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考点8 函数与方程、函数模型及其应用一、选择题1. （2014湖南高考理科10）已知函数的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是 ( )a b c d【解题提示】利用存在性命题及函数图象的对称性，再构造新函数，利用函数图象平移求解。【解析】选b.解法一：由题可得存在满足,当取决于负无穷小时,趋近于,因为函数在定义域内是单调递增的,所以。解法二：由已知设，满足，即，构造函数，画出两个函数的图象，如图，当向右平移个单位，恰好过点时，得到，所以。2、（2014上海高考文科18）【解题提示】通过消元法解方程组，可得y的关系式，结合，可把y求出来，代入可得x的取值.【解析】3. （2014山东高考理科8）已知函数，若有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）a、 b、 c、 d、【解题指南】 本题考查了函数与方程，函数的图像，可先作出草图，再利用数形结合确定k的范围.【解析】选b.先作出函数的图像，由易知，函数的图像有两个公共点，由图像知当直线介于之间时，符合题意，故选b.二、填空题4.（2014福建高考文科15）15函数的零点个数是_【解题指南】分段函数分段处理【解析】令，解得（舍）或；令，即，如图3，在的范围内两函数有一个交点，即原方程有一个根综上函数共有两个零点答案：5. （2014辽宁高考理科1）对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值为【解析】令，则，代入整理得，由于存在，所以方程有解，即，整理得从而的最大值为，此时方程有相等实根，解得从而，所以答案：【误区警示】抓住“取得最大值”这一关键，寻求取得最值时间的关系，减少变量个数，防止由于多个变量纠缠不清6. （2014辽宁高考理科1）对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值为【解析】令，则，代入整理得，由于存在，所以方程有解，即，整理得从而的最大值为，此时方程有相等实根，解得从而，所以答案：【误区警示】抓住“取得最大值”这一关键，寻求取得最值时间的关系，减少变量个数，防止由于多个变量纠缠不清三、解答题7. （2014辽宁高考理科21）（本小题满分12分）已知函数，.证明：（）存在唯一，使；（）存在唯一，使，且对（1）中的，有.【解析】证明：（）当时，函数在上为减函数，所以存在唯一，使；（）考察函数令，则时，.记.则由（）当时，；当时，；可见在上，为增函数，而，因此当时，所以在上无零点.在上，为减函数，而，则存在唯
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