2012初中数学竞赛辅导学习讲义.doc

初中数学竞赛辅导学习讲义台山市广大中学数学组编一、数与代数1、计算技巧灵活运用运算律进行下列计算：1、计算下列各题2、计算下列各题 135791149974999答案：1、，0，9.3；2、，65000，34，、2500 例题讲练例1、规定运算，且，求的值解：易见，解得，试一试1、设、都是有理数，规定，求的值2、规定，求 (答案：1、266617 2、-3)例2、求的值解： 将括号内各项反序排列，则有两式相加，得试一试：计算：+ (答案885)例3、计算：解：因为 ， ， ， 可见，原式这种方法叫分项相消法一般地 试一试： 计算： 计算： 答案，例4、计算：解：设，两边乘2得，两式相减，得例5、计算：解：在原式两边乘以得，与原式相减得 ，设 ，则 ， 试一试：计算：计算： (答案: ，) 思考练习1、123419992、3、4、5、6、7、已知求的值8、比较与2的大小9、三个互不相等的有理数，既可以表示为1、的形式，也可以表示为0、的形式，求的值10、问中应填入什么数时，才能使？答案1、1000， 2、， 3、6， 4、， 5、， 6、，7、设 则有 8、， 9、解：可以判定与中有一个是0，与中有一个是1而，只能有，即，可见，因0、中互不相等，故、等于1和1，10、解：设填的数是，则，(1) 当时，于是，(2) 当时，应填的数是2或02、绝对值1、写出满足下列条件的字母取值范围：_ _ _2、计算：3、已知，且，求的值4、设、在数轴上的位置如图：化简5、当取什么作值时，6、当时，化简：答案：1、可取任何数(时取等号)； 2、0 3、16或8 4、 5、 6、例题讲练：例1、化简：解：当时，原式当时，原式当时，原式试一试：化简思考练习一1、若，则等于( ) A、 B、 C、 D、2、数、在数轴上的位置如图所示，化简：0bca3、若，且，求的值4、若，且，求？5、若，求的值6、已知，化简：答案：1、选B 2、 3、 4、3 5、 6、例2、(1) 求的最小值解：表示数轴上一点与1之间的距离，表示数轴上一点与之间的距离求的最小值，就是在数轴上找一点，使到2与1两点的距离之和最小从图可知，可取2与1当中的任一点，其和的最小值是3，即的最小值是30123x-2-101x(2) 求的最小值解：本题实际上就是在数轴上找一点，使得该点到1、2、3的距离之和最小，从图可知，当与2重合时，距离之和最小，这个最小值是2试一试：求的最小值求的最小值 (答案: 4 6)想一想，一般地，是个已知数，则的最小值是多少？例3、已知，证明：有无穷多个使取得最小值.解：当 时，；当时，； 当时， 当时，取得最小值2，有无穷多个使取得最小值.思考练习二1、若，(，)，求的最小值2、求的最小值答案：1、由条件得，于是，故的最小值为2、当时，例4、含绝对值的一元一次方程解方程 解方程 解方程解：，由，得，由，得是原方程的解，或(舍去)即，得，由，得，由，得 、是原方程的解，由，得；由，得，是原方程的解思考练习三 解下列方程1、 2、 3、4、 5、 6、答案；1、； 2、1、，； 3、 4、；5、(用零点分段法法讨论去掉绝对值) ， 6、，； 3、巧解一元一次方程一、解下列方程：1、 2、3、 4、二、用简单的方法解下列方程：1、 2、3、 4、三、含字母系数的一次方程1、讨论解关于的方程：的解的情况2、解关于的方程：3、解关于的方程：4、解关于的方程： 5、已知关于的方程无解，试求的值答案一、 1、 2、 3、 4、 二、1、方程两边约去30%， ； 2、方程变为， 3、先去大括号同时去中括号和小括号， ； 4、把-7移项后再化简， 三、1、当时，； 2、当时，方程为 若，方程的解为任意有理数，若，方程无解 3、 3、若，； 若，方程无解 4、当时，；当时，若时，方程的解为任意有理数，若时，方程无解； 5、方程变为，因方程无解，故，即4、二元一次方程组例题讲练例1、已知方程组，选择和的值，使方程组：(1)有唯一的解；(2)有无数组解；(3)无解解：由第一个方程得，代入整理得(1) 当2，为任何数时，原方程组有唯一的解；(2) 当，时，原方程组有无数组解；(3) 当，14时，原方程组有无解例2、已知方程组和有相同的解，求，的值解：由方程组得，代入其它两个方程即得， 例3、若，满足以下方程组求的值解：5个方程相加得 ， 由 得 ， 得 ，思考练习1、解下列方程组：(1) (2) (3) 2、已知，(均不为0)，求的值3、实数，满足方程组其中，是实常数，且，试确定，的大小顺序4、放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒子有7个小球，且每四个相邻的盒子里共有30个小球，求最右面的盒子里有多少个小球？5、五种教具，的件数和用钱总数列成表：总钱数第一次购买件数134561992元第二次购买件数1579112984元求购买每种教具各一件共需多少元6、今有一个三位数，其各位数字不尽相同，如果将此三位数的各位数字重新排列，必可以得到一个最大数和一个最小数，(例如427经重新排列得到最大数为742最小数为247)，如果所得的最大数与最小数之差就是原来的那个三位数，试求这个三位数7、若方程组有正整数解，求整数的值答案1、(2) (2) 2、解：由方程组得 ，原式3、解：给定的方程组中的方程按顺序两两相减得， ，4、解：设从左到右小盒里的球数为7， ，同理得76、设所得的最大数为ABC，最小数为CBA(AC)，原数为其中0A、B、C、9，A0，C0ABCCBA， ， 于是由此得，代入得，可见，必有，因而，故且，从而， 7、(或)例4： 某次竞赛共有15个题，下表是对于做对，）个题的人数的统计:0，1， 2， 312，13，14，15做对个题的人数7，8，10，2115， 6， 3， 1若又知其中做对4个题和4个题以上的学生每个人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题，问这个表至少统计了多少人.解：由表中可知，做对0个题到3个题的总人数为78102146人；做对题目总数为708121032191题；做对12个题到15个题的总人数为1563125人；做对题目总数为1512613314115315题；设做对0个题到15个题的人数分别为，则有， 即 两式相减得 又，故 ， （0）， 当时，统计的总人数为最少，最少200人5、应用问题例题讲练例1 某城市按以下规定收取每月煤气费，用煤气如果不足60立方米，按每立方米元收费，如果超过60立方米，超过部分按每立方米元收费。已知某用户4月份的煤气费平均每立方米元。那么4月份该用户应交煤气费多少元.解：因为0.880.8, 所以这用户4月份用的煤气超过60，设他用了x立方米煤气，有600.81.2(x60)0.88x, x75，故应交煤气费150.8866元.例2 某场演出的票价由2元到100元多种，某团体需购买票价为6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元票数的2倍。问这两种票各购买多少张所需的钱最少？最少需要多少钱？解：设购买6元票为张，则10元票为（140）张，要化钱最少，6元的票要多买，最多只能买46张，所需的钱数为46694101216.例3 某种商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，求d用p表示的代数式.解：设该商品的成本价为a,则标价为a(1+p%),在此基础上降价后的价格为.于是,.思考练习1、某商场对顾客实行优惠，规定：如一次购物不超过200元，则不给予折扣；如一次购物超过200元，但不超过500元的，按标价给予九折优惠；如一次购物超过500元的，其中500元按第给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠. 某人两次购物分别付款168元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款多少？2、甲、乙两人在环形跑道上从一点同时起跑，他们的速度分别是每秒3米和每秒5米，若同向出发，第三次相遇在什么地方？3、出租汽车站停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟有一辆出租汽车开出在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场，以后每隔6分钟即有一辆出租汽车回场，回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆问从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了4、某班参加一次智力竟赛，共3题，每题或者满分或者0分，第1题20分，第2题，第3题为25分，竟赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全对的有一人，答对其中两题的有15人，答对第1题的人数与答对第2题的人数之和为29人，答对第1题的人数与答对第3题的人数之和为25人，答对第2题的人数与答对第3题的人数之和为20人，问这班的平均成绩是多少？5、某种商品进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点。那么，经销这种商品原来的利润是多少? 6、甲是乙现在年龄时，乙10岁，乙是甲现在年龄时，甲25岁，求甲比乙大多少岁？7、某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配、3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果；已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元。某天该商店销售这三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，求C水果的销售额.8、江堤边一洼地发生了管涌。江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完，如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，求至少需要多少台抽水机.答案1、因168小于2000.9180，所以168元是按照没有经过打折的价格付款；423小于5000.9450，所以这是经过九折后的价格。合起来是1684230.9638500，按照可得应付款为5000.91380.8560.4（元）2、设甲跑了周，则乙多跑了三周，即乙跑了周，得， ， ，由或，可知第三次相遇在距起跑点半周的地方3、设第一辆出租汽车驶出直至中断前最后一辆出租汽车回场的这段时间为分钟，则驶出的出租汽车的辆数为，而回场的出租汽车的辆数为，所以停车场里出租汽车减少的辆数为 解得 ，这表示在104分钟时，有一辆出租汽车回场，又有一辆出租汽车驶出此时停车场就只剩下刚刚驶回的一辆出租汽车再经过4分钟，这一辆驶出后，停车场就没有出租汽车了即当第一辆出租汽车驶出后108分钟，停车场就没有出租汽车了4、设、分别表示答对第1，2，3题的人数，则 解得 ，答对其中1个题的人数为37132154. 全班人数141520，故平均成绩为 .5、设原进价为x元,售价为y元, 解得 ， 故这种商品原来的利润率为.6、设甲的年龄为, 乙的年龄为,甲与乙的年龄差而k,则,当甲取y时, 有, 当乙为时, 有, 解得.7、设卖出三种搭配分别为套，则这天A，B，C水果销售额为元，元，元，则 即得, 所以共卖出C水果15套，则C水果的销售额为元8、设开始抽水前管管涌已经涌出的水量为, 管涌每分涌出的水量为, 又设每台抽水机每分可抽水, 由解得 至少需要抽水机的台数为. 6、不等式的应用例题讲练例1 某学生射击10次，在第6、7、8、9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数，如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么，他在第10次射击中至少要得多少环?(每次射击所得环数都精确到0.1环).解：设前5次射击总环数为S,则. ，由于每次射击所得的环数都精确到0.1环, 所以前5次射击总环数最多为43.4环, 从而前9次射击总环数最多为43.4+(9.0+8.4+8.1+9.3) = 78.2，第10次射击最少8.8100.178.29.9(环).例2 甲、乙两人到商场购买商品，已知两人购买商品的件数相同，每件商品的单价只有8元和9元两种，若两人购买商品一共用了172元求其中单价为9元的商品有几件？解：设每人都购买了n件商品，其中单价为8元的有x件，单价为9元的有y件，则 解得 解得 从而得， 故单价为9元的有12件.思考练习1、用1000元购3元一张和5元一张的邮票若干, 问有几种选购方法?2、一批学生划船，若乘大船，除一船坐6人外，其余每船坐17人，若乘小船，则除一船坐2人外，其余每船坐10人，如果学生人数超过100而不到200人，求学生的人数.3、某射手在多于11次的射靶中, 每次至少命中8环至多命中10环, 总计共命中100环, 试确定这位射手命中8环、9环、10环各几次?答案1、设3元一张和5元一张的邮票分别为张, 则,，设, , , , , 可见有67种选购方法.2、设若乘大船只，小船只，则，即，又100200，100200，即612，1020，易见，173要被10整除，只能是9，故学生人数是142.3、设射手命中8环次、9环次、10环次, 则, , , 得, 只能有, 从而.7、分式计算技巧方法要领 拆项合并法；倒数法；代换法.例题讲解例1 计算：+.解：原式= + =+=0.例2 化简：解：原式= =.例3 若，求的值.解法一（倒数法）：由条件知， ， 即，, .解法二：.思考练习1、计算：.2、计算：.3、计算：+. 4、已知，求的值. 5、已知，求的值. 6、已知，求的值.7、已知，0，求的值.8、若,求的值.答案提示1、原式. 2、原式.3、原式= + = + = .5、由得，两边平方得.6、由得，代入解得.7、由条件得，即，设，代入原式，解得.8、二次根式的化简求值例题讲解例1 已知：，求的值.解：因为, , 所以故, .例2 化简.解： , 原式.思考练习1、 计算：. 2、计算：.3、已知求的值.4、化简：； .5、计算：；.6、已知0，0，且，求的值.7、设，求：的值.8、已知，求的值.9、已知，求的值.10、为有理数,且等式成立， 求的值.答案提示1、.3、，.4、；5、.设M，两边平方得，M10.6、由条件得，得，. 原式2.7、由条件两边平方得，. 两式相加减得， .10、，原式2000.9、构造一元二次方程求值例题讲练例1 若,且有及,求的值.解: 由,，得,而，且 所以都是方程的根 故.例2 已知是正整数,并且,求的值.解: 设(a,b均为正整数), 由题设得，因此，a、 b是方程的两个正整数根，解这个方程,得,因为ab, 得，故.思考练习1、如果是质数，且, , 求的值.2、设实数、分别满足, ，并且, 求的值.3、设ab0, ,求的值. 4、(01竞赛)若,则的值为_5、（04竞赛）已知实数, 且满足, 则 值为( ) (A) 23 (B) 23 (C) 2 (D) 136、（04竞赛）如果X和Y是非零实数, 使得和,那么( ) (A) 3 (B) (C) (D) 7、（01竞赛）已知实数a,b满足，求t的取值范围8、（01联赛）已知是正整数,并且,则=_9、（03联赛）设m是整数，且方程的两根都大于而小于，求m 10、（04竞赛）实数满足, 求Z的最大值答案提示1、若, 则= 2 ；若, 易见，是方程的两个不相等的根，, 是质数，为奇数，中必为一奇一偶，中必有一个为2，而另一个为11，故.2、第一个等式可化为 , 又，, 和是一元二次方程的两个不相同的实数根，于是有， ，即, ,3、解：由，得，解得（舍去），所以另解：由， 因为 ab0，所以， 故。4、解: 因为,两式相加, 得,解这个关于的一元二次方程,得或 5、解：是关于的方程，即，所以 ，故均为负数， 6、解：代入，得，（1）当0时，方程无实根；（2）当0时，解方程得，舍去正根，得，故7、解: 一方面,由题设得消去ab,得，因为故另一方面,又由题设得消去,得， 因为,故,于是.8、解: (a,b均为正整数),由题设得因此,a b是一元二方程的两个正整数根，解这个方程得, 因为ab, 得故9、解：由条件得，由得，由得，而为整数，故10、解：，是关于的方程 的两个实数根， ， 即 ， ， 当时， ，故Z的最大值是10、判别式与韦达定理例题讲练例1 设是不小于1的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根、.（1）若, 求的值；（2）求的最大值解：0， 解得1，又11，(1)6，解得, 由11，所以, (2) , 因为11，所以当时，有最大值，最大值为10. 思考练习1、设, 是关于的一元二次方程的两个实数根，求的最大值.2、设是方程两根，求的值.3、如果方程(0)的两根之差为1，那么=？4、是大于0的实数，已知存在惟一的实数, 使得关于的方程两个根均为质数，求的值.5、已知, 方程的两根满足关系式 试求所有的整数点对（）6、已知 ，求方程的根.答案提示1、解：由0知，为任意实数， ，当时，取最大值.2、因为, , 即，所以，, 03、因为，由,解得 .4、设方程的两个质数根为、，则 消去、，得, 所以，可见、均不能为2，故必同为奇数，从而和均为偶数，从而又有均为整数，且, 不妨设，则1或5，若1，则，得, 均为质数，若5，则，得为合数，由此可知，从而, 依题意，此关于的方程有惟一的实数根，所以, 得.5、因为, 由条件得 , 前式代入后式得即, 因为，所以1，判别式0，得, 从而得4, 所以22, 可见满足条件的整数对（）只能是（1，0）或（0，1）6、易见是关于t的方程的两个实数根, 由0, 得，从而 解得解方程, 得, .11、二次方程根的讨论例题讲练例1 关于的方程的根都是整数，问符合条件的整数有几个？解：当时，符合条件； 当时，易知是方程的一个整数根，而另一根为, 因为是整数，所以, 得1，0，2，3，所以符合条件的整数有5个。例2 已知方程(其中是非负整数)至少有一个整数根，求.解：显然0，解方程得 , 要使两根中至少有一个是整数，的值应为1，3，或5，例3 已知、是有理数，并且方程有一根是，求解：因为、是有理数，方程有一根是，那么另一根是，于是 =4， , 所以3.思考练习1、求所有正实数，使得方程仅有整数根.2、试确定一切有理数r, 使得关于x的方程有根且只有整数根. 3、已知关于x的方程有实数根, (1)求a的取值范围；(2)若原方程的两个实数根为,且 ，求a的值.4、设关于二次方程的两个根都是整数，求满足条件是所有实数的值.答案提示1、解：设两整数根为, 且, 则0，0，即有, , , 所以,显然,故可取5，6，7，8，依次得, ; ; 不是整数； 故的取值有三个：25，18，16.2、解: 若, 则方程为, 不是整数, 若, 设方程的两整数根为, (), 则, ，于是，即，, 是整数, 且，则 ； 解得 ；所以, .3、解: （1）令, 则原方程化为 当, 即时, 方程为或 即或 所以或 故当时, 原方程有实数根, 当时,0, 得；当,有,解得 ，而, 所以.综上所述，所以 且 时, 原方程有实数根.（2）易见是方程的两根，于是有，即，解得由（1）知且 ，而，所以，故为所求.4、解：， 因为 所以; ，得, ，消去得，由于、都是整数，故 ； , 3, .12、点坐标与函数例题讲练例1 在直角坐标系xOy中，轴上的动点M（，0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么，当MPMQ取最小值时，求点M的横坐标.解：点Q（2，1）关于轴的对称点的坐标为（2，-1），设直线的方程为,将P（5，5），（2，-1）的坐标代入，解得 ,所以直线的方程为,由 得M点的坐标为.例2 一个一次函数的图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A,B，并且过点，则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有多少个？解：设这个一次函数为, 因为直线过点，所以, 可求得A（19，0）B（0，），由知，能被4整除. 又因为是整数，且019，所以取3，7，11，15，19时，是整数因此在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有5个.思考练习1、若0，且, 则直线一定通过（ ）（A）第一，二象限 （B）第二，三象限 （C）第三，四象限 （D）第一，四象限2、在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，A、C分别在横轴和纵轴上，点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，求的值.3、已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限内，OA与轴的夹角为30，求B点的坐标.4、（03竞赛）若函数（k0）与函数的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则ABC的面积为（ ） (A) 1 (B) 2 (C) (D) 答案提示1、由, 三式相加得，所以, 或；当时，直线通过第一，二，三象限；当时，, 直线通过第二，三，四象限；可见，直线一定通过二，三象限.2、直线与矩形的边BA交于点（15，5），则BD1，所以当时，直线过点（0，）和（15，），它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分.3、分别过A、B、作的垂线，垂足为D、E，作AFBE于F，易知，RtAFBRtADO，所以, , 在RtADO中，, ,所以, , , 所以,故 B点的坐标是13、二次函数（1）例题讲练例1 一条抛物线的顶点为(4,-11), 且与X轴的两个交点的横坐标为一正一负, 则中为正数的( )(A) 只有a (B) 只有b (C) 只有c (D) 只有a和b解：由于抛物线顶点为(4,-11), 与X轴有两个交点，知0，设抛物线与X轴的两个交点坐标为，则0，所以0，xy1-1又由对称轴，得0，知0，可见只有0.例2 已知二次函数的图像如图所示, 并设 , 则( )(A) M0， (B) M0， (C) M0， (D) 不能确定.解: 由图像得 0, 01, 0, 0, 0, 当 时, 0; 当时, 0, M = 0. 选(C)思考练习1、已知为抛物线与轴交点的横坐标，求的值.2、一条抛物线的顶点为(4,11)，且与X轴的两个交点的横坐标为一正一负, 则中为正数的是( ) (A) 只有a (B) 只有b (C)只有c (D)只有a和b答案提示1、当时，, 即点（，）在抛物线上，且位于轴下方，又因为抛物线开口向上，由图像知，介于, 之间，即，所以.2、解：由于抛物线顶点为(4,-11), 与X轴有两个交点，知0，设抛物线与X轴的两个交点坐标为，则0，所以0，又由对称轴，得0，知0，可见只有014、二次函数（2）例题讲练例1 设P是实数, 二次函数的图像与有两个不同的交点A(, 0), B(, 0)，（1）求证：0；（2）若A、B两点之间的距离不超过, 求的最大值. 解：(1) 抛物线与有两个不同的交点A(, 0), B(, 0) ， 0， 又 , ,故 0； (2) 即 所以，又当时，满足题目条件，故的最大值为.例2 证明：(1)若取任意整数时，二次函数总取整数值，那么、 、都是整数. (2) 写出上述命题的逆命题, 并判断真假, 且证明你的结论. 证明：（1）当时，为整数；当时，为整数；当时, 为整数；, 都是整数，故、都是整数.（2）逆命题为：若、都是整数，则取任意整数时，二次函数的值总是整数。这是真命题. 证明如下:当取整数时，一定是偶数，则必为整数，又、都是整数，取任意整数时，二次函数总取整数值.思考练习1、直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，求OAB的面积.2、如果抛物线与轴的交点为A、B，顶点为C，求ABC的面积的最小值3、（03竞赛）抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，若ABC是直角三角形，则 _4、设抛物线的图像与轴只有一个公共点，（1）求的值；（2）求的值5、抛物线和都与轴有公共交点，若是正数，求的最小值答案提示1、直线与抛物线的交点分别为A（1，1）、B（3，9）分别作AE轴于E，BF轴于于F，则.2、首先 由0知，抛物线与轴总有两个交点A（，0）、B（，0），则，故，配方得顶点C 的纵坐标为 ， 时等号成立， .3、2、解；设，由是直角三角形可知，必引号，故，又，即，故，4、（1）由,即, 得.（2）由上可知, 反复用此式可得，又 ， ， 即， 5、, 则，, ，故20；当且仅当时，等号成立，这时两抛物线都是，与轴有公共点，故的最小值是20.15、数的大小比较基本原理 求差法：若AB0，则AB；若AB0，则AB；若AB0，则AB.例题讲解例1 设a、b、c的平均数为M, a、b的平均数为N，N、C的平均数为P, 若. 讨论M与P的大小关系.解：（），故,即.例2 已知是四个不相等的正数，其中最大，最小，且满足条件，试比较与的大小关系.解：设，则，最大，最小，且都为正数，1，0，.思考练习1、已知， ， 试讨论、的大小关系.2、已知都是实数，并且，给出四个式子：“；.试判断哪个是正确的.3、，比较的大小.4、若是正数且满足,比较a与b的大小关系.5、已知，比较a、b、c的大小.6、已知01，且，比较， 的大小答案提示1、， .2、 0， .3、，cab 4、，由,得0，5、3, 0又0, bac. 6、，0，不等式两边同加上，得，；又0，而， 16、绝对值例题讲解例1 已知a0，ab0， 化简: ？解：因为a0,ab0, 所以b0 从而0, 0进而有0, 0， 故，原式.例2 已知，求代数式值.解：由全是正数, 所以 故 .思考练习1、实数在数轴上的位置如图，ba0c求代数式的值.2、若实数满足，则_.3、满足的非负整数对的个数有_对.4、若，化简：答案提示1、条件得00，0，0，原式.2、，0，0，.3、，而、都为非负整数，故、取值为0和1，经检验知，(0，1)(1，0) (1，1) 共3对满足条件. 4、17、奇偶分析基本原理 奇数奇数偶数；偶数偶数偶数；奇数偶数奇数.奇数奇数奇数；偶数偶数偶数；奇数偶数偶数.为整数，若为偶数，则奇偶性相同；为整数，若为奇数，则奇偶性相异.例题讲解例1 若为质数，且，求的值.解：若都为奇质数，则是偶数，若都为偶质数2，则29，所以中必有一个为偶质数2，另一个为奇质数，若，则不是整数，故只有，此时，13.例2 若是整数，求整数的最小值.解：（是正整数），则，与有相同的奇偶性，而1996是偶数，与同为偶数，又，499是质数， 解得 ，整数的最小值是500.例3 若正整数满足方程,求的值.解:因为为奇数, 所以为一奇一偶,不妨设为奇数,为偶数,又因为的个位数字是7, 所以的个位数字必为1, 的个位数字必为6. 从而的个位数字是1或9,的个位数字是4或6.又1997,故45. 因此的可能值是1, 9, 21, 29, 41.经检验, 仅当，使, 所以.思考练习1、如果质数满足关系式，则_.2、王、李两人卖了m只猪，每头卖价又恰是m元钱，两人分钱方法是，先由王拿10元，再由李拿10元，如此轮流，拿到最后剩下不足10元，轮到李拿，为平均分配，王应补回李多少元钱？3、在，这95个数中，十位数字为奇数的数共有多少个？答案提示1、和中恰有一个偶数，故中恰有一个为2，（2，5），（7，2）.2、令，则，因王先拿10元，而李最后一次取钱不足10元，所以中有奇数个10元，而中含有偶数个10元，故中必会有奇数个10元，因10，所以只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这9个数中只有16和36会有奇数个10元，因此16或36，这两个数的个位数都是6，这就是说，李最后所拿的钱是6元，由此可知，王比李多拿了4元钱，王应补回李2元钱.3、在，中，十位数字是奇数的只有，而一个两位数，与的十位数字的奇偶性相同，只能取4、6两个数，在，这90个数中，十位数字为奇数的数共有个，在，中，十位数字为奇数的数有1个，总共有19个.18、整数的讨论例题讲解例1 当a取遍0到5的所有实数时，求满足的整数b的个数.解: ，又， 的最小值是，又当时,，当时,，故b取到的整数是-1, 0, 1, 2, , 11,共13个.例2 若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数之和为49，求这两个数.解：两个数的平方和为637，这两个数不可能是1，49，所求的两数的最大公约数是7，最小公倍数是42， 设两数为，则，（，、是自然数，（,）1）由得，（,）1，2，3， ，经检验，所求的两数是14，21.例3 某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的个男生和11个女生的捐款总数与乙班9个男生和个女生的捐款总数相等，都是元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元。求每人的捐款数.解：设每人捐款数为x元, 则解得 , 消去n, 得 因为x为整数, 所以,由得, , 从而得.例4 某鸡场用鸡笼装小鸡, 若每个鸡笼装36只, 则余11只; 若减少两个鸡笼, 则所有小鸡正好平均装完, 已知一个鸡笼最多能装45只, 问原有鸡笼多少个?小鸡多少只?解: 设原有鸡笼x个, 减少两个鸡笼后, 每个装n只鸡.则 整数, 故, 而83是质数, , , 当时, , 当时, 原有鸡笼85个, 小鸡85373071只. 思考练习1、若是互不相等的整数，且，求的值.2、设实数满足，试确定中负数的个数.3、设都是整数，且，求的最小值.4、设三个互不相等的有理数，既可表示为的形式，又可表示为 的形式，试求的值.5、已知, 求满足不等式的整数的个数.6、若函数, 则当自变量取1，2，3，100这100个自然数时，求函数值的和7、（04竞赛）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食, 如果从甲库调90袋到乙库, 则乙库存粮是甲库的2倍; 如果从乙库调若干袋到甲库, 则甲库存粮是乙库的6倍. 问甲库原来最少存粮多少袋?8、已知正整数，之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约的105倍，那么，中较大的数是_答案提示1、是互不相等的整数，只能等于1，-1，3，-3， 0. 2、中至少有一个负数，中有两个负数.3、因都是整数，也是整数，故三个数要么都是正整数，要么是两个负整数、一个正整数，要使的值最小，即中的负数最多，于是取时，其值最小为3979.4、由已知得，中有一个为0，中有一个为1，可见，故0，1，1，1，0. 5、因x, 1.27x7.3，所以整数= 2,3,4,5,6,7 共6个.6、因为, 所以，当时，, 即当取2，3，98这97个自然数时，函数值都为0，而当取1，99，100时，, 则所求的为3907、解：设甲库原来存粮袋，乙甲库原来存粮袋，则，又设乙库调袋到甲库，则，由，又是正整数，有1，即148；7整除，又因4与7互质，所以7整除，经检验，可知的最小值为1538、解：设，且，其中，且，互质，于是，的最小公倍数为，依题意，有 即，由，据得或或或；据第一个式只能取可求得，故两数中较大的数是19、完全平方数例题讲解例1 设为完全平方数, 且N不超过2392, 问满足上述条件的一切正整数对共有多少对.解：, 且23为质数, N为不超过2392的完全平方数,所以(为正整数), 且2392，5 = 1或4, 当=1时, 由,得= (3,5)、 (7,4) 、(11,3)、 (15,2)、 (19,1)当= 4时, 由,得= (4,22)、 (8,21)、(88, 1) 共22对,满足条件的共有27对例2 一个正整数,若分别加上100与168,则可以得到两个完全平方数，求这个正整数.解：设这个正整数为n,且为正整数),则 因为与有相同的奇偶性,且它们的积为偶数,所以有消去b,得=18.故.思考练习1、一个正整数加上50得一个完全平分数，减去31又得一个完全平方数，求这个正整数.2、一个四位数是完全平方数，它的千位数字与百位数字相同，十位数字与个位数字相同，求这个四位数.3、试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数答案提示1、如例题2得，；，解得；，则175，31. 2、，11是素数 又, 则，是完全平分数，且，经验算得，从而，这个四位数是7744.3、设前后两个二位数分别为，则，即，当，即，时，方程有实数根，由于必为完全平方数，而完全平方数的末位数字仅可能为0，1，4，5，6，9，故仅可能取25，此时或20，故所求的数为2025或3025第二部分 空间与图形20、线段与角思考练习 MCNBA1、已知线段AB16，C为AB上的一点，且ACCB35，M、N分别为AC、AB的中点，求MN的长2、在直线上取A、B两点，使AB10，再在上取一点C，使AC2， M、N分别为AB、AC的中点，求MN的长3、在一条直线形流水线上，依次在、处有5个具有同样性能的机器人在工作，每隔一定时间，它们要去取零件，将零件箱放在何处，才能使机器人取零件花费的总时间最少？100m 200mA区B区C区P AGFEDCBO4、某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的班车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路线总和最少，那么停靠点的位置应在何处?5、如图，已知和都等于，则图中以O为顶点的锐角共有_个6、时钟在12点25分时分针与时针之间的夹角度数为_7、若一个角的补角等于这个角的余角的6倍，则这个角等于_ _EBDCAO8、小明家在车站O的东偏北方向300米处，学校B在车站O的南偏西方向200米，小明经车站所走的_度CNMBAO12349、若与互为补角，OD是的平分线，OE在内，求10、平面上有五个点，其中仅有三点在同一直线上，过每两点作一条直线，一共可以作_条直线11、如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，求的度数12、平面上三条直线相互之间的交点个数是( ) A、3 B、1或3 C、1或2或3 D、不一定是1、2、313、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少，求这两个角DCEBAF14、如图，已知，则_GFEDCBAO15、如图，已知与相交于点O，、分别是、的平分线，求证：(1) E、O、F三点共线；(2) 说出下列证明每一步推理的理由：证明：(1) ，又， 同理，ba， E、O、F三点共线(2) ，16、如图，平行直线a与b被两条相交直线所截，请数出图中有多少对同旁内角21、三角形的边角关系例题讲练例1 草原上4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，如图现要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和最小，说明理由ACDBHE解：维修站H建在两条对角线的交点处就符合要求 理由如下：不妨任取异于H的一点E，连EA、EB、EC、ED， 则，例2 若三角形的三边长均整