【优化指导】高考数学总复习 第2章 第12节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课时演练 新人教A版.doc

课时作业导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是先增后减的函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()解析：根据题意f(x)在a，b上是先增后减的函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线斜率是先随x的增大而增大，然后随x的增大而减小，由四个选项的图形对比可以看出，只有选项c满足题意答案：c2函数yx32axa在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是()a(0,3)b(0，)c(0，) d(，3)解析：令y3x22a0，得x (a0，否则函数y为单调增函数)若函数yx32axa在(0,1)内有极小值，则 1，0a.答案：b3已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值是()a37 b29c5 d以上都不对解析：f(x)6x212x6x(x2)f(x)在(2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，当x0时，f(x)m最大，m3，从而f(2)37，f(2)5.最小值为37.答案：a4. 若一球半径为r，作内接于球的圆柱，其侧面积最大为()a2r2 br2c4r2 d.r2解析：s侧2rh4rs(r)42r0.rr.s侧4rr2r2.答案：a5若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()a(2,2) b2,2c(，1) d(1，)解析：由f(x)3x233(x1)(x1)，且当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以当x1时函数f(x)有极大值，当x1时函数f(x)有极小值要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足解之得2a2.答案：a6已知函数f(x)ax22bxc的两个极值分别为f(x1)，f(x2)，若x1，x2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b2a的取值范围是()a(4，2) b(，2)(7，)c(2,7) d(5，2)解析：由题，求导可得f(x)x2ax2b，由题意可知，所以a，b满足的区域如图所示(不包括边界)，因为b2a在b(1,0)处取值为2，在c(3,1)处取值为7，所以b2a的取值范围是(2,7)答案：c二、填空题7函数yx2cos x在0，上取得最大值时，x的值为_解析：y(x2cos x)12sin x，令12sin x0，且x0，时，x.当x0，时，f(x)0，f(x)是单调增函数，当x，时，f(x)0，f(x)单调递减f(x)maxf()答案：8(金榜预测) 已知某质点的运动方程为s(t)t3bt2ctd，如图所示是其运动轨迹的一部分，若t，4时，s(t)3d2恒成立，则d的取值范围为_解析：质点的运动方程为s(t)t3bt2ctd，s(t)3t22btc.由图可知，s(t)在t1和t3处取得极值，则s(1)0，s(3)0，即，s(t)3t212t93(t1)(t3)当t，1)时，s(t)0；当t(1,3)时，s(t)0；当t(3,4)时，s(t)0，当t1时，s(t)取得极大值4d.又s(4)4d，当t，4时，s(t)的最大值为4d.当t，4时，s(t)3d2恒成立，4d3d2，即d或d1.答案：d或d1三、解答题9(理用)设函数f(x)ex1(ar)(1)若函数f(x)在x1处有极值，且函数g(x)f(x)b在(0，)上有零点，求b的最大值；(2)若f(x)在(1,2)上为单调函数，求实数a的取值范围解：(1)f(x)ex1，又函数f(x)在x1处有极值，f(1)0，a1，经检验符合题意，g(x)ex1，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)为增函数，g(x)在x1时取得极小值g(1)2b，依题意g(1)0，b2，b的最大值为2.(2)f(x)ex1，当f(x)在(1,2)上单调递增时，ex10在1,2上恒成立，ax2ex1，令h(x)x2ex1，则h(x)ex1(x22x)0在1,2上恒成立，即h(x)在1,2上单调递增，h(x)在1,2上的最小值为h(1)1，a1；当f(x)在1,2上单调递减时，同理ax2ex1，h(x)x2ex1在1,2上的最大值为h(2)4e，a4e；综上：实数a的取值范围为a1或a4e.9(文用)已知函数f(x)x3ax2bxc，点p(1，f(1)处的切线方程为y3x1.(1)若yf(x)在x2时有极值，求f(x)的解析式；(2)若函数yf(x)在区间2,1上单调递增，求实数b的取值范围；(3)在(1)的条件下是否存在实数m，使得不等式f(x)m在区间2,1上恒成立，若存在，试求出m的最大值，若不存在，试说明理由解：(1)x2是方程f(x)3x22axb0的根，124ab0，又切线的斜率为3，即f(x)在x1时的值为3，32ab3，且点p既在函数yf(x)的图象上，又在切线y3x1上，f(1)41abc，解得a2，b4，c5，故f(x)x32x24x5.(2)曲线在点p处的切线方程为y3x1，f(1)3，得2ab.欲使函数yf(x)在区间2,1上单调递增，只需当2x1时，f(x)3x22axb0成立，即3x2b(x1)成立当x1时，对一切的实数b，不等式3x2b(x1)成立；当2x1时，则3x10，可以化不等式为b，此时的最大值为0.故b0时，yf(x)在区间2,1上单调递增(3)在(1)的条件下，f(x)x32x24x5，由f(x)3x24x40得函数f(x)的两个极值点为x12，x2，因此函数的两个极值为f(2)13，f().函数在区间的两个端点值分别为f(2)13，f(1)4.比较极值与端点的函数值，知在区间2,1上，函数f(x)的最小值为.因此m的最大值为.10(2012深圳检测) 如图，有一正方形钢板abcd缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线oc是以直线ad为对称轴，以线段ad的中点o为顶点的抛物线的一部分工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形若正方形的边长为2米，问如何画切割线ef，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值解：以o为原点，直线ad为y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧oc的方程为yax2(0x2)，点c的坐标为(2,1)，代入方程可得a，故边缘线oc的方程为yx2(0x2)要使梯形abef的面积最大，则ef所在的直线必与抛物线弧oc相切，设切点坐标为p(t，t2)(0t2)，yx，直线ef的方程可表示为yt2t(xt)，即ytxt2.由此可求得e(2，tt2)，f(0，t2)|af|t2(1)|1t2，|be|(tt2)(1)|t2t1.设梯形abef的面积为s