推理与证明测试题.doc

推理与证明测试题 本讲教育信息】 一.教学内容： 推理与证明 二.本周教学目标： 1.结合已经学过的数学实例和生活实例，了解合情推理，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学中的作用。 2.结合已经学过的数学实例和生活实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的模式，并能运用它们进行一些简单的推理。 3.了解直接证明的两种基本方法分析法与综合法;了解间接证明的一种基本方法反证法。 三.本周知识要点： (一)合情推理与演绎推理 1.归纳推理与类比推理 (1)已知数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出的值。 (2)若数列为等差数列，且，则。现已知数列为等比数列，且，类比以上结论，可得到什么结论?你能说明结论的正确性吗? 【学生讨论：】(学生讨论结果预测如下) (1) 由此猜想， (2)结论： 证明：设等比数列的公比为，则，所以 所以 如(1)是从个别事实中推演出一般结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 如(2)是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理。 说明： (1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 (2)归纳推理的一般步骤： 通过观察个别情况发现某些相同的性质。 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)。 (3)类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性 质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 (4)类比推理的一般步骤： 找出两类事物之间的相似性或者一致性。 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。 2.演绎推理 现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它们曾在赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢?原来在它们的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树。从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。所以南极大陆曾经在温湿的热带。 被人们称为世界屋脊的西-藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立。西-藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界。珠穆朗玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山校谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸的山峰的前身，竟然是深不可测的大海。地质学家是怎么得出这个结论的呢? 科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石。还发现了鱼龙的化石。地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋。科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法，就是一种名叫演绎推理的方法。 1.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。 2.演绎推理的一般模式 分析喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋的推理过程： 鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里大前提 在喜马拉雅山上发现它们的化石小前提 喜马拉雅山曾经是海洋结论 M-P(M是P) 常用格式： S-M(S是M) S-P(S是P) 三段论：(1)大前提已知的一般原理 (2)小前提所研究的特殊情况 (3)结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断 用集合论的观点分析：若集合M中的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。 练习：分析下面几个推理是否正确，说明为什么? (1)因为指数函数是增函数， (2)因为无理数是无限小数 而是指数函数而是无限小数 所以是增函数所以是无理数 (3)因为无理数是无限小数，而(=0.333)是无限小数，所以是无理数 说明：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误。 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系 从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理。 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验;也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色。 就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想。 (二)直接证明与间接证明 1.综合法与分析法 (1)综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理证明，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法又叫顺推证法。 它的基本思路是“由因导果”，即从“已知”得“可知”，再逐步推向的方法。 (2)分析法 我们从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件，这种证明方法叫分析法，它的特点是：从看需知，再逐步靠近已知。 2.间接证明 反证法 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 (三)数学归纳法 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值时结论正确; (2)假设当n=k(k，且k)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。 数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。 【典型例题】 例1.如图所示，在锐角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D，E为垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等。 证明：(1)因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形，大前提 在ABD中，ADBC，ADB=90?，小前提 所以ABD是直角三角形。结论 同理，AEB也是直角三角形 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提 而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，小前提 所以DM=，结论 同理，EM=。所以DM=EM 例2.已知，求证：。 证法一(综合法)： 证法二(分析法)：，为了证明， 只需证明， 即， 即， 即， 即. 成立， 成立 例3：证明：不能为同一等差数列的三项。 证明：假设、为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足 =+md=+nd n-m得：n-m=(n-m) 两边平方得：3n2+5m2-2mn=2(n-m)2 左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数 所以，假设不正确。即、不能为同一等差数列的三项 例4.通过计算可得下列等式： 将以上各式分别相加得： 即： 类比上述求法：请你求出的值。 解： 将以上各式分别相加得： 所以： 例5.自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用表示某鱼群在第年年初的总量，且0。不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数。 ()求与的关系式; ()猜测：当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明) 解：(I)从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 (II)若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n，从而由(*)式得 因为x10，所以ab。 猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变。 【模拟试题】 1.如果数列是等差数列，则 A.B. C.D. 2.下面使用类比推理正确的是 A.“若，则”类推出“若，则” B.“若”类推出“” C.“若”类推出“(c0)” D.“”类推出“” 3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 4.设，nN，则 A.B.-C.D.- 5.在十进制中，那么在5进制中数码xx折合成十进制为 A.29B.254C.602D.xx 6.函数的图像与直线相切，则= A.B.C.D.1 7.下面的四个不等式：;。其中不成立的有 A.1个B.2个C.3个D.4个 8.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间