【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）4.5.2 利用数量积计算长度和角度精品导学案 湘教版必修2.doc

4.5.2利用数量积计算长度和角度学习目标重点难点1记住向量模的计算公式，并应用这一公式求向量的模；2记住向量的夹角余弦公式，并能应用公式求两个向量的夹角；3记住两个向量垂直的条件；4记住向量的乘法公式，并能应用；5知道什么是余弦定理.重点：学会用向量的模、夹角余弦公式、乘法公式求向量的模、夹角等；难点：模与夹角的综合问题；疑点：向量数量积与实数乘法运算的区别与联系.1长度公式利用数量积计算向量的模(即长度)的公式：|a|(长度公式)记a2aa，则a2|a|2，长度公式成为|a|.2夹角余弦公式夹角余弦公式：对于任意两个非零向量a，b，有：cosa，b.3向量垂直条件对任意两个向量a，b(不论它们是否为零)，都有ab0ab.4向量乘法公式(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)2a22abb2；(3)(ab)(ab)a2b2.5余弦定理余弦定理：已知两边ca，cb的长度及夹角c的大小，可以求出第三边ab的长度|ab|.已知三边长可以求出任意一个内角的余弦，从而求出这个内角cos c.预习交流根据余弦定理怎样推导勾股定理？提示：根据余弦定理cos c，若c90，则abc为直角三角形，cos c0，余弦定理就变成|ab|2|ca|2|cb|2.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、向量模的计算问题已知|a|2，|b|3，a，b120，求：(1)ab；(2)(2ab)(a3b)；(3)|3ab|；(4)|a2b|.思路分析：对于(1)和(2)，可按照数量积的定义或先按乘法公式展开，再应用数量积定义计算；对于(3)和(4)，可根据向量模的公式|a|，转化为数量积的计算问题解：(1)ab|a|b|cosa，b23cos 1203.(2)(2ab)(a3b)2a25ab3b28152734.(3)|3ab|3.(4)|a2b|2.1已知向量a与b的夹角为60，|a|3，|b|2，则|ab|等于()a5 b5 c19 d答案：d解析：因为|ab|2a22abb29232cos 60419，所以|ab|.2已知向量a与b的夹角为120，且|a|b|4，那么b(3ab)的值为_答案：8解析：b(3ab)3ab|b|23|a|b|cos 120168.利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下：(1)a2aa|a|2，或|a|.(2)由关系式|ab|，可使向量的长度与向量的数量积互相转化因此欲求|ab|，可求.二、向量的夹角问题设m和n是两个单位向量，其夹角是60.若向量a2mn与btm2n的夹角是120，求实数t的值思路分析：利用两向量的夹角余弦公式cosa，b，将ab，|a|以及|b|均用实数t表示出来，建立关于t的方程求解解：因为|m|1，|n|1，m，n夹角为60，所以mn.所以|a|2mn|，|b|tm2n|，ab(2mn)(tm2n)2t2t2t4.由于cos 120，解得t3.因此实数t的值为3.已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2与be22e1的夹角解：由于e1，e2是单位向量，且夹角为60，所以e1e2.且|a|，|b|，cos .又0180，120.a与b的夹角为120.1由向量a与b的数量积ab|a|b|cos (为a与b的夹角)知，ab，|a|，|b|，cos 四个量中任知三个可求第四个2当a，b的夹角是锐角时，有ab0，当a，b的夹角是钝角时，必有ab0，由此可对求夹角问题进行检验，找出符合要求的解三、数量积在垂直中的应用已知|a|2，|b|，且a与b的夹角为45.若向量a与akb垂直，求实数k的值思路分析：由a(akb)得a(akb)0，结合数量积的定义，建立k的方程求解解：a(akb)，a(akb)0，即|a|2kab0.22k2cos 450.42k0，解得k2.已知非零向量a，b，若a2b与a2b互相垂直，则()a b4 c d2答案：d解析：由题意知(a2b)(a2b)0，a24b20，即|a|2|b|.2.向量的垂直问题主要借助于结论abab0，将几何问题转化为代数问题求解四、余弦定理的简单应用在abc中，三边长|ab|7，|bc|5，|ac|6，则等于()a19 b14 c18 d19思路分析：由于|，|已知，所以要求，关键是求出，因此只要根据余弦定理，求出b即可答案：d解析：设与的夹角为，cos b，cos cos(b)cos b.|cos 7519.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x60的根，则三角形的另一边长为()a52 b2 c16 d4答案：b解析：解方程5x27x60得x1，x22(舍去)已知两边夹角的余弦为，由余弦定理得所求边的平方为：523225352，所求边为2.在三角形中我们经常把|ab|记为c，|bc|记为a，|ca|记为b，而把顶点是a，b，c的三个角叫a，b，c，这样余弦定理就有另外的形式：a2b2c22bccos a和cos a.1已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为60，则(3a2b)b()a9 b9 c27 d27答案：a解析：(3a2b)b3ab2b2323cos 602329.2已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|等于()a0 b2 c4 d8答案：b解析：|2ab|24a24abb28，所以|2ab|2.3已知|a|b|1，ab，(2a3b)(ka4b)，则k等于()a6 b6 c3 d3答案：b解析：由(2a3b)(ka4b)得(2a3b)(ka4b)0，即2ka28ab3kab12b20，于是2k00120，解得k6.4abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2ac，且c2a，则cos b等于()a b c d答案：b解析：b2ac，又c2a，b22a2.cos b.5已知|a|，|b|，|ab|，则a，b