第6讲 圆锥曲线离心率问题及其解决策略.doc

高二复习提高讲义 1 第 6 讲 圆锥曲线离心率问题及其解决策略 一 回顾 1 已知双曲线的左 右焦点分别为 抛物线的顶点在原点 准线 22 1 22 1 0 0 xy Cab ab 1 F 2 F 2 C 与双曲线的左准线重合 若双曲线与抛物线的交点满足 则双曲线离心率为 1 C 1 C 2 CP 212 PFFF 1 C A B C D 23 2 3 3 2 2 解 由已知可得抛物线的准线为直线 方程为 2 a x c 2 2 4a yx c 由双曲线可知 2 b P c a 22 2 4 ba c ac 2 22 2 22 b ba a 2 12e 3e 注 结合离心率在考纲中的要求 题目所涉及的知识与方法 使同学明确设计此复习专题的必要性和 重要性 引出课题 数量关系方面 椭圆中 双曲线中 c e a 2 2 2 1 b e a 2 2 2 1 b e a 与椭圆 双曲线的图形结合在一起 离心率如何体现呢 曲线的第二定义体现离心率的几何意义 特征角的三角形函数值 离心率的变化与图形形状之间的内在联系 椭圆越圆 离心率越小 椭圆越扁 离心率越大 双曲线开口越大 阔 离心率越大 开口越小 窄 离心率越小 2 若双曲线的离心率是 则实数的值是 B 22 1xky 2k A B C D 3 1 3 3 1 3 解析 先将方程化成标准形式 然后确定 再根据求出的值 2 a 2 b 2 2 2 1 b e a k 设计意图设计意图 考查双曲线的标准方程及的应用 2 2 2 1 b e a 变式 若椭圆的离心率是 则实数的值是 22 1xky 1 2 k 设计意图 设计意图 通过类似分析求解 让同学们理解和掌握 已知离心率时如何迅速求出方程中所含有的参数 的值或参数之间的关系 同时还训练了同学们的举一反三能力 3 椭圆 的两个焦点分别为 以 为边作正三角形 若椭圆恰好 22 22 1 xy ab 0ab F 2 F 1 F 2 F 平分三角形的另两边 则椭圆的离心率为 B e 高二复习提高讲义 2 A B C D 31 2 31 4 23 32 4 解析 设点为椭圆上且平分正三角形一边的点 如图 P 由平面几何知识可得 2112 1 3 2PFPFFF 所以由椭圆的定义及得 c e a 故选 B 12 12 22 31 2 31 FFc e aPFPF 设计意图设计意图 充分利用平面几何中特殊图形的性质 考查椭圆第一定义 及离心率的基本求法 突出了离心率的大小只和与的比值有关 而与其大小分别是多少无关 进一eca 步揭示离心率是体现椭圆扁圆程度的基本量 变式提醒变式提醒 如果将椭圆改为双曲线 其它条件不变 不难得出离心率 31e 4 已知双曲线的左 右焦点分别为 若在双曲线的右支上存在一点 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 F FP 使得 则双曲线的离心率的取值范围为 答案 21 3PFPF e12e 解析 方法一 由及双曲线第一定义式 21 3PFPF 得 12 2PFPFa 又 1 3PFa 2 PFa 12 2FFc 因为点在右支上运动 所以 P 1212 PFPFFF 得 即 又 故填 42ac 2 c a 1e 12e 方法反思方法反思 若改变两个焦半径 的倍分关系 同理也可得出相应的离心率的范围 1 PF 2 PF 二 典例分析 近几年高考数学卷对圆锥曲线离心率的考查是个热点 2009 年高考全国卷 第 11 题就具有亮点 朴实无华 似曾相识 平而不俗 淡中出奇 让许多考生措手不及 此题体现了高考以能力立意的命题意 图 对考生思维的考查较深入 要求考生在较短的时间内把握题目考查意图 作出抉择 很具有挑战性 是对考生数学素养和解题经验积累程度的考验 解法选择的好 解决问题就事半功倍 事实上 许多考生 考试中 要么草草收兵缴械投降 要么陷入繁杂运算最终浪费了时间 无疾而终 很是可惜 从抽样调查 所获得的难度系数仅为 0 14 也很好的印证了这一点 例 1 2009 高考全国卷 11 已知双曲线的右焦点为 F 过 F 且斜率为 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的直线交 C 于 A B 两点 若则 C 的离心率为 34 AFFB 1 F 2 F x O y P P y xO 2 F 1 F 高二复习提高讲义 3 A B C D 6 5 7 5 8 5 9 5 思路 1 代数方法 设出右焦点为 F 且斜率为的直线方程为与双曲线方程联立消去3xmyc x 并设 A B 坐标依次为几何条件转化为通过消去可以得到 1122 x yxy 4 AFFB 12 4yy 12 y y 关于的方程 不过由于比较繁杂的运算很难继续进行下去 许多考生就是陷入繁杂运算而难以脱身的 e 思路 2 设出直线的参数方程可以化解思路一所遇到的困难 解法略 思路 3 思路 2 的方法固然不错 但是并非通性通法 因此 出题人的真正本意也一定不在这里 那 么本题到底要考查我们什么呢 或者好的解题途径是什么呢 随着新课程的逐步实施 高考越来越注重 数学思想和方法的考查 着力体现 以纲据本 的命题思想 贯彻 立足教材 能力立意 的命题原则 因此 我们可否回归到圆锥曲线以及离心率的定义本身寻求解答呢 也许这样就是出题者的意图 事实果然如此 回归定义 是一种重要的解题手段 解析几何具有 数形结合 的显著特点巧妙运用平面几何知识往往可以 加快解题速度 提高准确率 下面方法是运用双曲线第二定义求离心率 e 几何方法 如图 1 所示 及可得 AFBF e AABB 4 AFFB 4 AA BB 过 B 作于 M 则 BMAA 3560AMBBABBFEAB 得 故选 A 3 11 252 BB AM ABBF 6 5 AF e AA 思路 4 由熟悉的焦半径公式带出 e 也能得到解决 双曲线 设 22 22 1 xy C ab 11221 A x yB xyAFexa 则 又即 212 BFexa AFBFe xx 4 AFFB 4AFBF 由 得 12 1 3 BFe xx 12 4 3 AFe xx 12 5 3 ABAFBFe xx 又有已知直线的斜率为 3 12 1212 12 33 AB yy kyyxx xx 由 得 故选 A 1212 2 2 3 AByyxx 1212 5 2 3 e xxxx 6 5 e 思路 5 本题也可以运用极坐标下的圆锥曲线极坐标方程来解 由圆锥曲线极坐标方程有而故 1cos ep e 1cos601cos120 epep FAFB ee 4 AFFB 解之可得 故选 A 4 1cos601cos60 epep ee 6 5 e 二 对问题的一般性拓展 这是一道背景十分丰富而有被大家熟悉的考题 在很多高考复习资料中都出现过类似的出现 在 希 望杯 竞赛试题中就曾经有过类似考查 现将类题举例如下 A1 B1 A B M F y xO 图 1 高二复习提高讲义 4 1 过椭圆的一个焦点作与椭圆长轴的夹角为的直线 交椭圆于两点 若F 3 arccos 4 BA 则椭圆的离心率为 1 3AFBF A B C D 1 3 3 2 3 3 2 3 2002 年希望杯第一试 答案 D 2 过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线与双曲线交于两点 求的1 3 2 2 y x 1 F 30BA 11 BFAF 值 答案 32 3 过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点 3 1 求该直线的方xy3 2 FBA AFBF 程 答案 4 3 3 xy 进一步探讨 以此题为背景对于椭圆 双曲线 抛物线 可获得一般性的结论 命题 1 如图 2 过椭圆的焦点作直线交椭圆于1 2 2 2 2 b y a x F 两点 若 直线与长轴的夹角为 椭圆的BA nBFmAF 离心率为 e 则有 cos nme nm 证明 设直线过椭圆的左焦点 过作相应准线 的垂线BA l 为垂足 过作的垂线与的延长线交于BBAA 和 BA 和 AB B B B 点 则 C ABC 由椭圆定义 可知 AAAF BFBBe 于是 在中 mn AABB ee e nm BBAABC ABCRt 当直线过右焦点时 证法与上相同 coscos mn ABC e mn 又由于为直线与长轴的夹角 cos 0cos nme nm 故 命题 2 如图 3 过双曲线的焦点作直线与双曲线中的一支交于两点 若1 2 2 2 2 b y a x FBA x y 图 2 OF B C A A B l 高二复习提高讲义 5 且直线与实轴的夹角为 双曲线的离心率为 e 则有 nBFmAF cos mn e mn 如图 4 过双曲线的焦点作直线与双曲线的两支分别交于两点 若1 2 2 2 2 b y a x FBA 且直线与实轴的夹角为 双曲线的离心率为 e 则有 nBFmAF cos mn e mn x y 图 3 OF B A x y 图 4 O F BA 命题 3 如图 5 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点 若 pxy2 2 FBA AFnBFm 且直线与抛物线的对称轴的夹角为 则有 cos mn mn 命题 2 3 的证明与命题 1 的证明类似 此处从略 对于焦点在轴上的圆锥曲线与过焦点的直线交于两点 弦被焦点分成的两段y 与圆锥曲线的离心率 e 及直线和轴的夹角之间仍有上述关系成立 nm y 运用上述命题解答 09 高考 11 如下 由令 4 AFFB 4 13 4 1 cos 4 1 5 mn AFBF e mnee 116 3525 e e 变式 1 2010 全国理 2 12 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右焦点F且斜率为 0 k k 的直线与C相交于AB 两点 若3AFFB 则k A 1 B 2 C 3 D 2 答案 B 命题意图 本试题主要考察椭圆的性质与第二定义 解析 设直线 l 为椭圆的有准线 e 为离心率 过 A B 分别作 AA1 BB1垂直于 l A1 B 为垂足 x y 图 5 OF B A 高二复习提高讲义 6 过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E 由第二定义得 由 得 即 k 故选 B 变式 2 2010 高考全国理 1 16 已知是椭圆的一个焦点 是短轴的一个端点 线段的延长线交FCBBF 于点 且 则的离心率为 CDBF2FD uu ruur C 3 3 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质 第二定义 平面向量知识 考查了数形结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数研究形 形助数 利用几何性质可寻求到简化问题的捷径 解析 1 如图 22 BFbca 作轴于点 D1 则由 得 1 DDy BF2FD uu ruur 所以 1 2 3 OFBF DDBD 1 33 22 DDOFc 即 由椭圆的第二定义得 3 2 D c x 22 33 22 acc FDea ca 又由 得 整理得 2 BFFD 2 3 2 c ca a 22 320caac 两边都除以 得 解得 2 a 2 320ee 1 e 舍去 或 2 3 e 解析 2 设椭圆方程为 第一标准形式 F 分 BD 所成的比为 2 代入 22 22 3022333 0 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 例 2 设 是椭圆的两个焦点 若椭圆上存在点 使 则椭圆离心率 e 的范围是 1 F 2 FP o PFF120 21 解法 1 如图 1 当点与短轴端点重合时 PB 最大 故由题设可知 21PF F o PFF120 21 tan 1 FBO tan360 o P x B o 1 F 2 F y 图 1 x O y B F 1 D D 高二复习提高讲义 7 即 则 tan3 1 b c BOF a c e 2 3 1 3 1 1 1 1 2 22 c b cb c 又椭圆离心率 1 e1 2 3 e 解法 2 设 则由椭圆定义及余弦定理 得mPF 1 nPF 2 cFF2 21 mnnmc24 222 即 亦即 从而 o 120cosmnnm 22 mnnmc 22 4mnac 22 44 即 又知 22222 2 2 2 44a anm mnca 222 44aca 22 34ac 4 3 2 e10 e 故为所求 1 2 3 e 解法 3 不妨设点在轴上方 又知 则 yxPx 0 1 cF 0 2 cF o 120tan 12 12 1 PFPF PFPF kk kk 由椭圆方程有 代入上式 得 cx y cx y cx y cx y 1 222 2 cyx cy 2 2 2 22 y b a ax 解得或 舍去 又知 故有 0323 4222 bcybyc0 3 2 c b y0 3 2 c b y0yb 2 03bbc 3 3 bc 2 22 2 2 2 a ba a c e 2 2 1 a b 2 2 3 3 1 c a 即 又 为所求 2 1 1 3 e 4 3 2 e10 e1 2 3 e 解法 4 设 则 由正弦定理得 21F PF 12F PF ooo 60120180 故 sinsin 2 sinsinsinsin120sin 2 anmnmc o 2sin120333 2sinsin2 4sincos4sin30 cos 222 o o c e a A 又 故为所求 10 e1 2 3 e 高二复习提高讲义 8 解法 5 由焦半径公式及余弦定理得 解得 o pppp exaexaexaexac120cos 2 4 222 由椭圆的范围知 故有 2 22 2 34 e ac xp 2 2 0axp 2222 043cae a 10 e 为所求 1 2 3 e 解法 6 由已知及椭圆焦点三角形的面积公式得 由椭圆的范围知 22 3 2 120 tan 21 bbS o PFF 有 以下同解法 3 bcS PFF max 21 bcb 2 3cb 3 3 评析 椭圆的离心率反应了椭圆的扁平程度 而扁平程度与椭圆的范围相关 解法 1 中的 最大 e 12 FPF 解法 3 中的 解法 5 中的 解法 6 中的 都是运用椭圆by 0 2 2 0axp bcS PFF max 21 的范围求离心率的范围 解法 2 运用椭圆定义 余弦定理及基本不等式 解法 4 运用三角函数的有界性 e 巧妙地求出了离心率的范围 e 例 3 2009 重庆卷理 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若 双曲线上存在一点P使 12 21 sin sin PFFa PF Fc 则该双曲线的离心率的取值范围是 解法 1 因为在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 且知点 P 在双曲线的右支上 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 PFaex PFexa 则 00 a aexc exa 解得 0 1 1 a caa e x e cae e 由双曲线的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得2121 1 ee 又 故椭圆的离心率 1 21 e 小结 注意隐含条件点 P 在双曲线的右支上的挖掘 分析 2 确定 P 点位置 巧妙运用圆锥曲线定义及几何性质 使求解过程变得方向明确 思路清楚 只需 简单放缩技巧即可迎刃而解 解法 2 由解析 1 知 12 c PFPF a 由双曲线的定义知 高二复习提高讲义 9 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 20 a PFcacacaca ca 则既所以 2 210 ee 以下同解析 1 例 4 椭圆 的两个焦点分别为 以 为边作正三角形 若椭圆 22 22 1 xy ab 0ab F 2 F 1 F 2 F 恰好平分三角形的另两边 则椭圆的离心率为 B e A B C D 31 2 31 4 23 32 4 解析 设点为椭圆上且平分正三角形一边的点 如图 P 由平面几何知识可得 2112 1 3 2PFPFFF 所以由椭圆的定义及得 c e a 故选 B 12 12 22 31 2 31 FFc e aPFPF 设计意图 充分利用平面几何中特殊图形的性质 考查椭圆第一定义及离心率的基本求法 突出了离心e 率的大小只和与的比值有关 而与其大小分别是多少无关 进一步揭示离心率是体现椭圆扁圆程度的ca 基本量 变式提醒 如果将椭圆改为双曲线 其它条件不变 不难得出离心率31e 例 5 已知双曲线的左 右焦点分别为 若在双曲线的右支上存在一点 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 F F 使得 则双曲线的离心率的取值范围为 答案 P 21 3PFPF e12e 解析 1 方法一 由及双曲线第一定义式 21 3PFPF 得 12 2PFPFa 又 1 3PFa 2 PFa 12 2FFc 因为点在右支上运动 所以 P 1212 PFPFFF 得 即 又 故填 42ac 2 c a 1e 12e 解法 2 焦半径公式运用 解法 3 函数思想运用 1 F 2 F x O y P P y xO 2 F 1 F 高二复习提高讲义 10 C C B B F F A A O O y y x x 总结 1 几何方法 一般考虑简单的平面几何知识 圆锥曲线的定义 2 代数方法 考虑建立目标函数 利用焦半径公式 等等 一 离心率定义 公式运用 1 07 福建 已知正方形 则以为焦点 且过两点的椭圆的离心率为 ABCDAB CD 解 设 c 1 则 21 21 221 cAB e aACBC 2 07 全国 9 设 则双曲线的离心率的取值范围是 1a 22 22 1 1 xy aa e A B C D 2 2 25 2 5 25 解析 因为是减函数 所以当时 2 2 22 22 1 1 1 1 aa aa a c e a 1 1a 所以 即1 1 0 a 52 2 e52 e 考点 解析几何与函数的交汇点 二 充分挖掘几何条件 1 07 浙江卷 已知双曲线的左 右焦点分别为 22 22 1 00 xy ab ab 1 F 2 F 是准线上一点 且 则双曲线的离心率是 P 12 PFPF 12 4PFPFab A 2323 解 设准线与 x 轴交于 A 点 在中 21F PFRt 21 PFPFPAFF 21 又 c ab c ab PA 2 2 4 AFAFPA 21 2 c a c c a c c ba 22 2 22 4 化简得 故选答案 B 22 3ac 3 e 2 07 海南 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2 焦点到渐近线的距离为 6 则该双曲线的离心率 为 解 如图 过双曲线的顶点 A 焦点 F 分别向其渐近线作垂线 垂足分别为 B C 则 6 3 2 OFFCc OAABa 3 07 湖南卷 设分别是椭圆 的左 右 12 FF 22 22 1 xy ab