花拉子米与二次方程.doc

十四、最早发现二次方程求根公式二次方程的求根公式也是中国最早发现的。中国古代数学家赵爽，在对中国古典天文著作周髀算经做出注解时，写了一篇有很高科学价值的勾股圆方图的注文，在此文中赵爽在讨论二次方程x2-2cx+a2 = 0时，用到了以下的求根公式： 这个公式与我们今天采用的求根公式是很相似的。赵爽这一发现，比印度数学家婆罗门笈多（公元628年）提出的二次方程求根公式要早许多年。追根究底“一元二次方程求根公式”探源一元二次方程的求根公式是中国最早得出的三国时期的赵爽对古代著名的周脾算经做注释时，曾写了一篇很有价值的“勾股圆方图”的注文.在此文中，赵爽讨论方程时，用到了求根公式，与我们现在用的求根公式基本上是一致的这个成果比印度数学家婆罗门芨多在公元七世纪提出的二次方程求根公式要早许多年我国在九章算术的“勾股章”中，也涉及到二次方程的普遍解法在欧洲，过了一千多年才由法国数学家获得类似的结果古代位于美索不达米亚的古国巴比伦，对天文、历法很有研究，因此算术和代数比较发达.巴比伦人提出了一个代数问题：求出一个数，使它和它的倒数的和等于已知数，用现代的记号，就是求出这样的，使得，从这个方程可以得出，他们求出后，在求得，然后写出解答：和不过当时巴比伦人不知道负数，对负根略而不提埃及的纸草文书中曾涉及到最简单的二次方程，阿拉伯人用代数方法解方程，然后用几何图形说明步骤的合理性，显示了代数与几何的统一中世纪中亚细亚数学家阿尔花拉子模写的代数学一书，在好几个世纪内被作为代数的基础教科书，其中包括了解二次方程的基本方法，承认二次方程有两根但它们对于求根公式的应用远远落后于中国2.3 基于“历史发生原理”的教学实践研究斯宾塞认为：“对孩子的教育在方式和顺序上都必须符合历史上人类的教育，换言之，个体知识的发生必遵循人类知识的发生过程。我们相信，这一理论是由孔德提出来的我们可以接受该理论，而无需诉诸他的知识发生理论，不论是就其原因，还是就其次序。”海克尔（E. Haeckel, 1834-1919）生物发生学定律“个体发育史重蹈种族发展史”在教育中的应用：“个体认知的发生遵循人类认知发展的过程。”就数学教育而言，个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序。所以，在教授数学学科时，如果能考虑历史发展过程中的某些基本事实，有助于学生更好地理解这门学科，而且有助于预测学生在学习过程中可能出现的错误和遇到的困难。若能利用这一点进行教学设计，可以帮助学生更好地理解和接受所要学习的知识。例如：在学习“一元二次方程的解法”这一内容时，笔者尝试了一元二次方程的解法这一融入了数学史的拓展课教学。教学过程简述如下：解一元二次方程的基本思路是降次。从历史上来看，早在12世纪，印度数学家婆什迦罗（Bhskara, 11141185）在其丽罗娃蒂中已经表达了这一思路：在一元二次方程两边乘以某数，再在两边加上某数，使得方程一边为完全平方，另一边为常数，从而开方得方程的根。由于全日制义务教育数学课程标准提出在教学中应“介绍有关代数内容的几何背景”，“注重数学知识之间的联系”，我们可以从花拉子米的平方法入手。例1、解方程。公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米（Al-Khwarizmi, 780?850?）在他的名著代数学中解过这个一元二次方程，不过他把方程写成的形式。教师可告诉学生，在当时，人们还不能接受负数，因此，人们并不把方程写成一边等于零的形式。方程的书写往往以不出现负系数为准，如，（，），也不考虑负根（方程被看成没有意义，因为它的两个根均为负数）。花拉子米把方程左边看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（长为x，宽为5）构成的矩尺形，它的面积为39，如图1所示。于是只要在这个图形上添加一个边长为5的正方形，即可得到一个完整的正方形，这个正方形的面积为39+52=64。于是知它的边长为8，因而得方程的正根x = 3。 图 1 图 2引导学生把这个过程用代数语言写出来，就是： 或-13。教师适时地告诉学生：上述解一元二次方程的方法叫配方法：将常数项移到方程右边，两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方，然后直接开方。接着，让学生用配方法解一般方程（，）：.图2是上述解法的几何模型。例2、解方程。从几何上看，方程左边就是图3中边长为x的正方形中挖去一个长为x、宽为7/2的矩形、一个长为x-7/2、宽为7/2的矩形以及一个边长为7/2的正方形后所得的矩尺形，它的面积为60。因此，添加一个边长为7/2的正方形，即得边长为x-7/2的正方形，其面积为60+(7/2)2 =289/4。于是知它的边长为17/2，故得方程的正根x = 12。引导学生把这个过程用代数语言写出来，就是： 图 3 图 4或-5。可见，就正根而言，巴比伦人的结果与我们的配方法完全吻合。接着，让学生用配方法解一般方程（，）：.图4是上述解法的几何模型。让学生总结首项系数为1的一元二次方程的配方法：不论一次项系数和常数项是正还是负，只要将常数项移到等式右边，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，如果方程右边的常数非负，就可以直接开方。例3、解下列方程：(1)； (2)；(3)；(4)。其中第一个方程是公元7世纪印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta）解过的方程；第二个方程出自16世纪法国的代数教材，第三个方程出自16世纪意大利的数学教材。2 在学生掌握二次项系数为1的一元二次方程的配方法之后，让学生思考：如何用配方法来解二次项系数不为1的一元二次方程？引导学生将其化为二次项系数为1的方程，然后用上面学过的配方法得到一元二次方程的求根公式：（）在数学史上，一元二次方程的上述求根公式被称为“印度求根公式”。原来，前面提到的12世纪印度数学家婆什迦罗在其著作中引用了11世纪数学家斯里达罗（Sridhara, 11世纪）的解一元二次方程的方法，这种方法并不需要将二次项系数化成1。可以引导学生作这样的思考：如果不将二次项系数化成1，是否也能配方呢？需要在方程两边乘以什么数呢？方法1：方法2： 方法2的优点是配方过程中可以尽量避免使用分数。教师说明：利用上述公式来解一元二次方程的方法叫公式法。例4、解下列方程：（1）； （2）；（3）；（4）。其中第一个方程是美洲历史上第一本数学教科书（1556年）上的一元二次方程；第二个方程是欧几里得几何原本第二卷命题11（黄金分割作图）的等价形式。公式法早在公元前19世纪就已经为巴比伦人所知，而因式分解法的出现却迟了整整3500年！究其原因，与方程的书写方法有关。17世纪以前，人们并不把方程写成一边等于零的形式，人们可以理解方程，却无法理解。因此，因式分解法毫无用武之地。但是，一旦人们将方程写成一边等于零的形式，因式分解法便应运而生了。那么，数学家最初是如何想到因式分解法的？从哈里奥特的例子中，我们可以看出，他是先遇到了方程，将左边展开得，由此反过来想到用因式分解来解一元二次方程的。在笛卡儿（R. Descartes, 15961690）几何学（1637）中，我们也可以看出这一点。笛卡儿将一元一次方程和相乘，得一元二次方程，它的两个根为2和3。借鉴历史，教师可以先给出下面的例子。例5、解下列方程：（1）；（2）；（3）。在得到诸方程的根之后，教师进一步问：上面三个方程是否一元二次方程？让学生将方程左边展开，得到一般形式的一元二次方程之后，让学生思考：对于一般的一元二次方程，我们能否反过来把左边分解成两个一次因式的乘积，从而得出两个根呢？例6、解下列方程：（1）；（2）。第一个方程不含一次项，利用平方差公式，我们很容易将左边进行因式分解，得，从而得或；但对于第二个方程，我们无法直接用平方差公式。教师可以引导学生先配方，再利用平方差公式：或教师说明：将一元二次方程写成右边等于零的形式，然后将左边分解成两个一次因式的乘积，从而求出方程的根，这种解方程的方法叫因式分解法。上例中第二个方程的解法中利用了配方法，并没有显示出因式分解法的优势。教师接着进一步举例讲述因式分解法。例7、解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）。其中第一个方程是斐波纳契的；第二个方程是15世纪意大利数学家帕西沃里（L. Pacioli, 14451509）的，第三和第四个方程是印度数学家婆什迦罗的。设计第一个方程的目的是告诉学生，不含常数项的一元二次方程用因式分解法最方便；设计后三个方程的目的是介绍十字相乘法。教师通过这些例子说明：因式分解法与配方法、公式法各有千秋，都是十分重要的解方程方法。本教学设计是参照课程标准进行的，其目的是：(1)激发学生的学习兴趣，创造学生的学习动机；(2)让学生了解一元二次方程的悠久历史；(3)使学生体会到代数与几何之间的密切联系；(4)使学生经历观察、猜测、验证、推理、交流等数学活动；(5)让学生体会数学问题解决策略的多样性；(6)尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要；(7)运用历史发生原理，使教学更符合学生的认知规律；(8)为教师如何创造性使用教材提供一个视角。显然，一元二次方程的历史知识在其中扮演了十分重要的角色。同样地，在课后，依然对学生进行了相应的问卷调查。问题1：在本节课的学习活动中，有关一元二次方程解法的历史内容的介绍，会加深我对教学内容的印象。非常同意同 意没意见不同意非常不同意人数%人数%人数%人数%人数%3073.2512.237.337.300问题2：我认为了解“历史上一元二次方程各种解法的出现”有助于更好地理解和掌握一元二次方程的各种解法。非常同意同 意没意见不同意非常不同意人数%人数%人数%人数%人数%3380.537.337.324.900问题3：我觉得融入数学史的教学课程是多此一举，浪费时间。非常同意同 意没意见不同意非常不同意人数%人数%人数%人数%人数%0037.3614.624.93073.2问题7：你对本节课的教学活动，有什么意见和建议？学生的主要意见和建议有：（1）原来数学家们也花了那么大的功夫才得到一元二次方程的各种解法；（2）用几何方法来解决代数问题挺独到的； （3）原来因式分解法的出现比公式法要晚，怪不得我不太会用因式分解法来解一元二次方程。据统计，可以发现大多数的学生对这节课的教学持正面态度。花拉子米的功绩代数学的起源代数学是数学的重要分支学科之一，对数学来说有基础性的意义：一方面代数学为许多现代数学分支提供了发展的基础；另一方面，它的初步内容又构成了人们学习数学的入门知识。代数学的发展经历过漫长的历史时代，许多国家、许多民族都做出过贡献。在以方程论为中心的古典代数学的发展中，阿拉伯数学家做出了独特的贡献，花拉子米就是代表。代数学的萌芽有了古老的算术以后，越来越多的问题摆在了数学家面前。为了寻找较为普遍的方法来解决在算术里积累的大量数量问题，古老的算术就必须进行改进和发展。在这个缓慢的过程中，便产生了古典代数学的萌芽，因此，算术和代数没有截然分开的时间。代数最初是用文字表述的，大约在公元前2000年，巴比伦算术已经演化出一些用文字表述的代数解题方法。他们既能用相当于代入一般公式的方法，又能用配方法来解二次方程，还讨论过某些三次方程和双二次方程。方程问题是古典代数的主要内容，除了巴比伦，在古代的中国、印度、阿拉伯等国家对方程的认识也都有着悠久的历史。秦汉时期，天文历法有了较大的发展，为了编制历法，当时的中国数学家就已经知道了一些方程的解法。约公元50年成书的九章算术，是中国流传至今最古老的一部数学专著。在这本书中已经使用了“方程”这个名词，并且出现了解一元一次方程和一元二次方程等许多代数问题。之后，东汉末年至三国时代的赵爽研究了二次方程的求根问题；他还研究了根与系数的关系，得到了和一元二次方程的求根公式以及“韦达定理”相似的结果。南北朝时期的数学家张邱建在张邱建算经一书中给出了一个用文字写出的方在以后的各个朝代中，中国数学家对方程的研究都有过重要成就，例如唐朝王孝通、张遂，北宋时期的贾宪、刘益，南宋时期的秦九韶等，他们对方程的解法或有所改进，或有所创新。但是，如何去表示一个方程却一直是很困难的，因为用字母代替未知数，用符号表示代数式这种方法自创立至今也不过400年的历史。在这之前都是用文字叙述的，为了简明地列出方程，古人们想了许多改进办法。公元11、12世纪，中国产生了“天元术”，13世纪数学家李冶将其整理、简化。李冶的天元术中，先“立天元为一某某”就是设未知数，然后根据问题的条件列出天元式。在未知量的一次项旁边记一“元”字，在常数项旁记一“太”字，并按高次幂在上低次幂在排列，还可两个天元式相减进行“同数相消”。天元术已有现代列方程记法的雏型，现代学史家称它为半符号代数。 用“元”代表未知数的说法，一直延用到现在。活动于公元250年前后的丢番图是希腊数学中的代表人物，他最出色的著作算术一书中的绝大多数篇章谈的是方程，他是解方程的大师，被称为代数学的鼻祖。受中国的影响，印度在7世纪初就有了用文字写的代数学，已经能使用缩写文字和一些记号来描述代数的问题和解答，具有符号代数的性质。公元820年左右，阿拉伯数学家花拉子米从印度回国后著代数学一书。该书的方程论被规定为代数学的研究对象，方程的概念也被明确起来，书中第一次明确提出了二次方程的一般解法，同时，还提出了“移项”、“合并同类项”等方法。以后，方程的解法被作为代数的基本特征长期保留下来。从此，诞生了花拉子米的代数学。花拉子米李善兰韦达外号取代了本名的数学家花拉子米是中世纪中亚地区的一位重要数学家。他于公元783年左右出生于花拉子模。花拉子模是中亚地区的一个古国，位于咸海之南。现分属于乌兹别花拉子米（783850）克斯坦和土库曼斯坦。花拉子米的意思是“祖籍花拉子模的人”，是此人的一个外号。后来人们都这么称呼他，外号就取代了本名，本名反而不为人所知了。他早年在家乡接受初等教育，后到中亚地区的古城默夫深造，并到过阿富汗、印度等地游学，很快成为这一地区远近闻名的学者。公元813年，阿拔斯王朝的哈利发马蒙聘请花拉子米到首都巴格达工作。公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”，花拉子米是该馆的主要学术负责人之一。他在这里一直工作到850年左右去世。花拉子米一生写出许多著作，除了大量的数学著作外，还有天文学、地理学著作。代数学名称的由来花拉子米在研究方程求解的过程中，首倡把一个负项移到方程的另一端变为正项，称之为 al-jabr，意思是“还原”，并认为方程的两端可以消去相同的项或合并同类项，称之为muqa-bala，意为“对消”或“化简”。这是花拉子米首创的两种重要的数学方法。他于820年左右写成了还原和对消计算概要这一传世之作，原文是阿拉伯文，拉丁文译名为Liber mahucmeti de Algebra et almuchabala从书名来看，algebra来自于阿拉伯文的al-jabr阿拉伯文jbr的意义是“恢复”、“还原”。解方程时将负项移到另一端，变成正项，也可以说是一种“还原”。书名后面的那个阿拉伯文muqabala原意为“对抗”、“平衡”，用来指消去方程两端相同的项或合并同类项，也可译为“对消”。12世纪时，al-jabr译为拉丁文时成为algebra，而花拉子米书名的第二个字muqubala渐渐被省略，全书常简称为algebra。于是这个学科就以algebra为名。algebra传入我国，最初音译为