、线性方程和常数变易法、恰当方程和积分因子法、一阶隐微分方程及参数解法。教学时数20学时。教学内容第一节 微分方程与解。(1)、微分方程、阶、解。(2)、隐式解、通解与特解。(3)、积分曲线与方向场、定解问题。第二节 变量可分离方程 变量分离方程、可化为变量分离方程的类型、应用举例。第二节 一阶线性方程一阶线性方程、可化为一阶线性方程的方程类型、应用举例。第三节 齐次方程 齐次方程、可化为齐次方程的类型、应用举例。第四节 全微分方程及积分因子。 全微分方程、可化为全微分方程的一阶微分方程、两种特殊的积分因子、积分因子。第五节 线素场、欧拉折线。第六节 微分方程对应的线素场、利用线素场求积分曲线、欧拉折线的概念。第七节 一阶隐式微分方程。一阶隐式微分方程、克莱洛方程。第八节 一阶微分方程的应用举例。 自由落体运动、弹簧伸缩、细胞分裂。第九节 几种可降阶的高阶方程 。 恰当方程、积分因子法、分项组合法。第十节 习题课。考核要求通过本章的学习使学生掌握：1、微分方程中某些物理过程的数学模型。2、微分方程的背景，建立微分方程求解应用问题的基本方法。3、微分方程的基本概念。第二章 一阶微分方程的解的存在唯一性定理教学要点解的存在唯一性定理、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微性定理、奇解。教学时数10学时。教学内容1、解的存在唯一性定理与逐次逼近法。解的存在唯一性定理及其证明、Lipschitz条件、Picard逼近序列、逐次逼近法。2、解的延拓定理与延拓条件。3、解对初值的连续依赖性和可微性定理。*4、奇解、包络、奇解、Clairaut方程。5、习题课。考核要求通过本章的学习使学生掌握：1、解的存在唯一性定理与逐次逼近法。2、解的延拓定理与延拓条件。第三章 n阶线性方程教学要点1、 n阶线性微分方程的一般理论。2、 常数变易法、特征根法、比较系数法、* Laplace变换。3、 n阶线性微分齐次（非齐次方程）的一般理论。教学时数10学时。教学内容第一节 线性方程的一般理论。 （主要内容）第二节 n阶线性微分齐次方程。 （主要内容）第三节 n阶线性微分非齐次方程。第四节 n阶常系数齐次线性方程的解法。 第四节 习题课。考核要求通过本章的学习使学生掌握：1、线性微分方程的一般理论和解法。2、常系数线性微分方程的解法、特征根法、比较系数法。第四章 线性微分方程组教学要点线性微分方程组的一般理论、常数变易法教学时数8学时。教学内容第一节 一阶微分方程组的概念 （2学时）(1)、微分方程组解的存在唯一性定理。(2)、高阶微分方程化一阶微分方程组的方法。第二节 线性微分方程组的一般理论 （2学时）(1)、线性微分方程组的一般理论。(2)、常数变易法。第三节 线性齐次方程组的一般理论 。 （2学时）系数矩阵、特征方程、* Laplace变换。第四节 习题课 （2学时）考核要求通过本章的学习使学生掌握：1、一阶微分方程组的一般理论和解法；2、常数变易法。第五章 高阶微分方程 教学要点高阶线性微分方程的一般理论，常数变易法、特征根法、比较系数法、Laplace变换，几种可降阶的高阶微分方程的解法。教学时数8学时。教学内容1、线性微分方程的一般理论。2、高阶线性微分方程的一般理论、常数变易法。3、常系数线性微分方程的解法、特征根法、比较系数法、*Laplace变换。4、高阶方程的降阶和幂级数解法。几种可降阶的高阶微分方程的解法、*幂级数解法。5、习题课考核要求通过本章的学习使学生掌握：1、线性微分方程的一般理论2、高阶线性微分方程的一般理论、常数变易法；常系数线性微分方程的解法、特征根法、比较系数法、Laplace变换。第六章 非线性微分方程和稳定性教学要点相平面、稳定性、Liapunov第二方法。教学时数16学时。教学内容1、引言。存在唯一性定理、稳定性。2、相平面。相平面、奇点分类、按线性近似决定微分方程组的稳定性。*3、Liapunov第二方法。Liapunov第二方法。*4、极限圈、周期解、极限环。参