【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）2.3.2 幂函数的图象和性质导学案 湘教版必修1.doc

2.3.2幂函数的图象和性质学习目标重点难点1能记住幂函数的概念，会判断一个函数是否是幂函数；2能画出幂函数yx，yx2，yx3，y，y，y的图象，会分析它们各自的性质；3能记住当0和0时，幂函数yx的性质，并能运用性质解决问题.重点：幂函数的定义以及幂函数的图象与性质；难点：当0和0时，幂函数yx的性质及其应用疑点：幂函数与指数函数的比较.1幂函数的概念一般来说，当x为自变量而为非0实数时，函数yx叫作(次的)幂函数预习交流1幂函数与指数函数有何区别？提示：幂函数yx的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数yax(a0，a1)中，底数是常数，指数是自变量预习交流2函数y与y是否是幂函数？提示：是y与y的解析式经改写，均可化为幂函数yx的形式，yx1，y.2幂函数的图象六个常见幂函数yx，yx2，yx3，y，y，y在同一直角坐标系下的图象如下图：预习交流3从上面的图象分析，哪些函数是奇函数？哪些函数是偶函数？哪些函数在(0，)上单调递增？哪些函数在(0，)上单调递减？提示：yx，yx3，y是奇函数，yx2，y是偶函数，y是非奇非偶函数；yx，yx2，yx3，y在(0，)上都是递增的，y，y在(0，)上是递减的3幂函数的性质(1)当0时，幂函数yx在区间0，)上有如下性质：都经过两个点(0,0)和(1,1)，即00,11；都是递增函数；幂函数yx与直线yx有如下关系：0x1x11在yx的下方在yx的上方01在yx的上方在yx的下方(2)当0时，幂函数yx在区间(0，)上有如下性质：图象都经过(1,1)点，即11；都是递减函数；图象向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近预习交流4幂函数的图象能否出现在第四象限？提示：对幂函数yx而言，当x0时，必有y0，故幂函数图象不过第四象限一、幂函数的概念已知函数y(m22m2)xm22n3是幂函数，求m，n的值思路分析：根据幂函数的定义，应有m22m21，2n30，从而可求m，n的值解：函数y(m22m2)xm22n3是幂函数，由幂函数定义得解得m3或1，n.1下列函数中是幂函数的是()ayx2x by2xc dy3x2答案：c2幂函数f(x)的图象经过点(8,4)，则f(x)_.答案：解析：f(x)是幂函数，设f(x)x.又f(x)的图象过点(8,4)，84，.f(x).1形如yx的函数叫幂函数，这里需有：系数为1，指数为一常数，后面不加任何项例如y3x，yxx1，yx21均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：yx2是幂函数，y2x是指数函数2由于幂函数的解析式中只含有一个参数，因此只需一个独立的条件即可确定其解析式，当已知幂函数经过某一点时，可采用待定系数法求出解析式二、幂函数的图象函数y1x5，y2，y3x4，y4x2，的图象分别是下列图象中之一，则函数y1，y2，y3，y4，y5的图象依次是_思路分析：根据幂函数的性质进行分析判断答案：解析：从函数的奇偶性分析，函数y1，y2是奇函数，可能对应图象，；y3，y4是偶函数，可能对应图象，；y5不具有奇偶性，只能对应图象.从函数的单调性分析，函数y1在区间0，)上是增函数，对应图象，函数y2在区间(0，)上是减函数，对应图象，函数y3在区间0，)上是增函数，对应图象，函数y4在区间(0，)上是减函数，对应图象.所以函数y1，y2，y3，y4，y5的图象依次是.如图，图中曲线是幂函数y=x在第一象限的大致图象已知取2，2四个值，则相应于曲线c1，c2，c3，c4的的值依次为()a2，2b2，2c，2,2，d2，2，答案：b幂函数的图象和性质可类比五个常见幂函数的图象和性质记忆：(1)当0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于yx1的图象；(2)当01时，函数图象向x轴弯曲，类似于y的图象；(3)当1时，函数图象向y轴弯曲，类似于yx3的图象，而且逆时针方向幂指数在增大再结合函数的奇偶性可得一般幂函数的图象及性质三、幂值的大小比较比较下列各组数中两个幂的值的大小：(1)0.5，0.5；(2)1，1.思路分析：由幂函数的性质可知yx0.5在0，)上是递增函数，yx1在(，0)上是递减函数，利用单调性易得出结论解：(1)幂函数yx0.5在0，)上是递增函数，又，0.50.5.(2)幂函数yx1在(，0)上是递减函数，又，11.用“”或“”填空：(1)_；(2)2_2；(3)_.答案：(1)(2)(3)解析：(1)幂函数在(0，)上是递增函数，且，.(2)幂函数yx2在(0，)上是递减函数，且，22.(3)，幂函数在(，0)上是递增函数，且2.1，.1幂函数yx，当0时在(0，)上单调递增，当0时，在(0，)上单调递减；2关于幂的大小比较问题一般利用幂函数的单调性进行比较，此种方法简称“单调性法”，也可用中间量，或常数0或1去比较，此种方法称作“搭桥法”四、幂函数性质的综合应用已知幂函数f(x)xm3(mn)为偶函数，且在区间(0，)上是递减函数，求函数f(x)思路分析：幂函数f(x)xm3(mn)是偶函数，且在区间(0，)上是递减函数，m30且m3是偶数又mn，可求得m的值解：f(x)xm3在(0，)上是递减函数，m30.m3.又mn，m1,2.又f(x)xm3是偶函数，m3是偶数m1.f(x)x2.已知幂函数yx52m(mn)是奇函数，且在(0，)上是递增函数，则m的值是_答案：1或2解析：幂函数yx52m在(0，)上是递增函数，52m0，m.又mn，m1或2.m1时，yx3；m2时，yx，都是奇函数，m的值是1或2.1要明确幂函数中，幂指数的正负与函数单调性的关系，幂指数的奇偶性与函数的奇偶性间的关系2要注意将得到的结果对照条件进行检验，合理取舍1在函数y2x3，yx2，yx2x，yx3中，幂函数有()a1个 b2个 c3个 d4个答案：b解析：函数yx2与yx3是幂函数，故选b2若幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)()a16 b2 c d答案：c解析：设f(x)x，则2，故，于是，从而f(4)，故选c3幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象如图，则()an0,0m1bn0,0m1cn0，m1dn0，m1答案：b4已知幂函数f(x)x的部分对应值如表，则f(x