【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）4.5.3 利用坐标计算数量积精品导学案 湘教版必修2.doc

4.5.3利用坐标计算数量积学习目标重点难点1能记住在坐标表示的条件下，数量积的计算公式、模及夹角余弦的公式、两向量垂直的条件；2能够利用坐标运算解决各公式相应的问题.重点：在坐标表示的条件下，数量积、模、夹角、垂直条件等各公式的应用；难点：坐标运算的综合问题；疑点：在坐标表示条件下两向量共线与垂直的条件.设向量u(x1，y1)，v(x2，y2)，可得(1)坐标表示的数量积的计算公式：uv(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2.(2)坐标计算向量的模的公式：|u|.(3)坐标计算投影值的公式：(u)v(v不为0)(4)坐标计算夹角余弦的公式：cosu，v(u，v都不为0)(5)坐标表示的垂直条件：uvuv0x1x2y1y20.预习交流1在坐标表示条件下，两向量共线与两向量垂直的条件有何区别？提示：对于两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，有abab0x1x2y1y20；abab|a|b|x1y2x2y10.预习交流2与向量a(x，y)垂直的所有单位向量怎样表示？提示：(y，x)和(y，x)在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、数量积的坐标运算已知a(2,3)，b(1,1)，c(0，4)，求：(1)(ab)(a2b)；(2)|a2b|；(3)(ab)c.思路分析：按照平面向量数量积的运算法则进行计算解：(1)ab(2,3)(1,1)(1,4)，a2b(2,3)2(1,1)(4,1)，(ab)(a2b)(1,4)(4,1)8.(2)a2b(2,3)2(1,1)(0,5)，|a2b|5.(3)(ab)c(3,2)(0，4)8.已知向量a(1,2)，b(3,2)(1)求a(ab)；(2)求(ab)(2ab)；(3)若c(2,1)，求(ab)c，a(bc)解：(1)a(1,2)，b(3,2)，ab(4,0)a(ab)(1,2)(4,0)(1)(4)204.(2)ab(1,2)(3,2)(2,4)，2ab2(1,2)(3,2)(2,4)(3,2)(5,2)，(ab)(2ab)(2,4)(5,2)2(5)422.(3)(ab)c(1,2)(3,2)(2,1)(1322)(2,1)(2,1)，a(bc)(1,2)(3,2)(2,1)(1,2)(3221)8(1,2)(8,16)在进行数量积的坐标运算时，一方面要熟记运算的法则，计算要准确；另一方面还要注意运用运算律，以简化运算过程二、向量的共线与垂直问题已知向量a(1,1)，b(2，3)(1)若a2b与a垂直，求的值；(2)若a2kb与ab平行，求k的值思路分析：先求出a2b，a2kb，ab的坐标，再根据两向量平行与垂直的条件建立关于，k的方程求解解：(1)a(1,1)，b(2，3)，a2b(，)(4，6)(4，6)(a2b)a，(a2b)a0.460.1.(2)a2kb(1,1)(4k，6k)(14k,16k)，ab(3，2)，且(a2kb)(ab)，2(14k)3(16k)k.在abc中，(2,3)，(1，k)，且abc的一个内角为直角，求k的值解：当a90时，0，213k0.k；当b90时，0，(12，k3)(1，k3)，2(1)3(k3)0.k；当c90时，0，1k(k3)0.k.k或或.对两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1x2y1y20；abx1y2x2y10.这两个结论不能记混三、向量夹角的范围问题已知向量a(2,1)，b(m,2)，它们的夹角为，当m分别取什么实数时，为(1)直角；(2)锐角；(3)钝角思路分析：当a与b的夹角是锐角时，必有ab0，但还应满足a与b不同向共线；当a与b夹角是钝角时，必有ab0，且a与b不能反向共线，由此可建立关于m的不等式求解解：(法一)由a(2,1)，b(m,2)得|a|，|b|，ab2m2.(1)为直角2m20m1；(2)为锐角m1，且m4；(3)为钝角m1.故当m1时，为直角；当m1且m4时，为锐角；当m1时，为钝角(法二)由于a(2,1)，b(m,2)，所以ab2m2.(1)当为直角时，ab0，即2m20，解得m1；(2)当为锐角时，ab0，即2m20，解得m1.但当ab时，有221m，得m4，且这时a，b0，不合要求故m的取值范围是m1且m4.(3)当为钝角时，ab0，即2m20，解得m1，由(2)知当ab时，m4，且a与b同向，不可能反向共线故m的取值范围是m1.已知a(x,2)，b(1，4)，若a与b的夹角是钝角，则x的范围是_答案：解析：因为a与b的夹角是钝角，所以ab0，即x80.所以x8.又当ab时，4x2，得x，且这时a与b反向共线，不合题意，所以x的取值范围是.1已知两向量的数量积与模，可求两向量夹角的余弦值2由ab0或ab0，解答a与b的夹角是锐角或钝角的问题时，要特别注意a与b共线的情况因为a与b同向时，ab0，但夹角为0；a与b反向时，ab0，但夹角为180.1已知点a(1,2)，b(2,3)，c(2,5)，则等于()a1 b0 c1 d2答案：b解析：(1,1)，(3,3)，于是0.2(2011广东中山模拟)已知向量a(1，x)，b(1，x)，若a与b垂直，则|a|()a1 b2 c4 d答案：d解析：依题意有1(1)x20，于是x1，|a|.3向量a(2，4)与b(1,2)的夹角的大小为()a零角 b直角c钝角 d平角答案：d解析：显然有a2b，所以a与b反向共线，夹角是平角4设向量a(1,0)，b，则下列结论中正确的是()a|a|b| babcab与b垂直 dab答案：c解析：|a|1，|b|；ab10；(ab)bab|b|20，故ab与b垂直5已知a(1,2)，b(2，1)，则向量2ab与a2b的夹角的余弦值为