函数的增减性、函数的奇偶性.doc

本周内容：函数的增减性、函数的奇偶性 重点难点分析： 1不能把一个完整的单调区间随意分成两个区间，例如y=3x的单调区间(-,+)不可以写成(-,0和0,+)，也不能把本来不是一个区间的单调区间合起来。例如y=的单调递减区间是(-,0)和(0,+)，而不能写成xR且x0。 2设y=f(u),u=g(x)，复合函数y=fg(x)的增减性有下面二种情况： （1）若u=g(x), y=f(u)在所讨论区间上都是递增或递减的，则y=fg(x)在该区间上为增函数。 （2）若u=g(x), y=f(u)，在所讨论区间上一个是递增的，另一个是递减的，则y=fg(x)在该区间上为减函数。 3奇函数或偶函数都是定义在关于原点对称区间上的函数，且等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定义在对称区间上的恒等式，而不是只对自变量的部分值成立的方程，所以，只要出现以下两种情况之一，函数就不是偶函数或奇函数： （1）定义域不是关于原点对称的区间 （2）f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)不是定义在定义域上的恒等式。 典型例题： 例1求y=loga(-2x2+x+3)的递减区间 解：令u=-2x2+x+30得定义域为(-1,), u=-2(x-)2+3, x(-1,), 当x(-1, 时，u=-2x2+x+3为增函数， 当x,)时，u=-2x2+x+3为减函数。 （1）如果a1，则y=logau为增函数， y=loga(-2x2+x+3)的递减区间为,)。 （2）如果0a0)在区间(0,+)上的单调性，并证明。 解：任取x1, x2(0,+)且x1x2。 f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+(- ) =(x1-x2)+=(x1-x2)(1-).(*) x1x2, x1-x20。 (1)当x1,x2(0,时，0x1x21,1- 0，f(x1)f(x2), f(x)在(0,上是减函数。 (2) 当x1, x2,+)时，x1x2a, 00，此时(*)0, f(x1)0,a0, 根据均值不等式 x+，当且仅当x=时取等号，即y最小。所以在x=时函数图像是最低的，即函数图像从左向右是先降后升的，转折点是x=，可以自己画出函数草图。 例3求y=cos(-2x)递增区间。 解：方法(1) 设u=-2x, y=cosu, u=-2x+为减函数，只需求y=cosu的递减区间， 2k-2x+2k (kZ) 2k-2x+2k -k+x-k。 -k与k等效， k-xk+。 图示： 方法(2)， cosu为偶函数， y=cos(2x-) u=2x-为增函数。 只需求y=cosu递减区间， 2k+2x-2k+2 2k+2x2k+ k+xk+。 图示： 说明：形式不同，但区间相同。但更多是用方法(2)，容易理解并且不易出错。 例4定义在(-2,2)上的偶函数g(x)，当x0时，g(x)单调递减，若g(1-m)g(m)求实数m的取值范围。 解： g(x)为偶函数，g(-x)=g(x)，对于x(-2，2)，g(-x)=g(x)=g(|x|)， g(1-m)g(m)g(|1-m|)g(|m|) 由已知得： (1): -1mm2 m， -1m0时，f(x)=x-lg|x|，当x0时，求f(x)解析式。 解：当x0，f(x)奇函数， f(x)=-f(-x) =-(-x)-lg|-x| =-(-x-lg|x|) =x+lg|x|本周练习： 一填空题： 1函数y=(-x2+2x+3)单调递增区间是_。 2函数f(x)=()|1-x|的单调递减区间是_。 3f(x)是定义在-2，2上的奇函数，且为减函数，若不等式f(2-a)+f(2a-3)0成立，则实数a的范围是_。 二、解答题： 1函数f(x+1)是偶函数，且x1时，f(x)的表达式。 2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并且在区间(-,0)上单调递增，f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1)，求实数a的取值范围，使函数y=在这个范围上是单调递减函数。 参考答案： 一、填空题 1. 1,3) 2. 1, +) 3. 11时，2-x1时，f(x)=x2-4x+5。 2解： f(x)是R上的偶函数，且在(-,0)上单调递增， f(x)在(0,+)上单调递减， 2a2+a+1=2(a+)2+0, 3a2-2a+1=3(a