线性代数 行列式.doc

行列式一、 行列式的定义对于阶方阵 ， （1121）与之相联系的一个数，表示成 ， （1122）称为一个阶行列式或的行列式，记为或。在行列式中，也称为元素。为了规定行列式的值，我们引入下面的概念。定义1 在方阵（1121）中，划去元素所在的第行和第列，余下的个元素按原来的排法构成的一个阶行列式，称为元素的余子式，记为。称为元素的代数余子式，记为。例1 在四阶方阵中，第2行第3列的元素5的余子式是。而其代数余子式为乘它的余子式，即。定义2 一阶行列式只有一个元素，其值就规定为这个元素的值。阶行列式（）的值规定为它任意一行的各元素与对应的代数余子式的乘积之和。用符号表示，就是。上式称为行列式按第行展开。可以证明，这个值与展开时所用的行是没有关系的（见例3）。例2 用定义展开二阶行列式。解 按第行展开。因为，于是得这个行列式的值为。 如果按第行展开，也会得到同样的结果。例3 证明不管按哪一行展开，行列式的值不变。证略。行列式有多种定义方式，实质上不同的大致有三类：除上述的归纳定义外，常见的还有完全展开式定义和公理化定义等。将行列式逐阶按行展开，可得它的完全展开式。一个阶的行列式，首次展开时是项的和，将每一项中的余子式再展开时又都是项的和，这样下去，将和中的行列式一直展开到一阶，可知在阶行列式的完全展开式中共有项。例4 求三阶行列式的完全展开式。解 第一行各元素的代数余子式依次是，。于是 。在这个展开式中共有项。例5 计算下三角形行列式。解 逐阶将行列式按第一行展开，由于每次展开时该行除第一列之外的元素都是零，于是。二、 行列式的性质性质1 方阵转置，其行列式不变，即。证略。性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。例如，由例5即得上三角形行列式。下面我们所谈的行列式的性质大多是对行来说的。对于列也有相同的性质，就不重复了。性质2 将行列式中某一行的各元素均乘以同一数，所得行列式是原行列式的倍。或者说行列式一行的公因子可以提出去。证 假设将行列式（1122）中第行的各元素均乘以数，得行列式。则、两方阵除第行之外都相同，因而它们第行相应元素的代数余子式也相同。将按第行展开，注意到该行第列上的元素为，于是，这就是性质2。令，就有，如果行列式中有某一行的元素全为零，则行列式为零。性质3 互换行列式中两行的位置，行列式反号。证 设互换行列式（1122）中第两行（不妨设）的位置，得行列式。在换位的两行是的相邻行这样一种特殊情形，有，而且方阵第行上的元素的余子式就是的第行上相应的元素的余子式。将行列式按第行展开，因为该行第列上的元素为，所以。因此对这一特殊情形，性质是对的。再看一般的情形，假设第两行之间相隔行，要互换这两行的位置，可通过一系列相邻行的换位来实现。从出发，把它的第行先与第行换位，再与第行换位，也就是说，把第行一行一行地向下移动，经过次相邻行的换位，原来的第行就刚好到了它原来的第行下面，接着把原来的第行一行一行地向上移动，经过次相邻行的换位，就变成了的样子。因此，互换中两行的位置，如果这两行之间相隔行，可以通过次相邻行的换位来实现。是奇数。相邻行的换位使反号。显然，奇数次这种换位的最终结果还是使反号。故对一般的情形，性质也是对的。性质4 如果行列式中有两行相同，则行列式为零。证 设行列式的第两行相同，互换这两行的位置后，所得的行列式仍然是。但根据性质3，互换的两行应该得到。因此有或。所以。性质5 在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零。证 设将行列式（1122）中第行的元素全都部换成第行的相应元素，所得行列式记为。一方面，由于的第两行相同，根据性质4，有；另一方面，两矩阵除第行之外都相同，因此它们第行上对应元素的代数余子式也都相同。把按第行展开，得。从而。性质6 如果行列式中两行的元素成比例，则行列式为零。证 设行列式（1122）的第两行成比例，比例系数为，即，从的第行提取出公因子，余下的行列式记为。根据性质2，有。然而的第两行相同，由性质4知，从而。性质7 若行列式中某行，则是两个行列式的和，这两个行列式的第行，一个是；另一个是；其余各行与的完全一样。证 把行列式按第行展开，得，将上式右端的和各看成一个行列式按第行的展开式，则这两个行列式的第行，前一个的是；后一个的是；其余各行与的完全一样。性质7显然可以推广到某一行是多组数的和的情形，读者可以自己写出来。性质8 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。或者说用型初等矩阵左乘方阵，其行列式不变。证 利用性质7及性质6便得证。例 证明：对任意的阶方阵，均存在型矩阵，使得。证 如果的第一行和第一列的元素不全为零，那么总可以通过“把一行的倍数加到另一行”或“把一列的倍数加到另一列”这两种初等变换使左上角的元素不为零，于是再通过适当的这两种初等变换可以把化为；如果中第一行和第一列的元素全为零，那么已形如。对于子矩阵，再重复以上的做法，如此做下去即可逐步把化成对角形矩阵。矩阵也可以反过来通过对施行上述两种初等变换而得出。这就是说，存在型矩阵，使。最后我们讨论一下矩阵乘积的行列式。性质9 若和是同阶方阵，则。证 先看一个特殊情形，即是一个对角矩阵的情形。设，容易算出，因此由性质2得。再看一般的情形。由例，存在型矩阵，使，且根据性质8，有。于是，注意到性质8及是对角矩阵，有。定义3 方阵称为非退化的或非奇异的，如果；否则称为退化的或奇异的。从性质9立即推出推论 设是同阶方阵，矩阵为退化的充分必要条件是中至少有一个是退化的。性质9及其推论可以推广到多个同阶方阵乘积的