矩阵的运算.doc

第四章 矩阵1 概念 2 矩阵的运算教学目的：使学生学会矩阵的加、减、乘法运算及运算条件。教学重点：矩阵的乘法课时：4教学方式：讲练结合教学内容：一、回忆矩阵的概念并举例二、矩阵的运算：（一）加法1、条件：两个矩阵的行数、列数分别相等。2、法则：对应元素相加3、性质：（1）结合律（2）交换律（3）零矩阵（4）负矩阵注：可用负矩阵定义矩阵的减法（二）数乘1、法则：用这个数乘以矩阵的每一个元素2、性质：（1）（2）（3）（4） （5）（三）乘法1、条件：第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，其结果矩阵的行数与第一个矩阵的行数相同，列数与第二个矩阵的列数相同。2、法则：第一个矩阵的第行与第二个矩阵的第列的对应元素相乘后再相加即为乘积矩阵的第行第列的元素。问：如果矩阵与矩阵可以相乘，那么矩阵与矩阵是否可以相乘？不一定。即使矩阵与矩阵可以相乘，矩阵与矩阵也可以相乘，那么其结果是否相同？不一定。例：从而交换律不成立。3、性质：（1）结合律（2）关于加法的左、右分配律成立4、特殊矩阵：（1）级单位矩阵：主对角线上是1，其余元素全部为0的矩阵。它与任何可以与之相乘的矩阵的乘积都是那个矩阵本身。（2）级数量矩阵：即主对角线上是同一个数，其余元素全部为0的矩阵。与任何可以与之相乘的矩阵的乘积都等于数乘以该矩阵。显然，单位矩阵是一个特殊的数量矩阵性质：级数量矩阵与所有矩阵相乘均可交换。 （四）转置矩阵：1、定义：矩阵称为矩阵的转置矩阵。2、性质：（1）一个矩阵的转置矩阵的转置矩阵还是它本身，即可见：一个矩阵与它的转置矩阵互为转置矩阵（2）（3）（4）请问：为什么，而不是？（提示：可以从的行数和列数进行考虑）练习：1，2、（2）（4）；作业：2、（1）（3）（5）（6）（8）。 3 矩阵乘积的行列式与秩 4 矩阵的逆教学目的：讨论矩阵是否与复数一样，乘法也有逆运算教学重点：矩阵可逆的判断与逆矩阵的求法课时：4教学方式：讲练结合教学内容：一、矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积：即可以推广到有限个矩阵乘积的情形：即二、可逆矩阵1、概念：若，则称矩阵为可逆矩阵（或非退化的矩阵或非奇异矩阵），否则称矩阵为非可逆矩阵。2、结论：（1）不可逆当且仅当或不可逆。（2）秩（）秩（），秩（）。三、可逆矩阵的逆矩阵的求法一：1、可逆矩阵的另一定义：称为可逆的，如果存在，使得则称为的逆矩阵，记为2、逆矩阵的求法：若，则可逆，且其中称为的伴随矩阵。为的元素的代数余子式。例：求的逆矩阵。解：因为，故存在。练习：求的逆矩阵。3、性质：若可逆，则可逆，且；可逆，且。四、逆矩阵的求解方法二：把矩阵写在左边，同阶单位矩阵写在右边，做初等行变换，将矩阵化为单位矩阵的同时，单位矩阵就化为了该矩阵的逆矩阵。例如：刚才的练习中的矩阵也可以用这个方法来求逆矩阵。 从而，与同学们自己用伴随矩阵计算出来的结果是否一致。注意：一个矩阵的逆矩阵如果存在，一定是唯一的，计算的逆集中是否正确，可以验证。练习：20、（4）（6）（8）；作业：20、（3）（5）（10）。5 矩阵的分块教学目的：把阶数较大的矩阵看成阶数较小的矩阵来研究教学重点：分块矩阵的乘法以及如何利用分块矩阵来求某些矩阵的逆矩阵课时：2教学方式：讲练结合教学内容：一、例：先请同学们求下面两个矩阵的乘积 其实我们把这两个矩阵看成，其中，而是二阶矩阵的运算。用这个方法计算出来的结果和我们以前的方法计算的结果是完全一样的。二、分块矩阵的定义：我们把一个矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成是一样的，这就是矩阵的分块。两个矩阵按照分块矩阵相乘时，两个矩阵的分块方法是有一定规律的：前一个矩阵列的分法与后一个矩阵的行的分法完全一样。三、分块矩阵的应用例：求下面矩阵的逆矩阵其中是可逆的，解：设则所以解得故特别地：当时，当时，为准对角形矩阵。四、准对角形矩阵：1、定义：形如的矩阵称为准对角形矩阵，其中：是阶矩阵。2、性质：若，是同阶方阵。则有（1）（2）（3）若均可逆，则作业：21。6 初等矩阵教学目的：为4中求逆矩阵的方法二找到理论依据教学重点：三种初等矩阵课时：2教学方式：讲授式教学内容：一、三种初等矩阵1、定义：有单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。2、三种初等矩阵：（1） 交换单位矩阵的第行和第行得到第一种初等矩阵：（2）把单位矩阵的第行乘以非零常数得到第二种初等矩阵：（3）在单位矩阵中，把第行的倍加到第行得到第三种初等矩阵：同样地：我们可以对单位矩阵作初等列变换也可以得到三个初等矩阵。需要说明的是，这三种初等矩阵也包含在单位矩阵作三种初等行变换得到的上面三个初等矩阵当中。其中：对单位矩阵交换第行和第行得到的初等矩阵与交换单位矩阵的第列和第列得到的初等矩阵是一样的；把单位矩阵的第行乘以非零常数得到第二种初等矩阵与把单位矩阵的第列乘以非零常数得到第二种初等矩阵是一样的；在单位矩阵中，把第行的倍加到第行得到第三种初等矩阵与把第列的倍加到第列得到第三种初等矩阵是一样的。3、初等矩阵都是可逆矩阵，并且二、初等变换与初等矩阵的关系对一个矩阵作一次初等行变换就相当于左乘一个相应的初等矩阵，而对作一次初等列变换就相当于右乘一个相应的初等矩阵。三、矩阵化为阶梯形1、等价：等价，若可以经过一系列的初等变换化为。2、任一均与一形如 的矩阵等价，我们称之为的标准形，其中1的个数等于的秩。特别地：可逆当且仅当与单位矩阵等价。四、结论：定理6：可逆当且仅当可以写成一些初等矩阵的乘积。推论1：，等价当且仅当存在可逆矩阵与，使得。推论2：可逆矩阵可经一系列初等变换化为单位矩阵。练习：23、（1）；作业：23、（2）（6）。 7 分块乘法的初等变换及应用举例8 广义逆矩阵教学目的：使逆矩阵及解决其它问题变的更方便。教学重点：分块矩阵的初等变换课时：2教学方式：讲授式教学内容：一、将某个单位矩阵进行分块如下： 并对其进行三种以块为单位的初等变换，所成的矩阵分别为：，与初等矩阵和初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵，（前提条件：分块乘法能够进行）其结果就是对它进行相应的变换。请同学们写出右乘