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高中数学竞赛讲义解三角形1.设的内角A、B、C的对边长分别为、,且3+3-3=4 .() 求sinA的值；()求的值.2.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且8 sin22 cos 2A7（1）求角A的大小；（2）若a，bc3，求b和c的值解:（1） ABC180，90 sin由8sin22cos2A7，得8cos22cos2A7 4(1cos A)2(2 cos2A1)7，即(2cos A1)20 cos A 0A180， A60（2） a，A60，由余弦定理知a2b2c22bc cos A， 3b2c2bc(bc)23bc93bc bc2又bc3， b1，c2或b2，c13.中所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求. 【解析】(1) 因为，即，所以，即 ，得 . 所以,或(不成立).即 , 得，所以.又因为，则，或（舍去） 得(2)， 又, 即 ， 得4.在ABC中，、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（2+b2）sin（A-B）=（2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.【解析】方法一 已知等式可化为2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)22cosAsinB=22cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得2b= b2 2(b2+c2-2)=b2(2+c2-b2)即(2-2)( 2+2-c2)=0=或2+2=c2ABC为等腰或直角三角形.5.已知向量，其中A，B，C是锐角ABC的内角，,c分别是角A，B，C的对边.（1）求角C的大小；（2）求的取值范围.【解题思路】向量的数量积运算法则。向量垂直的判定。【解析】（1）由得 由余弦定理得 （2） 即. 6.设的内角所对的边分别为且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.【解析】（1）由得 又 ，又 （2）由正弦定理得：, 故的周长的取值范围为. （2）另解：周长 由（1）及余弦定理 又即的周长的取值范围为. 7.（天津市河东区200
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