【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）2.2.2 换底公式导学案 湘教版必修1.doc

2.2.2换底公式学习目标重点难点1能记住换底公式，并会证明换底公式；2会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题；3能综合利用对数的相关知识解决问题.重点：换底公式的应用求值和化简；难点：用换底公式和对数运算性质解决综合问题.1对数的换底公式换底公式：logan(a0，a1，c0，c1，n0)最常用的换底公式是logan和logan.预习交流1换底公式的意义是什么？提示：换底公式的意义主要体现在化简和求值两个方面：化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题，利用运算法则进行化简与求值求值：在实际问题中，把底数换成10或e，可利用计算器或对数表得到结果预习交流2除了课本中的方法，你还用其他方法证明换底公式吗？提示：令x，则logcnxlogcalogcax，因此axn，xlogan，即logan.2换底公式的两个重要推论(1)logab.(2)logab.一、利用换底公式求值或化简求解下列各题：(1)化简(log43log83)；(2)已知log1227a，求log616的值思路分析：对于(1)有两种思路：一是直接利用换底公式，将log43与log83都化为常用对数，然后进行化简；二是考虑到4和8都是2的幂的形式，因此可利用换底公式的变形，再将逆用换底公式，然后即可化简求值对于(2)，也有两种思路：一是直接利用换底公式，结合对数运算法则，寻求lg 2与lg 3的关系，然后代入化简；二是将对数log1227及log616的底数及真数进行分解变形，发现它们之间的关系，然后代入化简解：(1)方法一：原式.方法二：原式log32log32log23log32.(2)方法一：由log1227a，得a，lg 2lg 3.log616.方法二：由于log1227log12333log123a，log123.于是log312，即12log32.因此log32.而log6164log62.故log616.1求值：log89log2732.解：方法一：log89log2732.方法二：log89log2732log23log32.2已知log23a，log37b，试用a，b表示log1456.解：log23a，log37b.log27ab.log1456.1利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形logab.对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值2对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用二、利用对数的换底公式证明等式已知a，b，c均为正数，3a4b6c，求证：.思路分析：由于题目中涉及的字母均出现在幂式的幂指数上，因此可设出幂的结果，将指数式转化为对数式，然后利用换底公式及对数运算性质进行证明证明：不妨设3a4b6cm，则m0且m1，于是alog3m，blog4m，clog6m.则由换底公式可得logm3，logm4，logm6，于是2logm3logm4logm(324)logm362logm6.因此等式成立已知2m5n10，求证：mnmn.证明：由已知可得mlog210，nlog510，因此lg 2，lg 5，于是lg 2lg 5lg 101，即1，故mnmn.1在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形2由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质logab进行变换三、对数换底公式的综合应用(1)已知11.2a1 000,0.011 2b1 000，求的值；(2)设logac，logbc是方程x23x10的两根，求的值思路分析：由题目可获取以下主要信息：第(1)题中的两个指数式的底数不同，指数式的值相同第(2)题方程的两根为对数式，所求式子涉及的字母都在表示两根的式子之中解答第(1)题需将指数式化为对数式，解答第(2)题需利用一元二次方程根与系数的关系列出式子，再利用换底公式与所求的式子联系起来，进行求解解：(1)11.2a1 000，lg 11.2alg 1 000，即alg 11.23，于是lg 11.2.同理可得lg 0.011 2.于是lg 11.2lg 0.011 2lglg 1 00031.(2)由根与系数的关系可得由换底公式可知因此所以.设2a5bm，且2，则m等于()a b10 c20 d100答案：a解析：2a5bm，alog2m，blog5m.logm2logm5logm10.2.logm102.故m210，又m0，m，选a对数的知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，对数式与指数式的互化，也可能用到换底公式或对数运算的法则，还可能用到其他知识(如一元二次方程根与系数的关系)解题时应该全方位、多角度地思考，甚至用不同的几种方法去解同一题，然后分析、比较，从而掌握巩固所学的知识1下列各式中错误的是()alogablogba1 blogcdclogcdlogdflogcf dlogab答案：d2(2012安徽高考，文3)(log29)(log34)()a b c2 d4答案：d解析：原式(log232)(log322)4(log23)(log32)44.3化简的结果为()alog38 blog83 clog36 dlog63答案：a解析：原式log32log34log38，故选a4已知ln 2a，ln 3b，那么log32用含a