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计算方法 科作业纸姓名 蒋丽丽 序号 15 院系 土木工程 专业 结构工程（06研） 习题六1、试探法证明方程有三个实根,并确定三个根所在区间(区间长度不超过1).证明:令,则有显然方程在区间上都存在实根,由此得所求方程有三个实根,三个根所在的区间为: .3、方程在附近有根, 将方程作三种改写,可得三种迭代式:(1) ; (2) ;(3) .判断各迭代式在附近的收敛性;选一种收敛最快的迭代式,计算附近的根,准确的4位小数.解:判断各迭代式的收敛性如下:（1）令,则有,:（2）令,则有 ;（3）令,则有.由于方法(1)、(2)的，而方法（3）的，故知前两式收敛，由于（2）的值更小，所以选择方法（2）的迭代式计算，过程如下：,.由于,故所求方程在附近的根即为.13、用牛顿法于方程和分别导出求的迭代公式。已知，问用这种迭代公式迭代一、二次能得几位小数准确的近似值（已知）？解：1).令，按泰勒展开：取前两项得到：,取，得到：，显然迭代一、二次能得到3、6位小数准确的近似值。2).令，按泰勒展开：取前两项得到：,取，得到：,，显然迭代一、二次能得到2、5位小数准确的近似值。16用雅可比迭代法与赛德尔迭代法解方程组，取初值，准确到两位小数。解：1）雅可比迭代格式为：，由题意得：故，解毕；2）赛德尔迭代格式为：，由题意得：故，解毕。17设有方程组，写出雅可比迭代、赛德尔、的迭代算式。三种迭代是否收敛？为什么？解：（1）雅可比迭代格式为：，由于故不能判断；方法二：因所给线性方程的系数矩阵为其雅可比迭代矩阵的特征方程为，解之得。于是 ，因而雅可比迭代法发散。（2）赛德尔迭代格式为： 由于故收敛;方法二：赛德尔迭代矩阵G的特征方程为解得于是 ，因而法赛德尔迭代法收敛。(3)、SOR迭带法：因，易知，所以是对称矩阵；由解之得矩阵的特征值为均大于零，则正定。所以是正定对称矩阵。又，故SOR迭代法收敛。18.设有方程组写出收敛的迭代格式，说明收敛的理由。解： 交换方程的顺序，得方程组其系数矩阵严格
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