北大计量经济学讲义-第四讲.ppt

IntermediateEconometrics YanShen 1 MultipleRegressionAnalysis Inference多元回归分析 推断 1 y b0 b1x1 b2x2 bkxk u IntermediateEconometrics YanShen 2 ChapterOutline本章提纲 SamplingDistributionsoftheOLSEstimatorsOLS估计量的样本分布TestingHypothesisAboutaSinglePopulationParameter Thettest单个总体参数的假设检验 t检验ConfidenceIntervals置信区间TestingHypothesesAboutaSingleLinearCombinationoftheParameters参数线性组合的假设检验 一维情形 TestingMultipleLinearRestrictions TheFTest多个线性约束的假设检验 F检验ReportingRegressionResults报告回归结果 IntermediateEconometrics YanShen 3 LectureOutline本课提纲 SamplingDistributions Review样本分布 复习CLMassumptionsandSamplingDistributionsoftheOLSEstimators经典假设与OLS估计量的样本分布Backgroundreviewofhypothesistesting假设检验的背景知识One sidedandtwo sidedttests单边与双边t检验Calculatingthepvalues计算p值 IntermediateEconometrics YanShen 4 SamplingDistribution Review样本分布 复习 Simplerandomsamplingisthecasewherenobjectsareselectedatrandomfromapopulation andeachmemberofthepopulationisequallylikelytobeincludedinthesample 简单随机抽样是指从总体中随机取样n次 使得总体中的每个元素在样本中的出现的可能性相同 Wheny1 y2 ynaredrawnfromthesamedistributionandareindependentlydistributed theyaresaidtobeindependentlyandidenticallydistributed ori i d 如果y1 y2 yn来自于同一分布且相互独立 则称这一组随机变量独立同分布 i i d IntermediateEconometrics YanShen 5 SamplingDistribution Review样本分布 复习 Samplingdistributionsplayacentralroleinthedevelopmentofstatisticalandeconometricprocedures 样本分布在统计学和计量经济学发展中具有核心地位Itistheprobabilitydistributionofanestimatoroverallpossibleoutcomes 它是指一个估计量在其所有可能取值上的概率分布Therearetwoapproachescharacteringsamplingdistributions an exact approachandan approximate approach 刻画样本分布的两种方式 准确 方式和 近似 方式 IntermediateEconometrics YanShen 6 SamplingDistribution Review样本分布 复习 The exact approachentailsderivingaformulaforthesamplingdistributionthatholdsexactlyforanyvalueofn 准确 方式需要对任何n的取值都得到样本分布的精确表达式 Suchdistributioniscalledtheexactdistributionorfinite sampledistribution 这样的分布被称为小样本 有限样本 的准确分布Forexample ifyisnormallydistributed andy1 y2 ynarei i d thentheiraveragehasanexactdistributionofnormaldistribution 例如 如果y服从正态分布 且y1 y2 yn独立同分布 则其均值恰好服从正态分布 IntermediateEconometrics YanShen 7 SamplingDistribution Review样本分布 复习 The approximate approachusesapproximationstothesamplingdistributionsthatrelyonthesamplesizebeinglarge 近似 方式对样本分布进行大样本下的近似 Thelargesampleapproximationtothesamplingdistributionisoftencalledtheasymptoticdistribution 对样本分布的大样本近似常称为渐近分布 Theasymptoticdistributionscanbecountedontoprovidedgoodapproximationstotheexactsamplingdistribution aslongasthesamplesizeislarge 只要样本量足够大 渐近分布就是对准确分布的很好的近似 Twokeytools thelawoflargenumbers andthecentrallimittheorem 两个重要工具 大数定律 中心极限定理 IntermediateEconometrics YanShen 8 TheLawofLargeNumbers大数定律 Thelawsaysthatundergeneralconditions thesampleaveragewillbeclosetothepopulationmeanwithveryhighprobabilitywhenthesamplesizeislarge 大数定律 在一般情形下 当样本量充分大时 样本均值将以很高的概率逼近总体均值 Theconditionsforthelawoflargenumberthatwewilluseinthiscoursearethatyarei i drandomdrawsandtheitsvarianceisfinite 本课中 为了应用大数定律 我们假设y为独立同分布具有有限方差的随机取样 IntermediateEconometrics YanShen 9 TheCentralLimitTheorem中心极限定理 Thistheoremstatesthatundergeneralconditions thesamplingdistributionofthestandardizedsampleaverageiswellapproximatedbyastandardnormaldistributionwhenthesamplesizeislarge 这个定理说明 在一般条件下 如果样本足够大 标准化的样本均值的样本分布可以由标准正态分布近似 scanStockandWatson p45 47 and49forillustration 参考 StockandWatson IntermediateEconometrics YanShen 10 SamplingDistributionofOLSEstimatorsOLS估计量的样本分布 WehavediscussedtheexpectedvalueandvariancesoftheOLSestimators buttoperformstatisticalinference wewishtoknowthefullsamplingdistribution 我们已经讨论了OLS估计量的期望和方差 但是为了进行统计推断 我们仍希望知道样本分布 ThesamplingdistributionsoftheOLSestimatorsdependontheunderlyingdistributionoftheerrors OLS估计量的样本分布依赖于对误差项分布的假设 IntermediateEconometrics YanShen 11 AssumptionMLR 6 Normality 假设MLR 6 正态 Sofar weknowthatgiventheGauss Markovassumptions OLSisBLUE 我们已经知道当Gauss Markov假设成立时 OLS是最优线性无偏估计 Inordertodoclassicalhypothesistesting weneedtoaddanotherassumption beyondtheGauss Markovassumptions 为了进行经典的假设检验 我们要在Gauss Markov假设之外增加另一假设 AssumptionMLR 6 Normality Assumethatuisindependentofx1 x2 xkanduisnormallydistributedwithzeromeanandvariances2 u Normal 0 s2 假设MLR 6 正态 假设u与x1 x2 xk独立 且u服从均值为0 方差为s2的正态分布 IntermediateEconometrics YanShen 12 CLMAssumptions经典线性模型假设 AssumptionsMLR 1 MLR 6arecalledtheclassicallinearmodel CLM assumptions 假设MLR 1 MLR 被称为经典线性模型假设Werefertothemodelunderthesesixassumptionsastheclassicallinearmodel 我们将满足这六个假设的模型称为经典线性模型UnderCLM OLSisnotonlyBLUE butalsotheminimumvarianceunbiasedestimator thatis amonglinearandnonlinearestimators OLSestimatorgivesthesmallestvariance 在经典线性模型假设下 OLS不仅是BLUE 而且是最小方差无偏估计量 即在所有线性和非线性的估计量中 OLS估计量具有最小的方差 IntermediateEconometrics YanShen 13 CLMAssumptions经典线性模型假设 WecansummarizethepopulationassumptionsofCLMasfollows我们对总体的经典线性模型假设做个总结y x Normal b0 b1x1 bkxk s2 Whilefornowwejustassumenormality sometimesthisisnotthecase尽管现在我们假设了正态 但有时候并不是这种情况 IntermediateEconometrics YanShen 14 CLMAssumptions经典线性模型假设 Whatshouldwedowhenthenormalityassumptionfails 如果正态假设不成立怎么办 Usingatransformation especiallytakingthelog oftenyieldsadistributionthatisclosertonormal 通过变换 特别是通过取自然对数 往往可以得到接近于正态的分布 Largesampleswillletusdropnormality theapproximateapproach 大样本允许我们放弃正态假设 近似方式 IntermediateEconometrics YanShen 15 x1 x2 Thehomoskedasticnormaldistributionwithasingleexplanatoryvariable同方差正态分布 单解释变量情形 E y x b0 b1x y f y x Normaldistributions IntermediateEconometrics YanShen 16 Theorem4 1NormalSamplingDistributions定理4 1正态样本分布 IntermediateEconometrics YanShen 17 BriefProofofTheorem4 1证明提要 IntermediateEconometrics YanShen 18 BriefProofofTheorem4 1证明提要 IntermediateEconometrics YanShen 19 Theorem4 1canbeextended Anylinearcombinationsofisalsonormallydistributed andanysubsetofhasajointnormaldistribution 可以扩展定理4 1 的任意线性组合服从正态分布 任意子集服从联合正态 Wewillusethesefactsinhypothesistesting 我们将利用这些事实来进行假设检验 Theorem4 1NormalSamplingDistributions定理4 1正态样本分布 IntermediateEconometrics YanShen 20 TestingHypothesesaboutaSinglePopulationParameter thet test对单个总体参数的假设检验 t检验 ConsiderapopulationmodelwhichsatisfiestheCLMassumptions Wenowstudyhowtotesthypothesesaboutaparticular考虑总体中满足CLM的模型我们现在研究如何对一个特定的进行假设检验 IntermediateEconometrics YanShen 21 BackgroundReview背景知识回顾 Thehypothesistobetestediscalledthenullhypothesis 被检验的假设称为零假设Hypothesistestingentailsusingdatatocomparethenullhypothesiswithasecondhypothesis i e thealternativehypothesis 假设检验利用数据将零假设和另一个假设 替代假设 进行比较 IntermediateEconometrics YanShen 22 BackgroundReview背景知识回顾 Thealternativehypothesisspecifieswhatistrueifthenullhypothesisisnot 替代假设给出在零假设不成立时的真实情况 Ourgoal usetheevidenceinarandomlyselectedsampleofdatatodecidewhethertoacceptthenullhypothesis 我们的目的 利用一个随机选取的样本提供给我们的证据来决定是否应当接受零假设 IntermediateEconometrics YanShen 23 BackgroundReview背景知识回顾 Twokindsofmistakesarepossibleinhypothesistesting 在假设检验中存在两种可能的错误 TypeIerror rejectthenullhypothesiswhenitisinfacttrue 第一类错误 当零假设为真时拒绝零假设 弃真 TypeIIerror failtorejectthenullwhenitisactuallyfalse 第二类错误 当零假设为假时未拒绝零假设 取伪 IntermediateEconometrics YanShen 24 BackgroundReview背景知识回顾 HypothesistestingrulesareconstructedtomaketheprobabilityofcommittingtypeIerrorfairlysmall 我们建立一些假设检验的规则使发生第一类错误的概率非常小 Thesignificancelevel level ofatestistheprobabilityofaTypeIerror 一个检验的显著性水平是发生第一类错误的概率 Commonlyspecifiedsignificancelevels 0 1 0 05 0 01 Ifitequals0 05 itmeanstheresearcheriswillingtofalselyrejectthenullat5 ofthetime 通常设定的限制性水平为 0 1 0 05 0 01 如果为0 05意味着研究者愿意在5 的检验中错误地拒绝零假设 IntermediateEconometrics YanShen 25 BackgroundReview背景知识回顾 Thecriticalvalueoftheteststatisticisthevalueofthestatisticforwhichthetestjustrejectthenullhypothesisatthegivensignificancelevel 检验统计量的临界值是使得零假设刚好在给定显著性水平上被拒绝的统计量的值 Thesetofvaluesoftheteststatisticforwhichthetestrejectsthenullistherejectionregion andthevaluesoftheteststatisticforwhichitdoesnotrejectthenullistheacceptanceregion 假设检验中 使得零假设被拒绝的检验统计量的取值范围称为拒绝域 使得零假设不能被拒绝的检验统计量的取值范围成为接受域 IntermediateEconometrics YanShen 26 BackgroundReview背景知识回顾 Theprobabilitythatatestactuallyincorrectlyrejectsthenullhypothesiswhenthenullistrueisthesizeofthetest 当零假设为真而错误地拒绝零假设的概率称为检验的容量 Theprobabilitythatatestcorrectlyrejectthenullwhenthealternativeistrueisthepowerofthetest 当替代假设为真并正确地拒绝零假设的概率称为检验的势 IntermediateEconometrics YanShen 27 BackgroundReview背景知识回顾 Ateststatistic T issomefunctionoftherandomsample Whenwecomputethestatisticforaparticularsample weobtainanoutcomeoftheteststatistic t 一个检验统计量 T 是关于随机样本的一个函数 当我们用某一特定样本计算此统计量时 我们得到这个检验统计量的一个实现 t IntermediateEconometrics YanShen 28 Theorem4 2tDistributionfortheStandardizedEstimators定理4 2 标准化估计量的t分布 IntermediateEconometrics YanShen 29 ThetTest cont t检验 Knowingthesamplingdistributionforthestandardizedestimatorallowsustocarryouthypothesistests知道标准化估计量的样本分布后 便可以进行假设检验Startwithanullhypothesis由零假设出发Forexample H0 bj 0例如 H0 bj 0Ifacceptnull thenacceptthatxjhasnopartialeffectony controllingforotherx s如果接受零假设 则认为控制x其它分量后 xj对y没有边际影响 IntermediateEconometrics YanShen 30 ThetTest cont IntermediateEconometrics YanShen 31 ThetTest cont Thetstatisticmeasureshowmanyestimatedstandarddeviationsisawayfromzero t统计量度量了估计值相对0偏离了多少个估计的标准差 Itssignisthesameas它的符号与相同Noticewearetestinghypothesesaboutthepopulationparameters nottestinghypothesesabouttheestimatesfromaparticularsample 注意我们检验的是关于总体参数的假设 而不是关于来自某一特定样本的估计值的假设 IntermediateEconometrics YanShen 32 tTest One SidedAlternativest检验 单边替代假设 Besidesournull H0 weneedanalternativehypothesis H1 andasignificancelevel除了零假设外 我们需要替代假设H1 并设定显著性水平H1maybeone sided ortwo sidedH1可以是单边或双边的H1 bj 0andH1 bj0和H1 bj 0是单边的H1 bj 0isatwo sidedalternativeH1 bj 0是双边替代假设Ifwewanttohaveonlya5 probabilityofrejectingH0ifitisreallytrue thenwesayoursignificancelevelis5 如果我们愿意在5 的概率上错误地拒绝实际上为真的零假设 则说我们的显著水平为5 IntermediateEconometrics YanShen 33 One SidedAlternatives cont 单边替代假设 Havingpickedasignificancelevel a welookupthe 1 a thpercentileinatdistributionwithn k 1degreeoffreedomandcallthisc thecriticalvalue 取定显著性水平a后 找到自由度为n k 1的t分布的 1 a 分位数c 即临界值 IntermediateEconometrics YanShen 34 One SidedAlternatives cont IfH0 bj 0versusH1 bj 0 werejectH0iftbj c failtorejectH0iftbj0 当tbj c时我们拒绝H0 当tbj c 由于t分布是对称的 如果H0 bj 0对H1 bj c 则不能拒绝H0 IntermediateEconometrics YanShen 35 yi b0 b1xi1 bkxik uiH0 bj 0H1 bj 0 c 0 a 1 a One SidedAlternatives cont 单边替代假设 Failtoreject reject IntermediateEconometrics YanShen 36 Thetdistributionversusnormaldistributiont分布与正态分布 Noticethatasthedegreeoffreedominthetdistributiongetslarge thetdistributionapproachesthestandardnormaldistribution 注意 当t分布的自由度增大时 t分布趋近于标准正态分布 IntermediateEconometrics YanShen 37 Example StudentPerformanceandSchoolSize例子 学生表现与学校规模 Question Doeslargerclasssizeresultsinpoorerstudentperformance 问题 是不是较大的班级意味着较差的学生表现 Use408highschoolsinMichiganforyear1993 performthefollowingregression 应用1993年408个密歇根州中学的数据 进行如下回归 math10 2 274 0 00046totcomp 0 048staff 0002enroll 6 113 0 0001 0 04 0 00022 math10 percentageofstudentspassingtheMEAPstandardizedgrade10mathtest通过MEAP标准化10年级数学测验的学生百分比totcomp averageannualteacher scompensation平均教师年度补偿staff thenumberofstaffperonethousandstudents每千个学生对应的工作人员数目enroll studentenrollment学生录取 IntermediateEconometrics YanShen 38 Decidethetestinghypotheses 确定被检验的假设H0 enroll 0versusH1 enroll 1 65 wefailtorejectthenull 由于 0 91 1 65 我们不能拒绝零假设 Example StudentPerformanceandSchoolSize例子 学生表现与学校规模 IntermediateEconometrics YanShen 39 Ifwearealsointerestedinaskingwhetherbetter paidteachersleadstobetterstudentperformance wecantest如果我们同样感兴趣是否高收入的教师会使学生表现更好 我们可以检验 H0 totcomp 0versusH1 totcomp 0Thecalculatedtstatisticequals4 6 Since4 6 2 326 thereforerejectingtheH0at1 level 计算得到的t统计量为4 6 由于4 6 2 326 故在1 显著水平下拒绝零假设 Example StudentPerformanceandSchoolSize例子 学生表现与学校规模 IntermediateEconometrics YanShen 40 TheTwo sidedAlternatives双边替代假设 H1 bj 0isatwo sidedalternative Underthisalternative wehavenotspecifiedthesignofthepartialeffectofxjony H1 bj 0为双边替代假设 在此替代假设下 我们并未规定xj对y影响的符号 Foratwo sidedtest wesetthecriticalvaluebasedona 2andrejectH0iftheabsolutevalueofthetstatistic c cisthe97 5thpercentileinthetdistributionwithn k 1degreesoffreedomifa 0 05 对于双边检验 我们根据a 2计算临界值 当t的绝对值大于临界值c时 拒绝零假设 当a 0 05时 c是n k 1自由度的t分布的97 5分位数 IntermediateEconometrics YanShen 41 yi b0 b1Xi1 bkXik uiH0 bj 0H1 bj 0 c 0 a 2 1 a c a 2 Two SidedAlternatives双边替代假设 reject reject failtoreject IntermediateEconometrics YanShen 42 Example StudentPerformanceandSchoolSizecontinued例子 学生表现与学校规模 Wehaveestimated我们已经得到 math10 2 274 0 00046totcomp 0 048staff 0002enroll 6 113 0 0001 0 04 0 00022 Ifthequestionis whetherthenumberofteachershasimpactsonstudentperformance wecanformhypothesesof H0 bstaff 0 H1 bstaff 0 如果问题是 教师数目是否对学生表现有影响 我们可以检验如下假设 H0 bstaff 0 H1 bstaff 0 Thecalculatedtratiois1 2 The5 criticalvalueofstandardnormalis1 96 Since1 2 1 96 wefailtorejectthenull计算得到的t值为1 2 标准正态分布的在5 的显著水平对应的临界值为1 96 由于1 2 1 96 我们不能拒绝零假设 IntermediateEconometrics YanShen 43 SummaryforH0 bj 0总结 Unlessotherwisestated thealternativeisassumedtobetwo sided除非特别指出 我们总认为替代假设是双边的Ifwerejectthenull wetypicallysay xjisstatisticallysignificantatthea level 如果拒绝了零假设 我们通常说 xj在a 水平下显著 Ifwefailtorejectthenull wetypicallysay xjisstatisticallyinsignificantatthea level 如果不能拒绝零假设 我们通常说 xj在a 水平下不显著 IntermediateEconometrics YanShen 44 Testingotherhypotheses其他假设检验 AmoregeneralformofthetstatisticrecognizesthatwemaywanttotestsomethinglikeH0 bj aj如果我们想对形如H0 bj aj的假设进行检验 需要更一般的t统计量Inthiscase theappropriatetstatisticis此时 恰当的t统计量是 IntermediateEconometrics YanShen 45 Example CampusCrimeandEnrollment例子 校园犯罪与录取 Question Will1 increaseinenrollmentincreasecampuscrimebymorethan1 问题 录取量提高1 是否会导致校园犯罪增加超过1 Supposetotalnumberofcrimesisdeterminedby假设犯罪总数由下式决定crime exp b0 enrollb1exp u Onecanestimate可以估计log crime b0 b1log enroll u IntermediateEconometrics YanShen 46 Example CampusCrimeandEnrollment例子 校园犯罪与录取 AndtestH0 b1 1H1 b1 1 UsingdatafromtheFBI suniformCrimereports 97observations theestimatedequationis利用FBI犯罪报告 97个观察值 的数据 估计得到方程 log crime 6 63 1 27log enroll 1 03 0 11 Thecorrecttratio 1 27 1 0 11 2 45 The1 one sidedcriticalvalueforatdistributionwith95degreesoffreedomis2 37 2 45 Thereforerejectthenull t值 1 27 1 0 11 2 45 对于95自由度的t分布 1 显著水平下单边检验的临界值为2 37 2 45 拒绝零假设 IntermediateEconometrics YanShen 47 Computingp valuesfortTests计算t检验的p值 Thestepsinclassicalhypothesistesting 经典假设检验的步骤Statethenullandthealternativehypothesis表述零假设和替代假设Decideasignificancelevelandfindtherelatedcriticalvalue决定显著水平 找到临界值Calculatethetstatisticbasedonthesampledata根据样本数据计算t统计量Comparethetstatisticwiththecriticalvaluetodecidewhethertorejectthenull比较t值与临界值 决定是否拒绝零假设 IntermediateEconometrics YanShen 48 Computingp valuesfortTests计算t检验的p值 Supposeat40degreesoffreedom acalculatedtratiois2 423 therelated5 and1 criticalvaluesare2 021and2 704 respectively Shouldwerejectornottorejectthenull 假设自由度为40 算得t值为2 423 对应5 和1 的临界值分别为2 021和2 704 我们是否应当拒绝零假设 Committingtoasignificancelevelaheadoftimecanhideusefulinformationabouttheoutcomeofahypothesistest 提前确定显著水平可能会隐藏关于假设检验的一些有用信息 Tobe ornottobe thatisthequestion Hamlet 3 1 64 98 IntermediateEconometrics YanShen 49 Computingp valuesfortTests计算t检验的p值 Analternativetotheclassicalapproach Ifthecalculatedtstatisticisusedascriticalvalue whatisthesmallestsignificancelevelatwhichthenullhypothesiswouldberejected 另一种想法 如果将算得的t统计量作为临界值 那么使得零假设被拒绝的最小显著水平是多少 Thislevelisknownasthep value Foratwo sidedalternative 这个水平称为p值 对于双边检验p value P T t IntermediateEconometrics YanShen 50 Computingp valuesfortTests计算t检验的p值 C0 025 C0 025 C0 005 C0 005 C0 01 C0 01 p 2 p 2 Intheaboveexample itmustbetruethat1 2 423 2P T 2 423 0 02 IntermediateEconometrics YanShen 51 Usefulinformationaboutp values一些关于p值的信息 Becauseitisaprobability itsrangeisbetween0and1 由于这是一个概率 其取值范围在0 1之间Smallpvaluesareevidenceagainstthenull largepvaluesprovidelittleevidenceagainstthenull 小p值提供了拒绝零假设的证据 大p值不能提供证据拒绝零假设 Anotherangletounderstandpvalues Ifthenullistrue whatistheprobabilityofobservingatstatisticlikethecalculatedone 理解p值的其它角度 如果零假设为真 那么有多大的概率可以观察到算得的t值 IntermediateEconometrics YanShen 52 EconomicSignificanceversusstatisticalsignificance经济重要性与统计显著性 Statisticalsignificanceisdeterminedtotallybyhowlargeisthetstatistic 统计显著性完全由t统计量的大小决定 Economicsignificancefocusonthemagnitudeoftheestimatedcoefficients 经济上的重要性强调估计系数的大小 Bothneedtobeconsideredtogetabalancedviewaboutaregressor spartialeffectony 权衡两者来判断解释变量对被解释变量的边际影响 IntermediateEconometrics YanShen 53 MultipleRegressionAnalysis Inference多元回归分析 推断 2 y b0 b1x1 b2x2 bkxk u IntermediateEconometrics YanShen 54 ChapterOutline SamplingDistributionsoftheOLSEstimatorsOLS估计量的样本分布TestingHypothesisAboutaSinglePopulationParameter Thettest单总体参数的假设检验 t检验ConfidenceIntervals置信区间TestingHypothesesAboutaSingleLinearCombinationoftheParameters参数线性组合的假设检验 一维情形 TestingMultipleLinearRestrictions TheFTest多个线性约束的假设检验 F检验ReportingRegressionResults报告回归结果 IntermediateEconometrics YanShen 55 LectureOutline ConfidenceIntervals Review置信区间 复习Howtoconstructconfidenceintervals如何构造置信区间TestingLinearcombinations检验线性组合 IntermediateEconometrics YanShen 56 ConfidenceIntervals置信区间 Becauseofrandomsamplingerror itisimpossibletolearntheexactvalueofbusingonlytheinformationinthesample 由于随机取样误差的存在 我们不可能通过样本知道b的准确值 Butitispossibletousedatafromarandomsampletoconstructasetofvaluesthatcontainsthetruevaluewithacertainspecifiedprobability 但是利用来自随机样本的数据构造一个取值的集合 使得真值在给定概率下属于这个集合是可能的 IntermediateEconometrics YanShen 57 ConfidenceIntervals置信区间 Suchasetiscalledaconfidenceset andthepre specifiedprobabilitythatthetruevalueiscontainedinthissetiscalledtheconfidencelevel 这样的集合称为置信集 预先设定的真值属于此集合的概率称为置信水平 置信度 Theconfidencesetturnsouttobeallthepossiblevaluesbetweenalowerandanupperlimit sothattheconfidencesetisaninterval i e confidenceinterval 置信集是下限和上限之间所有可能的取值 故置信集为一个区间 称为置信区间 IntermediateEconometrics YanShen 58 ConstructingConfidenceIntervals构造置信区间 Considerthefollowingsimulationstudythatthetruevalueisknown 考虑一个模拟研究 此时真值已知Supposethesampley1 y2 y10arei i ddrawsfromN 2 1 and20ofsuchrandomsamplesaredrawn Wethencalculatethesampleaverageandtherelatedtstatistic 假设样本y1 y2 y10服从N 2 1 且独立同分布 取20个样本 计算样本均值和对应的t值 IntermediateEconometrics YanShen 59 IntermediateEconometrics YanShen 60 ConstructingConfidenceIntervals构造置信区间 In95 ofallsamples wecorrectlyacceptthemean tobe2 在95 的样本中 我们正确地接受了 2Thevaluesincolumn2canbeputintotheconfidenceset exceptthevalueinrow19 第二列的数值均落入置信集 除了第19