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高一数学讲义（61期） 第三讲 函数应用 一、方程的根与函数的零点1、函数零点与方程的根的关系探究一： 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 . 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 . 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .2、零点存在性定理探究二： 观察下面函数的图象，在区间上 零点； 0；在区间上 零点； 0；在区间上 零点； 0.如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析例1、求下列函数的零点：（1）；（2）.变式1：求函数的零点的个数.小结：函数零点的求法. 代数法：求方程的实数根； 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点二、用二分法求方程的近似解探究三：二分法的思想及步骤问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.解法：第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求的零点所在区间？如何找出这个零点？结论：对于在区间上连续不断且0的函数，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).例2、下列各函数的图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求零点近似值的是( ). A B C D变式训练2:用二分法求函数f(x)x3x22x1的一个正零点，可选作计算的初始区间的是( ).A1，1B0，1C1，2D2，3三、几类不同增长的函数模型学习目标 1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气例3、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？变式训练3:某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%现有三个奖励模型：；. 问：其中哪个模型能符合公司的要求？变式训练4:某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数. 已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.知识小结：解决应用题的一般程序： 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 解模：求解数学模型，得出数学结论； 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义四、巩固习题一、选择题1 若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A 若，不存在实数使得；B 若，存在且只存在一个实数使得；C 若，有可能存在实数使得；D 若，有可能不存在实数使得；2 方程根的个数为（ ）A 无穷多 B C D 3 若是方程的解，是 的解，则的值为（ ）A B C D 4 函数在区间上的最大值是（ ）A B C D 5 设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）A B C D 不能确定6 直线与函数的图象的交点个数为（ ）A 个 B 个 C 个 D 个7 若方程有两个实数解，则的取值范围是（ ）A B C D 二、填空题8函数f(x)x3x的零点是_9若函数f(x)ax22x1一定有零点，则实数a的取值范围是_10已知函数f(x)2mx4在区间2，1上存在零点，则实数m的取值范围是_11用二分法求函数f(x)x32x5的一个零点时，若取区间2，3作为计算的初始区间，则下一个区间应取为 12已知函数f(x)ax2bxc的两个零点是1和2，且f(5)0，则此函数的单调递增区间为 13. 某卡车在同一时间段里的速度v(km/h)与耗油量Q(kg/h)之间有近似的函数关系式Q0.002 5v20.175v4.27，则车速为 km/h时，卡车的油耗量最少三、解答题14若二次函数f(x)x22ax4a1有一个零点小于1，一个零点大于3，求实数a的取值范围15、将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：时间（S）60120180240300温度（）86.8681.3776.4466.1161.32时间（S）360420480540600温度（）53.0352.2049.9745.9642.36（1）描点画出水温随时间变化的图象；（2）建立一个能基本反映该变化过程的水温（）关于时间的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.（3）水杯所在的室内温度为18，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10？对此结果，你如何评价？ 高一数学（巩固）班讲义第三讲参考答案（61期）例1、（1）； （2）；变式1、 1个零点 例2、B 变式训练2、C 例3、解：设表示前n天的总回报 ，则方案一：方案二：方案三：7天以内（含7天）选方案一；8-10天选方案二；11天以上（含11天）选方案三变式训练3、 符合 变式训练4、解：(1)选二次函数，分别代入1，2，3月份的