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巧用比的规律 灵活解答行程问题江苏省丹阳市华南实验学校 蒋明玉（212300）在解答较复杂的行程问题时，特别是一些数学竞赛题中的行程问题，合理利用以下一些倍数关系，往往可以使解题化繁为简、化难为易。（1）、路程一定，如果两车速度之比是a：b，那么两车所行时间之比是b：a；如果两车时间之比是a：b，那么两车所行速度之比是b：a；（2）、时间一定，如果两车速度之比是a：b，那么两车所行路程之比是a：b；如果两车路程之比是a：b，那么两车所行速度之比是a：b；（3）、速度一定，如果两车时间之比是a：b，那么两车所行路程之比是a：b；如果两车所行路程之比是a：b，那么两车时间之比是a：b。下面结合一些行程问题竞赛题的分析与解答，谈谈上述规律在解决问题中灵活运用。例1：甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，则蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了（ ）米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了（ ）米。（第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题）分析与解：题目中说：“如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟。”我们知道：路程一定，如果两车时间之比是a：b，那么两车所行速度之比是b：a。甲乙所行时间比是6：7，那么甲乙的速度之比是7：6；同样，乙丙所行时间比是7：8，那么乙丙的速度之比是8：7。根据这些，不难得出，甲乙丙的速度比是：28：24：21。（过程如下：甲乙的速度之比是7：6=28：24；乙丙的速度之比是8：7=24：21；所以，甲乙丙的速度比是：28：24：21。）根据题意，甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴。即甲从A到B、乙从B到C、丙从C到A所行时间一定。又因为时间一定，如果两车速度之比是a：b，那么两车所行路程之比是a：b。所以，根据甲乙丙的速度比是：28：24：21，那么甲乙丙的路程比是：28：24：21。也就是说，AB：BC：CA=28：24：21。总路程是7.3米，BC=7.3=2.4（米），CA=7.3=2.1（米）答：蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了2.4 米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了2.1 米。例2：如下图，甲乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走。甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇。已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相距（ ）米。（第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题）A E B分析与解：甲乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后。时间一定，如果两车速度之比是a：b，那么两车所行路程之比是a：b。甲乙的速度比是60：80=3：4，那么AE：BE=3：4。甲一共行走的路程是AB+ BE，乙一共行走的路程是AB+ AE。设AB两地相距x米，甲一共行走的路程应是x+x=x米，乙一共行走的路程应是x+x=x米。由于“乙休息了14分钟”，所以甲行的时间比乙多14分钟，根据这一条件列出方程。x60x80=14 xx=14 x=14 x=1680答：A和B两地相距1680米。例3：小明从家去学校，如果他每小时比原来多走1.5千米，他走这段路只需原来时间的；如果他每小时比原来少走1.5千米，那么他走这段路的时间就比原来时间多几分之几？（小学生数学报第九届数学竞赛初赛试题）分析与解：由于“路程一定，如果两车时间之比是a：b，那么两车所行速度之比是b：a；”由于速度提高后所用时间是原来的，可以知道提高后的速度是原来速度的。结合他每小时比原来多走1.5千米，原来速度是每小时行1.5（1）=6（千米）。现在速度是61.5=4.5（千米），相当于原来速度的，所以现在所用时间是原来时间的。因此，他走这段路的时间就比原来时间多1=。答：那么他走这段路的时间就比原来时间多。例4：小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，并随即骑车去给小明送书。追上时，小明还有的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送到学校。这样，小明比独自步行提早5分钟到校。小明从家到学校全部步行需多少时间？（注意：“随即”的意思是一点时间也不耽搁。）（小学生数学报第十届数学竞赛决赛试题）分析与解：因为时间一定，如果两车路程之比是a：b，那么两车所行速度之比是a：b。设小明家到学校的路程为“1”，在爸爸从家出发追上小明这段时间内，爸爸与小明所行路程比为：（1）：（1）=7：2因此，爸爸骑车与小明步行的速度比就是7：2。又根据路程一定，如果两车速度之比是a：b，那么两车所行时间之比是b：a，在余下的路程中，爸爸骑车与小明独自步行，所用的时间比为2：7。小明提早到校5分钟，正是坐了爸爸的车而节省了5分钟。如果这段路也让小明步行，则需要5（1）=7（分）。小明步行完全程，则需要7=23（分）。答：小明从家到学校全部步行需23分。例5：张大力和王涛从环形公路上的A点同时出发，沿相反方面跑，第一次相遇在B点。张大力第二次到达B点后立即掉头沿相反方向跑。已知张大力跑完一圈需4分，王涛跑完一圈需5分。问张大力掉头之后经过多长时间追上王涛？（小学生数学报第七届数学竞赛决赛试题）分析与解：本题可以不考虑张、王二人A点出发到第一次在B点相遇这一圈。这样，问题转化为：张、王二人同时从B点出发，沿相反方向跑，张到达B点后掉头追王。张要追王多远的路呢？由于路程一定，如果两车时间之比是a：b，那么两车所行速度之比是b：a。已知张大力跑完一圈需4分，王涛跑完一圈需5分。所以王的速度是张的。又因为时间一定，如果两车速度之比是a：b，那么两车所行路程之比是a：b ，所以张从B点到B点跑完一圈，在张跑完一圈的时间内王跑了圈。也就是说，当张第二次到达B点并掉头时，王在他前面圈。我们把一圈的路程看作“1”，那么张的速度是，王的速度是。张掉头后追王所需的时间为：（）=16（分）答：张大力掉头之后经过16分追上王涛。例6：甲、乙两列火车的速度比是5：4。乙车先出发，从B站开往A站，当走到离B站72千米的地方时，甲车从A站开往B站，两列火车相遇的地方与A、B两站的距离比是3：4。A、B两站间的距离是多少千米？（小学生数学报六年级数学赛前强化试题）分析与解：由于时间一定，如果两车速度之比是a：b，那么两车所行路程之比是a：b。因为甲、乙两列火车的速度比是5：4，从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5：4=15：12，已知相遇的地方与A、B两站的距离比是3：4=15：20，这说明相遇前乙车走的72千米占全程的=，因此，全程为72=315（千米）。答：A、B两站间的距离是315千米。例7：汽车在南北走向的公路上行驶，由南向北顶风而行，每小时行50千米；由北向南顺风而行，每小时行70千米。两辆汽车同时从同一地点出发相背而行，一辆汽车往北驶去然后返回，另一辆汽车往南驶去然后返回，结果4个小时后两车同时回到出发点。如果调头时间不计，在这4小时内两车行驶的方向相同的时间有多少小时？（2001年全国小学数